第七章 位移法

1第七章位移法§7-1位移法基本概念§7-2等截面直杆的刚度方程§7-3无侧移刚架和有侧移刚架的计算§7-6支座移动、温度变化及具有弹簧支座§7-4剪力分配法结构的计算§7-5对称结构的计算2位移法与力法一样，是计算超静定结构的一种方法，它比力法有更大的优越性。位移法也可用来解静定结构，也就是说位移法比力法具有更大的通用性。矩阵位移法：随计算机的发展而形成的；渐近法：力矩分配法、无剪力分配法；分层计算法(多层多跨刚架受竖向荷载作用时)；近似法反弯点法(多层多跨刚架受水平荷载作用时)；D值法(广义反弯点法)。位移法3§7-1位移法基本概念一、位移法的基本思路将结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。即：结构拆成杆件结构搭接成第一步第二步第一步：杆件分析找出杆件的杆端力与杆端位移之间的关系。即：建立杆件的刚度方程。第二步：结构分析找出结构的结点力与结点位移之间的关系。即：建立结构的位移法基本方程。4位移法的实施过程，是把复杂结构的计算问题转变为简单杆件的分析与综合的问题。杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移法基本方程的基础。所以位移法又称为刚度法。二、基本未知量力法：力法的基本未知量是多余未知力；位移法：位移法的基本未知量是结构的结点位移(角位移和线位移)。位移法与力法一样，求解的第一步就要是确定结构的基本未知量。5基本未知量的确定：基本未知量数目n=结点角位移（θ）数+独立的结点线位移（△）数结点角位移数=结构的刚结点数(容易确定)ABCDEBCABCBABCDBC附加转动约束：只阻止结点的转动，不阻止结点的线位移。6独立的结点线位移数的确定方法：将所有的刚结点变成铰后，若有线位移则体系几何可变，通过增加链杆的方法使体系变成无多余约束的几何不变体系(静定结构)时，需要增加的链杆数就是独立的线位移数。n=2(D、F)+1(D、E、F点的水平侧移F)=3附加链杆附加转动约束FEDCBA(a)确定线位移图确定角位移图FEDCBA(b)7n=3(C、D、E)+2(D、E点的水平侧移D、E)=5n=1(D)+2(C、F点的水平侧移C、F)=3EDCBA(a)确定角位移图(a)FEDCBAG确定角位移图确定线位移图ECB(b)DADCEDED(b)确定线位移图FEDCBAGCD8ABCDBHCHBDCABCDEBHBEA为有限值BHCHEABHCHABCDABCD附加链杆附加转动约束9习题7-1确定用位移法计算时结构的基本未知量个数。(a)EIEA(1)当EI、EA为无穷大时，(3)(2)当EI、EA为有限值时，(6)(1)当0时，(10)(2)当=0时，(9)(b)(1)当不考虑轴向变形时，(4)(2)当考虑轴向变形时，(9)(c)(1)当0时，(3)(2)当=0时，(2)(d)102、选取内部结点的位移作为未知量就满足了变形协调条件；位移法方程是平衡方程，满足平衡条件。3、附加支杆和附加转动约束后的体系称为原超静定结构的基本结构。小结：1、位移法的基本未知量是结构内部结点（不包括支座结点）的转角或线位移。4、支座结点的可能位移不作为位移法基本未知量的原因是：1）减少未知量的数目；2）单跨超静定梁的杆端弯矩表达式中已经反映了支座可能位移（转角、线位移）的影响，如下图示。1128FABqlMABq212FFABBAqlMMqAB42BAABAAMiMiAB/iEIlA3ABAMiBA/iEIlA5、位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁的组合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超静定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。12三、位移法的解题步骤（解题途径）示例1：作图示两跨连续梁的弯矩图。1、确定基本未知量取结点B的转角θB作为基本未知量，这就保证了AB杆与BC杆在B截面的位移协调。qABCllEIEIB2、在B结点加附加转动约束()。此时B结点产生固端弯矩。13208FFBABCqlMMqCBFBCMqABC0B3、令B结点产生转角。此时AB、BC杆类似于B端为固端且产生转角的单跨超静定梁。BB()BBCi3BiACBiiBEIil3BiAiBB1400BBABCMMM2338BABBCBqlMiMi4、杆端弯矩表达式（两种情况叠加）由结点B平衡可得5、建立位移法方程223308608BBBqliiqli223308608BBBqliiqli6、求解基本未知量B2()48Bqli157、求杆端弯矩作弯矩图B将求得的代入杆端弯矩表达式得到：2222223348163816816BABBCBqlqlMiiiqlqlqlqlMiM图ABC2332ql216ql16主要介绍位移法的解题途径。1、确定基本未知量A、A=2、设法求出A、方法：把结构拆成杆件（图b、c）(b)qAMABAB示例2：作图a示刚架的弯矩图。qABCAAFP变形图(c)ACMACAFP(a)qABCFPlEI、lEI、(1)杆件分析：就是杆件在已知端点位移和已知荷载作用下的计算问题。17①AB杆的计算条件是：B端固定，A端有已知位移A、，并承受已知荷载q的作用。得到的是杆件的刚度方程。此时，可以获得各杆端弯矩的表达式。qAMABAB②AC杆的计算条件是：C端简支，A端有已知位移A，并承受已知荷载FP的作用。ACMACAFP)(12642线刚度lEIiqlliiMAAB形常数载常数（固端弯矩）1633lFiMPAAC载常数形常数18（2）整体分析(将杆件搭接成结构)杆件搭接时利用在A端各杆位移是相同的。作为变形协调条件。再利用结点A及结构AC杆的平衡条件，即可得到位移法的两个基本方程。基本方程是用结点位移表示的平衡方程。