数理统计(汪荣鑫)西安交通大学出版社1986 课后习题答案 [兼容模式]

第一章抽样和抽样分布1.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值x1,x2,…,xn的平均数为和方差为作变换，得到y1,y2,…,yn,它的平均数为和方差为。试证：。x2xsy2ys222,xyxacyscs=+=iixayc-=解：由变换，即iixayc-=iixayc-=iixacy=+2222222(),,11()()()iiiiiiiyiiixacynxnacnyxacycxxacyacyyycsnnn=+=+∴=+=-=+--=-=∑∑∑∑∑x而s12.在五块条件基本相同的田地上种植某种农作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。解：作变换11100,100,005100iiiiyxayynxay=-===×==+=∑22222222211[(8)(6)356]0345xyiissyyn==-=×-+-+++-=∑3.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体的一个子样，是子样平均数，试求E和D。解：XX111(),()iiiixpExExExnnnnlll===×=∑∑22111()iiiiiDxDxDxDxnnnnl====∑∑∑4.设X1,X2,…,Xn是区间（-1，1）上均匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。解：21121(1,1),0,2123xUExDx-+-====11()0111()3iiiiiiExExExExnnDxDxDxnnn======⋅=∑∑∑5.设X1,X2,…,Xn是分布为的正态母体的一个子样，求的概率分布。解：2211()niiYXms==-∑21(,),(0,1),,...,iinxXNNYYmmss-=Q则y且之间相互独立22221()()iiiiiixYxymmss-=-==∑∑∑由分布定义，Y服从自由度为n的分布。2c2()Ync2c16.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。又设。试决定常数C,使得随机变量CY服从分布。解：22123456()()YXXXXXX=+++++2c1123(0,1),(0,3),XNZXXXN=++22111(0,1),(1)33ZZNc2456ZXXX=++亦服从N(0,3)且与Z1相互独立2222(0,1),(1)33ZZNc且与相互独立。由分布可加性，2c2c222221212111()(2),33333ZZZZYcc+=+=∴=7.已知，求证证明：令()Xtn2(1,)XFn2(),(0,1)/UXtnUNnc=其中2222(),,nUUcccc2且与独立亦与独立2222,(1,)/UXFXFnnc=∴由分布定义8设母体,从中抽取容量n的样本求（1）n=36时，解：2(40,5)XN(3843)Px≤≤25(40,)64xNQ{}38404043403843{}5/65/65/6xPxP---∴≤≤=≤≤{2.43.6}(3.6)(2.4)(2.4)0.9918PU=-≤≤=Φ-Φ-=Φ=（2）n=64时，求{401}Px-25(40,)64xN解：4018{401}{}{}5/85/8582()10.89045xPxPpU-∴-===Φ-=第二章参数估计1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度为f(x)=,00,0xexxll-≥其中。试用矩法求的估计量。解：f(x)=（）0l()xel,00,0xexxll-≥0l01()xExxfxdxxedxlll+∞∞--∞===∫∫用样本估计Ex，则有x11,xxll=∴=＾12.设母体X具有几何分布,它的分布列为P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,…先用矩法求p的估计量,再求p的最大似然估计.解:(1)矩法估计12111(1)[(1)]'kkkkEXkppppppp∞-==⋅-⋅=--=⋅=∑∑1px∴=＾2111(((1))'[]'()')1(1)iixxxxxx----===--∑(2)极大似然估计11(1)(1)iiinxnxniLpppp--=∑=-⋅=-⋅∏ln()ln(1)lniiLxnpnp=-⋅-+∑ln10,1iinxdLnpdpppx-=+==-∑＾13.设母体X具有在区间[a,b]上的均匀分布,其分布密度为f(x)=1,0,axbba≤≤-其他其中a,b是未知参数,试用矩法求a与b的估计量.解:用和分别估计EX和DX得21[,],,()212abXUabEXDXba+==-X2S222()12abXbaS+-⇒33aXSbXS=-=+＾＾14.设母体X的分布密度为f(x)=其中(1)求的最大似然估计量;(2)用矩法求的估计量.解:1,010,xxqq-其他0qqq()xfx=1,010,xxqq-其他0q()1最大似然估计1111nnniiiiLxxqqqq--===⋅=⋅∏∏lnln(1)lniiLnxqq=+-∑lnln0,lniiiidLnnxdxqqq=+=∴=-∑∑＾2矩法估计用估计EX110()1EXxfxdxxxdxqqqq+∞--∞=⋅=⋅⋅=+∫∫X1XXq∴=-5.设母体X的密度为试求的最大似然估计;并问所得估计量是否的无偏估计.解：1(),2xfxexss-=-∞∞s1111()()22iixxnnniiiLfxeessss--==∑===∏∏lnln2lniixLnnss=---∑2ln0iixdLndsss=-+=∑得1iixns=∑＾0()11222ixxExEXxfxdxxedxxedxsssss+∞-∞+∞∞---∞====⋅=∫∫∫11()iiiiEExExnnss∴===∑∑是的无偏估计.ss＾6.设母体X具有分布密度f(x)=其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大似然估计量.