现代信号处理大作业

现代信号处理大作业姓名：潘晓丹学号：0140349045班级：A1403492作业1LD算法实现AR过程估计1.1AR模型p阶AR模型的差分方程为：)()()(1nwinxanxpii，其中)(nw是均值为0的白噪声。AR过程的线性预测方法为：先求得观测数据的自相关函数，然后利用Yule-Walker方程递推求得模型参数，再根据公式求得功率谱的估计。Yule-Walker方程可写成矩阵形式：000)()2()1(1)0()2()1()()2()0()1()2()1()1()0()1()()2()1()0(2paaarprprprprrrrprrrrprrrrpppxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1.2LD算法介绍Levinson-Durbin算法可求解上述问题，其一般步骤为：1)计算观测值各自相关系数pjjrxx,,1,0),(；)0(0xxr；i=1；2)利用以下递推公式运算：)1(1,...,2,1),()()()()()()(21111111iiiiiiiiiiijxxixxikijjiakjajakiajirjairk3)i=i+1，若ip，则算法结束；否则，返回(2)。1.3matlab编程实现以AR模型：x(n)=12𝑥(𝑛−1)−12𝑥(𝑛−2)+𝑤(𝑛)为例，Matlab程序代码如下：clear;clc;var=1;noise=var*randn(1,10000);p=2;coefficient=[1-0.50.5];x=filter(1,coefficient,noise);divide=linspace(-pi,pi,200);forii=1:200w=divide(ii);S1(ii)=var/(abs(1+coefficient(2:3)*exp(-j*w*(1:2))'))^2;end[a_pvar_p]=Levinson_Durbin(x,p);forii=1:200w=divide(ii);Sxx(ii)=var_p/(abs(1+a_p(2:p+1)*exp(-j*w*(1:p))'))^2;endfigure;subplot(2,2,1);plot(divide,S1,'b');gridonxlabel('w');ylabel('功率');title('AR功率谱');subplot(2,2,2);plot(divide,Sxx,'r-');gridonxlabel('w');ylabel('功率');title('L-D算法估计');subplot(2,2,3);plot(divide,S1,'b');holdonplot(divide,Sxx,'r--');holdoffgridonxlabel('w');ylabel('功率');title('AR功率谱和算法比较');子函数：Levinson_Durbin.mfunction[a_pvar_p]=Levinson_Durbin(x,p)N=length(x);forii=1:NRxx(ii)=x(1:N-ii+1)*(x(ii:N))'/N;enda(1)=1;a(2)=-Rxx(2)/Rxx(1);fork=1:p-1%Levinson-Durbinalgorithmvar(k+1)=Rxx(0+1)+a(1+1:k+1)*Rxx(1+1:k+1)';reflect_coefficient(k+1+1)=-a(0+1:k+1)*(fliplr(Rxx(2:k+1+1)))'/var(k+1);var(k+1+1)=(1-(reflect_coefficient(k+1+1))^2)*var(k+1);a_temp(1)=1;forkk=1:ka_temp(kk+1)=a(kk+1)+reflect_coefficient(k+1+1)*a(k+1-kk+1);enda_temp(k+1+1)=reflect_coefficient(k+1+1);a=a_temp;enda_p=a;%predictioncoeffecientsvar_p=var(p+1);%predictionerrorpower1.4仿真结果1）p=2时，仿真结果图如下预测系数：[𝑎2(0),𝑎2(1),𝑎2(2)]=[1,−0.5068,0.5031]误差功率：var_p=1.01942）p=20时，仿真结果图如下预测系数：[𝑎2(0),𝑎2(1),𝑎2(2),𝑎2(3),𝑎2(4),……]=[1,−0.5098,0.4999,−0.0066,0.0060,−0.0179,0.0193,……]误差功率：var_p=0.99983）p=50时，仿真结果图如下预测系数：[𝑎2(0),𝑎2(1),𝑎2(2),𝑎2(3),𝑎2(4),……]=[1,−0.4951,0.5178,−0.0145,0.0117,−0.0169,0.0141,……]误差功率：var_p=0.99551.5结果分析由不同阶数（P值）得到的仿真结果可得：当P的阶数较低时，L-D算法估计AR模型对功率谱估计的分辨率较低，有平滑的效果，从P=2的仿真结果可以看出估计得到的功率谱与原始功率谱基本吻合，且曲线平滑没有毛刺；随着阶数增大，采用L-D算法进行估计后，得到的功率谱会产生振荡，从仿真可以看到，当阶数P较高为50时，估计得到的功率谱与原始功率谱基本吻合，但估计得到的功率谱曲线不平滑，有急剧的振荡。