AMACMAB0ACABMM）（alFqlliiPA01631267200QABFxFQABMABFPAC如何求出FQAB呢？19（3）求基本未知量A、联立求解方程(a)和(b)即可获得结点位移A、。ABFQABMABMBAqFPACFQABFQBA0202qlMlFMABQABB12764)2(2qlliliqllMFAABQAB)(0127642bqlliliA即：位移法求解的关键就是求得结点位移。结点位移一旦求出，余下的问题就是杆件的计算问题。203、作弯矩图。（1）将求得的A、代入杆端弯矩表达式，可求出杆端弯矩的值。（2）根据杆端弯矩的值，利用与静定结构作弯矩图的相同方法可获得超静定结构的弯矩图。这里主要是介绍的位移法求解超静定结构的基本过程与方法，具体的计算后面给出。值得指出的是：在确定结构的基本未知量之前引入假设：对于受弯杆件，忽略轴向变形和剪切变形的影响。21§7-2等截面直杆的刚度方程位移法计算的基础是：单跨超静定梁具有支座移动和外荷载作用时的杆端力的计算。位移法将整体结构拆成的杆件不外乎三种“单跨超静定梁”：两端固定梁；一端固定、一端简支梁；一端固定、一端滑动梁。用到的数据是：形常数和载常数。(1)已知杆端位移求杆端弯矩——形常数；(2)已知荷载作用时求固端弯矩——载常数。22一、符号规则1、杆端弯矩规定杆端弯矩顺时针方向为正，逆时针方向为负。杆端弯矩的双重身份：1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时针方向为正，逆时针方向为负。2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内力，弯矩图仍画在受拉边。MBAMCBABCMBC232、结点转角结点转角以顺时针方向为正，逆时针方向为负。杆件两端相对侧移△的正负号与弦转角β的正负号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向为负。3、杆件两端相对侧移BAlABlABCDC()B()FP241、两端固定梁二、等截面直杆的刚度方程（形常数）EIilABEIMABMBAABlABEIABlAiBA4ABAMi2BAAMi6ABBAiMMlABiMABMBAAiBB2ABBMi4BABMi25642ABABiMiil624BAABiMiil642624ABABBAiMiiliiiMl式中系数4i、2i、6i/l称为刚度系数，即产生单位杆端位移所需施加的杆端力矩。由上图可得：可写成：上式就是两端固定梁的刚度方程。262、一端固定、一端滚轴支座的梁33ABAiMilBAiA3ABAMiBAi3ABiMlBAEIAlEIilABM其刚度方程为：273、一端固定、一端滑动支座的梁ABAMiBAAMiBAEIMABMBAAEIil其刚度方程为：284、等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同，则相应的杆端力也相同。64ABAiMil62BAAiMil1)BAMABMBAEIilABAMABMBAEIilA29ABAMiBAAMi33ABAiMilBAMABMBAAEIilBAMABMBAAEIil3)2)BAMABEIilABAMABEIilA301、两端固定梁8FFPABBAFlMM三、固端弯矩（载常数）212FFABBAqlMMFPAB/2l/2l8PFl8PFl8PFlqABl212ql224ql212ql单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向为负。312、一端固定、一端辊轴支座的梁28FABqlM316FPABFlMABl216qlq28qlFPBA/2l/2l532PFl316PFl323、一端固定、一端滑动支座的梁23FABqlM26FBAqlM2FPABFlM2FPBAFlM各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。ABlFP2PFl2PFlABl23ql26qlq33表7-1等截面杆件的固端弯矩和固端剪力321两端固支固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号qABlqABl121222qlMqlMFBAFAB22qlFqlFFQBAFQAB203022qlMqlMFBAFAB207203qlFqlFFQBAFQAB2222lbaFMlabFMPFBAPFAB)21()21(2222lblaFFlalbFFPFQBAPFQABFPABba346一端固定另一端铰支5两端固支74固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号续表7-1FPABl/2l/2t1ABt2t=t1-t2qABlqABl88lFMlFMPFBAPFAB22PFQBAPFQABFFFF88lFMlFMPFBAPFABhtEIMhtEIMFBAFAB00FQBAFQABFF82qlMFAB152qlMFAB8385qlFqlFFQBAFQAB1052qlFqlFFQBAFQAB35101198一端固定另一端铰支固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号续表7-1qABlFPABbaFPABl/2l/2t1ABt2t=t1-t22222)(lblbFMPFAB4011409qlFqlFFQBAFQAB12072qlMFAB323222)3(2)3(lalaFFlblbFFPFQBAPFQAB163plMFAB1651611PFQBAPFQABFFFFhtEIMFAB23hltEIFFFQBAFQAB233615141312一端固定另一端滑动支承固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号续表7-1qABlFPABbaABlFP+t1AB+t2t=t1-t20FQBAFQA