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专题5平面向量第1节平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理第2节平面向量的数量积及其应用目录600分基础考点＆考法考点28平面向量的基本概念及线性运算考点29平面向量的基本定理及坐标运算第1节平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理考点28平面向量的基本概念及线性运算1．向量的有关概念大小向量方向特殊向量零向量单位向量平行（共线）向量相等向量相反向量考点28平面向量的基本概念及线性运算模考点28平面向量的基本概念及线性运算2．向量的线性运算加法减法数乘考点28平面向量的基本概念及线性运算考点28平面向量的基本概念及线性运算3．向量的三角形公式4.向量共线定理向量考点28平面向量的基本概念及线性运算考法1平面向量的有关概念考法2平面向量的线性运算平面向量的基本概念及线性运算考点28考点28平面向量的基本概念及线性运算1.正确理解向量的概念（1）两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小；（2）大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征；（3）向量可以自由平移,任一组平行向量都可以移到同一直线上.2.正确理解共线向量与平行向量共线向量就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义.【注意】（1）零向量与任何向量共线;（2）共线向量不一定是相等向量,但相等向量一定是共线向量．考点28考法1平面向量的有关概念考点28平面向量的基本概念及线性运算考点28考法1平面向量的有关概念考点28平面向量的基本概念及线性运算1.简单运算2.用已知向量表示未知向量3.已知运算结果求参数的值4.向量线性运算的几何意义考点28考法2平面向量的线性运算应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可.注意加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算.结合图形中各向量的位置关系，将未知向量表示为两个向量的和或差，再将这两个向量逐步分解为可以用已知向量表示的形式，整理即可.结合图形，利用向量的线性运算将向量表示出来，利用向量相等确定参数的值.根据向量加法的法则可知，在△ABC中，（D为BC边中点），反之也成立.在平行四边形中，共起点的两个向量的和与差分别是两条对角线表示的向量，注意向量的方向.考点28平面向量的基本概念及线性运算考点28考法2平面向量的线性运算考点28平面向量的基本概念及线性运算考点28考法2平面向量的线性运算考点28平面向量的基本概念及线性运算考点29平面向量的基本定理及坐标运算1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a＝λ1e1+λ2e2.我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．应注意的是,基底的选择并不唯一,只要两个向量不共线,都可作为一组基底.2.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对平面内任一向量a,有且仅有一对实数x,y,使得a＝xi＋yj,则实数对(x,y)叫做向量a的直角坐标,记作a＝(x,y),其中x,y分别叫做a在x轴，y轴上的坐标,相等向量的坐标相同,坐标相同的向量是相等向量．3.平面向量的坐标运算考点29平面向量的基本定理及坐标运算考法3平面向量基本定理的应用考法4平面向量的共线问题平面向量的基本定理及坐标运算考点29考法5平面向量的坐标表示与运算考点29平面向量的基本定理及坐标运算1.基底的选择（1）一组基底有两个向量；（2）这两个向量不共线.考点29考法3平面向量基本定理的应用2.用基底表示其他向量主要有以下三种方法：方法一：通过观察图形直接寻求向量之间的关系.方法二：采用方程思想.方法三：建立坐标系,根据向量的坐标运算求解.第一步,观察待求向量所在的三角形或平行四边形,利用三角形法则或平行四边形法则先将待求向量表示成两个(或多个)相关向量a,b（或a,b,c,…）的和或差；第二步,把向量a,b（或a,b,c,…）分别进行分解,直到用基底表示出向量a,b（或a,b,c,…）；第三步,将a,b（或a,b,c,…）代入第一步中的式子,从而得到结果．考点29平面向量的基本定理及坐标运算1.基底的选择（1）一组基底有两个向量；（2）这两个向量不共线.考点29考法3平面向量基本定理的应用2.用基底表示其他向量主要有以下三种方法：方法一：通过观察图形直接寻求向量之间的关系.方法二：采用方程思想.方法三：建立坐标系,根据向量的坐标运算求解.第一步,把待求向量看作未知量；第二步,列出方程组；第三步,用解方程组的方法求解待求向量．考点29平面向量的基本定理及坐标运算1.基底的选择（1）一组基底有两个向量；（2）这两个向量不共线.考点29考法3平面向量基本定理的应用2.用基底表示其他向量主要有以下三种方法：方法一：通过观察图形直接寻求向量之间的关系.方法二：采用方程思想.方法三：建立坐标系,根据向量的坐标运算求解.第一步,建立适当的直角坐标系；第二步,把基底e1,e2,待求向量m的坐标分别表示出来；第三步,设m=xe1+ye2；第四步,根据向量e1,e2,m的坐标列出相应的方程组,求出x,y,问题即可得解．考点29平面向量的基本定理及坐标运算1.基底的选择（1）一组基底有两个向量；（2）这两个向量不共线.考点29考法3平面向量基本定理的应用2.用基底表示其他向量主要有以下三种方法：方法一：通过观察图形直接寻求向量之间的关系.方法二：采用方程思想.方法三：建立坐标系,根据向量的坐标运算求解.第一步,选择一组基底；第二步,运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式；第三步,通过向量的运算来证明共线或其他几何相关问题．3.解决几何相关问题考点29平面向量的基本定理及坐标运算考点29考法3平面向量基本定理的应用考点29平面向量的基本定理及坐标运算(1)对于向量a（a≠0）,b,若存在实数λ,使得b＝λa,则向量a与b共线(平行)．