高三理科数学数列求和裂项相消法

数列求和解题方法指导—裂项相消法信宜一中高三28张乐课前热身：1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S5等于()A．1B.56C.16D.130解析：an＝1nn＋1＝n＋1－nnn＋1＝1n－1n＋1∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56.答案：Bn51aS.123n思考：，如何求裂项相消：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．注：1.裂项相消法求和的形式,即什么时候用.2.如何裂项，裂项后是否与原式相等.3.如何提系数，消去之后余项是什么，即怎么用.常见的裂项：（1）n1an(nk)（2）2141nan（3）11nann（4）na1alog(1)n（5）1222nnnnabb(1)na1nnk()111knnk(21)(21)111()22121nnn1n2(2)41na1n1111111()21335212111(1)221nSnnn1311(1)(1)1nannnnnnnnnn（）213243111nsnnn13knann（）变式1(2132431)1(11)knsnnkn()()1(1)nnknaknknnknnnk14log()log(1)lognaaanannn（）log2log1log3log2log(1)loglog(1)naaaaaaaSnnn1125221122nnnnnnabbbb（）223111111112222221122nnnnSbbbbbbbb类型一n1111a()n(nk)knnk例1.数列{an}中,,则{an}的前n项和Sn=.变式：数列{an}中,,则{an}的前n项和Sn=.n21annn21an2n类型一n1111a()n(nk)knnk例1.数列{an}中,,则{an}的前n项和Sn=111n.变式：数列{an}中,,则{an}的前n项和Sn=.n21annn21an2n类型一n1111a()n(nk)knnk例1.数列{an}中,,则{an}的前n项和Sn=111n.变式：数列{an}中,,则{an}的前n项和Sn=.n21annn21an2n1111(1).22n1n21.111(1)1nannnn1231nnnSaaaaa111111111112233411nnnn111n2.1111()(2)22nannnn1231nnnSaaaaa111111111()234352111112121nnnnnn1111(1)22n1n2【易错警示】使用裂项相消法的易错点使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写或写错未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的，如求的前n项和时，剩下的是1111(1).22n1n21{}n(n2)例2.(2014·沈阳模拟)已知幂函数y=f(x)过点(4,2),令an=f(n+1)+f(n),n∈N*,记数列1{}na的前n项和为Sn,则Sn=10时,n的值是()A.110B.120C.130D.14011()nanknknkn类型二【解析】选B.因为幂函数y=f(x)=xα过点(4,2),所以4α=2,所以α=12,所以an=f(n+1)+f(n)1nn,所以11111(1)(1)nnnnnannnnnn,所以数列的前n项和为Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1,因为Sn=10,所以-1=10,所以n+1=121,所以n=120.例3.已知12nna令11nnnbaa，nT是数列nb的前n项和，证明：16nT．111111()22222nnnnnnabbbb类型三：证明：112121nnnb111122121nnn111122121nn12311111111235592121nnnnTbbbb1111123216n。能力提高1.(2014·临沂模拟)已知等比数列{an}的首项为1,公比q≠1,Sn为其前n项和,a1,a2,a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项.(1)求an和Sn.(2)设2nn1bloga,数列21{}nnbb的前n项和为Tn,求证:Tn34.【解析】(1)因为a1,a2,a3为某等差数列的第一、第二、第四项,所以a3-a2=2(a2-a1),所以a1q2-a1q=2(a1q-a1),因为a1=1,所以q2-3q+2=0,因为q≠1,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,Sn=1a(1)1nqq=1(12)12n=2n-1.(2)由(1)知an+1=2n,所以bn=log2an+1=log22n=n.所以211111()(2)22nnbbnnnn所以111111111[()()()()213243546nT111111()()()]2112nnnnnn1111(1)2212nn31113()42124nn.能力提高：（作业与测评P271t10）2.(2014·深圳模拟)已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.(1)求y=f(x)的解析式.(2)求数列{an}的通项公式.(3)设bn=13nnaa,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn20m对所有n∈N*都成立的最小正整数m.解：(1)依题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f′(x)＝6x－2得a＝3，b＝－2，∴f(x)＝3x2－2x.又由点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，得Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5.所以an＝6n－5(n∈N*).(2)由(1)得bn＝故Tn＝因此，使得(n∈N*)成立的m必须且仅需满足，即m≥10，故满足要求的最小正整数m为10.小结：1裂项相消方法求和的步骤有哪些.2能运用裂项相消的方法解答不等式关系、求参数范围、不等式恒成立等问题.3放缩方法.•注：1.应用裂项相消法求和的形式,即什么时候用.2.如何裂项，裂项后是否与原式相等.3.如何提系数，消去之后余项是什么，即怎么用.课后请完成：思考题：作业与测评P270T15