数理方程-总结复习及练习要点

第二篇数学物理方程•12基本知识定解问题的确立及分析定解问题求解之行波法定解问题求解之分离变量法定解问题求解之Green函数法定解问题求解之积分变换法数理方程基本知识3数学物理方程主要是指数学物理所涉及的偏微分方程，有时也包括相关的积分方程、微分积分方程，或者说物理规律用数学语言描述出来的偏微分方程就是数学物理方程。数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生的物理问题又各具有自身的特殊性，即个性。4具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述，这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方程。约束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的物理量确定，或者说，也能够使满足泛定方程的解确定下来，这些特定条件都可以称为定解条件。我们研究数理方程的目的就是为了确定方程的解，进而研究特定条件下物理量确定值或变化情况。数理方程基本知识数理方程基本知识5我们研究的这些定解条件或者约束物理量的特定条件大体可以分为两大类，一类关乎于环境对物理量发展过程的约束，这类约束主要体现于物理环境周围边界的物理状况，即边界条件。另一类关乎于物理量发展的历史状况，或者说这个物理量之前是什么样的，这类约束主要体现于时间上我们人为定义从何时开始针对于物理量的研究，或者说这个物理量研究初始时的状况，即初始条件。数学上边界条件和初始条件也统称为定解条件。数理方程基本知识6由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的问题称为数学物理定解问题，准确地说就是在给定定解条件下求解数学物理方程。偏微分方程的基本概念－偏微分方程的阶数最高的求导次数－偏微分方程的齐次与非齐次不含有研究函数的非零项－偏微分方程的线性与非线性数理方程基本知识7－劈形算符符合矢量运算222222=xyz－Laplace算符222222=xyz数理方程基本知识8场的概念物理量在空间或一部分空间上的分布就称为场数量场和矢量场如果描写场的量是数量函数，也就是没有方向性，只有大小之分，这个场就是数量场，如温度场，压力场；如果描写场的量是矢量函数就称这个场为矢量场，如速度场、电磁场、引力场数理方程基本知识9场的表示除用点的函数来描写场的物理、力学性质外，常在场中按一定规则绘出曲面或曲线来表示场中物理量分布；数量场矢量场其中A中各个分量代表了场矢量在x,y,z三个方向的分量(,,;)uuxyzt(,,),(,,),(,,)APxyzQxyzRxyz数理方程基本知识10方向导数数量场函数沿射线的差商的极限存在，则称此极限为数量场在点沿方向方向导数，记作如同一元函数导数反应的是函数变化率一样，方向导数反应的是数量场在点出沿方向e对距离的变化率。(,,;)uuxyzt000coscoscosxxyyzz000(,,)xyzcos,cos,cose(,,)eDuxyz000(,,)xyz000000000(,,)(,,)cos(,,)cos(,,)cosexyzDuxyzuxyzuxyzuxyz数理方程基本知识11梯度gradu称为数量场u的梯度，它的方向与u在M点上升的最快的方向同向(,,)eDuxyzgardueuuugarduijkxyz数理方程基本知识12发散量对于一般的矢量场和封闭曲面，我们称向着的外法矢量方向流过的流量为发散量散度单位体积的发散量在点M0处的极限称为矢量场在点M0的散度，用于描述场发散或汇聚的快慢，记作aanads0()divaM数理方程基本知识13Gauss定理对于一般的矢量场()()()aPMiQMjRMk()()()()dVGPMQMRMadsxyz14基本知识定解问题的确立及分析定解问题求解之行波法定解问题求解之分离变量法定解问题求解之Green函数法定解问题求解之积分变换法泛定方程的建立15如何获得给出问题的泛定方程？－将各类不均匀的非线性的物理问题以微分转化为均匀的线性的符合已知物理规律的问题；例如：线的振荡问题通过分析线元受力获得；杆的纵振动通过分析杆微元受力获得；浓度扩散通过分析微小均匀体积内的扩散获得；温度扩散通过分析微小均匀体积内温度获得泛定方程的建立16泛定方程的建立17如何获得给出问题的泛定方程？