从LD算法得到的预测系数可得，不论阶数P(2)取何值，通过该算法得到的预测参数与原始目标函数中的一致，其余各个参数均接近0。因此，L-D算法得到可计算得到较为精确的预测值或估计值。作业二非平稳信号由两个高斯信号叠加而成，为12241122()()[exp(())exp(())]22ztttjtttjt其中2121,tt，分别求出()zt的WV分布及其模糊函数，画出二者的波形图，指出并分析其信号项和交叉项。2.1WV分布由WV分布的定义知：detztztWj)2()2(),(*若记))(2exp()()(121411tjtttz,))(2exp()()(222412tjtttz则),(),(),(tWtWtWcrossauto,其中,detztzdetztztWjjauto)2()2()2()2(),(*22*11detztzdetztztWjjcross)2()2()2()2(),(*12*21由此，我们计算得到：信号项：)](1)(exp[2)](1)(exp[2),(222121tttttWauto交叉项：])()cos[()](1)(exp[4),(2dmdmmmcrossttttttW其中，21212121,,2,2ddmmtttttt2.2模糊函数由模糊函数的定义知：dtetztzAtj)2()2(),(*若记))(2exp()()(121411tjtttz,))(2exp()()(222412tjtttz则),(),(),(crossautoAAA,其中，dtetztzdtetztzAtjtjauto)2()2()2()2(),(*22*11dtetztzdtetztzAtjtjcross)2()2()2()2(),(*12*21由此，我们计算得到：信号项：)]exp())[exp(414exp(),(221122jtjjtjAauto交叉项：]})(4)(41exp[])(4)(41)]{exp[(exp[),(2222ddddmdmmcrossttttjA其中，21212121,,2,2ddmmtttttt2.3Matlab编程实现取20,4,8,4,102121tt，进行matlab编程如下clearall;formatlong;alpha1=20;t1=10;t2=4;w1=8;w2=4;a=alpha1/2;td=t1-t2;omegad=w1-w2;tm=0.5*(t1+t2);omegam=0.5*(w1+w2);m=1;n=1;fort=0:0.1:8foromega=-6:0.1:12W_auto(m,n)=2*(exp(-a*(t-t1)^2-1/a*(omega-w1)^2)+exp(-a*(t-t2)^2-1/a*(omega-w2)^2));W_cross(m,n)=4*exp(-a*(t-tm)^2-1/a*(omega-omegam)^2)*cos((omega-omegam)*td+omegad*t)W(m,n)=W_auto(m,n)+W_cross(m,n);n=n+1;endm=m+1;n=1;endfigure;mesh([-6:0.1:12],[0:0.1:8],W);xlabel('time');ylabel('frequency');title('WV分布');figure;mesh([-6:0.1:12],[0:0.1:8],W_auto);xlabel('time');ylabel('frequency');title('WV分布信号项');figure;mesh([-6:0.1:12],[0:0.1:8],W_cross);xlabel('time');ylabel('frequency');title('WV分布交叉项');formatlong;%模糊函数a=10;t1=6;t2=2;w1=6;w2=2;td=t1-t2;wd=w1-w2;tm=0.5*(t1+t2);wm=0.5*(w1+w2);m=1;n=1;fort=-10:0.1:10forw=-10:0.1:10A_auto(m,n)=abs(exp(-a/4*t^2-1/(4*a)*w^2)*(exp(i*w1*t-i*t1*w)+exp(i*w2*t-i*t2*w)));A_cross(m,n)=abs(exp(i*wm*t+i*w*tm+i*wd*tm)*(exp(-1/(4*a)*(w+wd)^2-a/4*(t-td)^2)+exp(-1/(4*a)*(w-wd)^2-a/4*(t+td)^2)));A(m,n)=A_auto(m,n)+A_cross(m,n);n=n+1;endm=m+1;n=1;endfigure;mesh([-10:0.1:10],[-10:0.1:10],A);xlabel('time');ylabel('frequency');title('模糊函数');figure;mesh([-10:0.1:10],[-10:0.1:10],A_auto);xlabel('time');ylabel('frequency');title('模糊函数信号项');figure;mesh([-10:0.1:10],[-10:0.1:10],A_cross);xlabel('time');ylabel('frequency');title('模糊函数交叉项');2.4仿真结果及分析1）Z(t)函数的WV分布波形图如下2）WV分布信号项波形图如下3）WV分布交叉项波形图如下根据结果可以