(2)若向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则x1y2－x2y1＝0a∥b．(3)对于向量a,b,则｜a·b｜＝｜a｜·｜ba与b共线．若已知向量共线求参数值，则可依据已知条件与上述依据的对应性，选择合适的依据列方程，通过解方程求解.考点29考法4平面向量的共线问题证明向量共线(或平行)的主要方法和已知两向量共线求参数值的依据：考点29平面向量的基本定理及坐标运算考点29考法4平面向量的共线问题考点29平面向量的基本定理及坐标运算考点29考法5平面向量坐标表示与运算1.求平面向量的坐标(1)平移法:将向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标；(2)用表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．2.平面向量的坐标运算主要依据相关公式计算即可．考点29平面向量的基本定理及坐标运算考点29考法5平面向量的坐标表示与运算考点29平面向量的基本定理及坐标运算考点29考法5平面向量的坐标表示与运算考点29平面向量的基本定理及坐标运算考点29考法5平面向量的坐标表示与运算考点29平面向量的基本定理及坐标运算目录600分基础考点＆考法考点30平面向量的数量积考点31平面向量的应用700分基础考点＆考法综合问题8平面向量数量积与其他知识的综合应用第2节平面向量的数量积及其应用考点30平面向量的数量积一、平面向量数量积的基本概念1.向量的夹角2.数量积的定义3.投影4.数量积的几何意义数量积是个数值，可正可负可为零考点30平面向量的数量积考点30平面向量的数量积二、平面向量数量积的性质与运算律三、平面向量数量积的坐标表示考点30平面向量的数量积考法1平面向量的数量积运算考法2平面向量的垂直问题平面向量的数量积考点30考点30平面向量的数量积考点30考法1平面向量的数量积运算1.利用坐标计算数量积第一步,根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标,求解过程要注意方程思想的应用；第二步,根据数量积的坐标公式进行运算即可．2.根据定义计算数量积求向量a,b的数量积a·b,有以下两种思路：(1)若两个向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算.(2)根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a,b,然后再根据平面向量的数量积的定义和性质进行计算求解．3.根据数量积求参数的值若已知两平面向量的数量积，则根据坐标公式或定义列出含有参数的数量积的等式，再解方程即可.考点30平面向量的数量积考点30考法1平面向量的数量积运算考点30平面向量的数量积考点30考法1平面向量的数量积运算考点30平面向量的数量积考点30考法1平面向量的数量积运算考点30平面向量的数量积考点30考法1平面向量的数量积运算考点30平面向量的数量积考点30考法2平面向量的垂直问题1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题第一,计算出这两个向量的坐标；第二,根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可．2.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数．考点30平面向量的数量积考点30考法2平面向量的垂直问题考点30平面向量的数量积考点31平面向量的应用1.长度2.夹角考点31平面向量的应用考法3平面向量的模的相关问题考法4求平面向量的夹角平面向量的应用考点31考点31平面向量的应用求解平面向量的模的相关问题,借助模的相关公式列出关系式求解即可.解题过程中应掌握以下方法和结论：（1）要掌握向量模的两种计算公式（2）要掌握平面向量的一些简单的几何意义（3）求解向量（或和向量）的模的取值范围时，可以通过有关坐标公式构造函数求解，也可以转化为基底表示的问题，或应用定义直接求解.考点31考法3平面向量的模的相关问题①｜a｜为定值,则说明当表示向量的有向线段的起点确定后,其终点在以起点为圆心，以|a|为半径的圆上运动；②若｜a+b｜=｜a-b｜,则说明向量a⊥b；③若(a+b)·(a-b)=0,则说明｜a｜=｜b｜等.考点31平面向量的应用考点31考法3平面向量的模的相关问题考点31平面向量的应用考点31考法3平面向量的模的相关问题考点31平面向量的应用考点31考法3平面向量的模的相关问题考点31平面向量的应用考点31考法3平面向量的模的相关问题考点31平面向量的应用求解两个非零向量之间的夹角的步骤：第一步，由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；第二步，分别求出这两个向量的模；考点31考法4求平面向量的夹角第三步，根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值；第四步，根据两个向量夹角的范围是［0,π］及其夹角的余弦值,求出这两个向量的夹角．【注意】(1)向量a,ba·b＞0且向量a,b不共线；(2)向量a,ba·b＜0且向量a,b不共线．考点31平面向量的应用考点31考法4求平面向量的夹角考点31平面向量的应用考点31考法4求平面向量的夹角考点31平面向量的应用考点31考法4求平面向量的夹角考点31平面向量的应用考点31考法4求平面向量的夹角考点31平面向量的应用综合问题8平面向量数量积与其他知识的综合应用综合点1平面向量数量积的综合应用平面向量集数与形于一体,是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中,常将它与几何问题、三角函数、解三角形问题结合起来考查.(1)用平面向量解决平面几何问题时,常用方法有：①利用已知条件（或利用向量线性运算将条件转化）,结合平面几何知识及向量数量积直接求解.②可以用基向量的方法或坐标法.若便于建立直角坐标系，则建立平面直角坐标系,可以利用向量的坐标使几何问题代数化,根据向量的坐标运算较快得到结果．(2)解决向量与三角函数、解三角形知识综合题的关键是把向量关系转化为向量的有关运算,再进一步转