－扩散方程结合高斯定律－热传导定律结合高斯定律qDuqku泛定方程的建立18从物理角度看三大类泛定方程－波动方程(描述波的传播、杆振动、电路中电流传播等物理现象的泛定方程)其中齐次情况下f(M,t)=0－输运方程(描述温度传播、浓度扩散的泛定方程)其中齐次情况下f(M,t)=0－稳态方程(描述静电场、稳定浓度分布的泛定方程)其中齐次情况为拉普拉斯方程2(,)ttuaufMt2(,)tuaufMt(,)ufMt泛定方程的建立19从数学角度看三大类泛定方程－波动方程属于双曲型－输运方程属于抛物型－稳态方程属于椭圆型2(,)ttuaufMt2(,)tuaufMt(,)ufMt212111221211122121112000aaaaaaaaa双曲型抛物型椭圆型判定依据1112221220xxxyyyxyauauaububucuf定解条件的确定20初始条件t=0时刻物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值也可以是对时间变量的导数或者两者皆有(视偏微分方程中对时间变量求导的阶数而定)注：1.初始条件描述物理量的状态为整个系统并非单个点;2.稳定场问题没有初始状态；0(,,)(,,)tuxyzxyz0(,,)(,,)ttuxyzxyz定解条件的确定21边界条件边界上物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值也可以是物理量在边界外法线方向上方向导数的值，或上述两种情况的线性组合，具体分为三种边界条件：第一类狄里希利问题第二类诺依曼问题第三类注：边界问题同样需要与阶数相同的条件个数来确定解(,)(,)(,)(,)(,)urtfMtufMtnuurtfMtn定解问题的形成及分析22200(M,t)(,)(,)(,)(M),(,)(M)tttttuauFuurtfMtnurturt泛定方程的齐次与非齐次；边界条件的类型；是否有初始条件；可用的方法：行波法(达朗贝尔公式)，分离变量法+傅里叶级数法+冲量定理法+叠加原理，Green函数(+冲量定理)，积分变换法；23基本知识定解问题的确立及分析定解问题求解之行波法定解问题求解之分离变量法定解问题求解之Green函数法定解问题求解之积分变换法定解问题求解之一—行波法24无界一维波动问题的特殊求解——达朗贝尔公式2000(),()ttxxtttuauuxux11(,)[()()]()22xatxatuxtxatxatda25基本知识定解问题的确立及分析定解问题求解之行波法定解问题求解之分离变量法定解问题求解之Green函数法定解问题求解之积分变换法定解问题求解之二—分离变量法26齐次泛定方程及边界条件定解问题－求解思路(具有变量分离形式的试探解)－回代入方程探讨关于x的特征值及特征函数－根据边界条件确定特征值及特征函数－傅里叶级数确定含时间函数级数形式的系数200000,0(0)(),()ttxxxxltttuauuuxluxux()()uXxTt1(,)(cossin)sinnnnnatnatnxuxtABlll定解问题求解之二—分离变量法27非齐次泛定方程，齐次边界条件定解问题(方案一)－结合分离变量法与傅里叶级数法－确定泛定方程解的傅里叶级数形式(通过齐次方程分离变量推导)，保证基函数不变，系数改变，通过分离变量确定－回代非齐次方程利用待定系数法求解关于的级数解2000(,)0,0(0)(),()ttxxxxltttuauFMtuuxluxux1(,)()()nnnuxtTtXx()nTt定解问题求解之二—分离变量法28非齐次泛定方程，齐次边界条件定解问题(方案二)－通过叠加原理分解问题，再通过分离变量法与冲量定理法求解(Page164页)2000(,)0,0(0)(),()ttxxxxltttuauFMtuuxluxux定解问题求解之二—分离变量法29齐次泛定方程，非齐次边界条件定解问题－构建函数取，利用构建的函数使在边界上变为齐次条件(page173)20000(),()(0)(),()ttxxxxltttuauututxluxux(,)(,)(,)uxtvxtwxt(,)vxt(,)wxt定解问题求解之二—分离变量法30球坐标拉普拉斯方程的分离变量过程自然边界条件的概念及一般应用勒让德方程的形式贝塞尔方程的形式欧拉型方程的形式及求解方法定解问题求解之二—分离变量法31线性二阶常微分方程的级数解法常点和奇点的定义及判别220001()()0()C,()Cdwdwpzqzwdzdzwzwz32基本知识定解问题的确立及分析定解问题求解之行波法定解问题求解之分离变量法定解问题求解之Green函数法定解问题求解之积分变换法定解问题求解之三—Green函数法33定解问题转化为格林函数的定解形式泊松方程的基本积分公式各类边值条件下格林函数解的形式－第一类边值问题的积分表示式－第三类边值问题的积分表示格林函数的基本解34基本知识定解问题的确立及分析定解问题求解之行波法定解问题求解之分离变量法定解问题求解之Green函数法定解问题求解之积分变换法定解问题求解之四—积分变换法35傅里叶变换及逆变换的形式(Page78)傅里叶变换的特性无界问题的傅里叶变换求解(Page329)拉普拉斯变换及逆变换的形式拉普拉斯变换的特性限定源浓度扩散问题的求解