解:似然函数1,0(1)!0,kkxxexkbb---其他11111()()(1)!(1)!iiiknnxxknnkkiiiiLxexekkbbbb----==∑==--∏∏11lnln(1)!lnln()nkiiiiLnknkxxbb-==--++-∑∏ln0,iidLnkkkxdxxbbbb=-=∴==∑或＾＾7.设母体X具有均匀分布密度,从中抽得容量为6的子样数值1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差的最大似然估计量的值.解:，的最大似然估计1(),0fxxbb=≤≤(0,)XUbbmax2.2ixb==b,1.122EXbbmm==∴==＾＾＾22221,0.40331212DXbssb==∴==＾＾8.设母体X的分布密度为f(x)=(),0,0xexxqq--≥试求的最大似然估计。解：q()Xfx=(),0,0xexxqq--≥似然函数()11()innxiiiLfxeq--====∏∏lnln(),0iidLLxndqq=--=∑无解为了使L达到最大，，尽可能小，尽可能大，而＾0iixnq-≥∑q(1)1,miniiinxxxqq≤≤≤∴==12设母体X服从正态分布是从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三个估计量（1）＾12(,1),(,)NXXm1122133XXm=+（2）＾2121344XXm=+（3）＾3121122XXm=+都是的无偏估计，并求出每个估计量的方差。问哪一个方差最小？解：m11212212121()333333EExxExExmmmm=+=+=+=同理：都是的无偏估计。23mm和m＾＾＾222222123215135111()(),()(),()()339448222DDDmmm=+==+==+=＾＾＾3m∴方差最小为有效＾对形如1,1,,niiiiixxxExmmm==≡=∑∑且时以为最有效＾2Dxns=13.设X1,X2,…,Xn是具有泊松分布母体的一个子样。试验证：子样方差是的无偏估计；并且对任一值也是的无偏估计，此处为子样的平均数()Pl*2Sl*2[0,1],(1)XSaaa∈+-lX解：*2(),,,,XPEXDXEXESlllll====*2*2((1)](1)(1)EXSEXESaaaaalall+-=+-=+-=14.设X1,X2,…,Xn为母体的一个子样。试选择适当常数C,使为的无偏估计。解：2(,)Nms1211()niiiCXX-+=-∑2s2211221()[()()]()2()()()iiiiiiiiiiiiixxxxxxxxmmmmmm+++-=---=----+-∑∑∑∑∑()1()()0iiExxmm+--=1122211111()()2()()()nniiiiiiiiiiExxExExxExmmmm--+++==-=----+-∑∑∑∑222(1)0(1)2(1)nnnsss=-++-=-212()1[],2(1)2(1)iiixxEcnns+-=∴=--∑18.从一批电子管中抽取100只,若抽取的电子管的平均寿命为1000小时,标准差s为40小时,试求整批电子管的平均寿命的置信区间(给定置信概率为95%).解:n=100,小时,s=40小时用估计,构造函数1000x=xm(0,1)/xuNsnm-=近似给定置信概率,有1a-2{}1Puuaa≤≈-即22()1ssPxuxunnaama-≤≤+≈-224010001.96992.2104010001.961007.810sunsunaa∴-=-×=+=+×=置信下限x置信上限x∴整批电子管的平均寿命置信概率为95%的置信区间为(992.2,1007.8)小时.19.随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长度(单位:cm)为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。设钉长分布为正态的，试求母体平均数的置信概率为90%的置信区间：（1）若已知（2）若未知。解：n=16,(1)若已知，构造函数m0.01();cms=s*2.125,0.017xs==0.01()cms=(0,1)/xuNnms-=给定置信概率90%，有2{}1Puuaa≤=-即0022()1Pxuxunnaassma-≤≤+=-02()(2.1250.0041)xunas∴±±置信区间为为（2）若未知构造函数s*(1)/xTtnSnm-=-给定置信概率90%，查得，有0.05(15)1.7531t=2((1))1pTtnaa-=-∴母体平均数的置信概率为90%的置信区间为，即（2.125±0.0075）m*0.05((15))sxtn±21.假定每次试验时，出现事件A的概率p相同但未知。如果在60次独立试验中，事件A出现15次，试求概率p的置信区间（给定置信概率为0.95）。解：n=60,m=15,x~“0-1”分布，,(1)mmmxsnnn==-构造函数(0,1)/xpuNsn-=近似给定置信概率95%，有2{}1Puuaa≈-即2211((1)(1)}1mmmmmmpupunnnnnnnnaaa--+-≈-故p的置信概率为95%的置信区间为（0.25±0.11）22.对于方差为已知的正态母体，问需抽取容量n为多大的子样，才使母体平均数的置信概率为的置信区间的长度不大于L?解：2sm1a-22(,),XNmss已知构造函数(0,1)/xuNnms-=给定置信概率，有，使1a-2ua2{}1Puuaa≤=-即22()1Pxuxunnaassma-+=-置信区间长度22uLnas≤22224/nuLas∴≥23.从正态母体中抽取一个容量为n的子样，算得子样标准差的数值。设（1）n=10,=5.1(2)n=46,=14。试求母体标准差的置信概率为0.99的置信区间。解：（1）n=10,*s*s*ss22(,),,XNmsms未知*25.1s=用估计,构造函数给定置信概率=99%,查表得*2s2s*2222(1)(1)nsnccs-=-1a-220.005