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研究生“数理统计”课程课外作业姓名：学号：学院：专业：类别：上课时间：成绩：摘要：数理统计是数学系各专业的一门重要课程。随着研究随机现象规律性的科学—概率论的发展，应用概率论的结果更深入地分析研究统计资料，通过对某些现象的频率的观察来发现该现象的内在规律性，并作出一定精确程度的判断和预测；将这些研究的某些结果加以归纳整理，逐步形成一定的数学概型，这些组成了数理统计的内容。他广泛应用于理，工，农，医，管等各个学科的理论和应用研究领域。本文就是利用数理统计来分析数据之间的关系。关键词：数理统计独立性假设检验独立性假设检验问题调查：中国某调查公司对100000户家庭组成的简单随机样本进行了家庭电话拥有量与汽车拥有量的调查，分析家庭中电话的拥有量和汽车的拥有量是否相关获得了如下的资料：根据这些资料对电话拥有量与汽车拥有量是否独立作出判断汽车拥有量(辆)电话量拥有量（台）012合计0100090010020001150026005004600250025004003400合计30006000100010000独立性假设检验问题分析：城市中的家庭电话的拥有量为X，和汽车的拥有量为Y。则电话拥有量与汽车拥有量的问题可视为随机变量X与Y是否独立的问题。1.问题的描述：设总体为随机变量（X，Y），X的所有可能的不同的取值为a1，a2，……ar，Y的所有可能的不同取值为b1，b2，……bs，对（X，Y）做n次独立观测，得到时间{X=ai，Y=bj}的频数nij（i=1,2……，r；j=1,2，……s）据此检验：H0：X与Y独立，H1：X与Y不独立。2.X2检验法假设（X,Y）的联合分布函数为F(x,y)，边缘分布为FX（x），FY（y），那么X与Y独立等价于F(x,y)=FX（x）FY（y），-∞x,y+∞.将抽样数据用r*s表来表示：r*s列联表YXb1b2……b4ni.a1n11n12……n1sn1.a2n21n22……n2sn2.………………………………arnr1nr2……nrsnr.n.jn.sn.snr2n.snni.=∑𝑛𝑖𝑘𝑠𝑘=1（i=1,2，……，r），n.j=∑𝑛𝑘𝑟𝑘=1𝑗（j=1,2，……s）。pij=P（X=ai，Y=bj），pi.=∑𝑝𝑖𝑘𝑠𝑘=1，p.j=∑𝑝𝑘𝑟𝑘=1𝑗（i=1,2，……r；j=1,2，……s）上述的假设检验可转化为：H0：pij=pi.p.j,H1:pij≠pi.p.j（i=1,2……，r；j=1,2，……s）若pij均已知，则令X2=∑∑（𝐧𝐢𝐣−𝐧𝐩𝐢𝐣）𝟐𝐧𝐩𝐢𝐣𝒓𝒊=𝟏𝒔𝒋=𝟏（1）当n充分大时，选择X2作为检验统计量（一般情况下pij未知，只是可以用pij的最大似然估计p̂ij代替）在H0成立的条件下有pij=pi.p.j，经过计算，统计量Xn2=∑∑（nij−np̂ij）2np̂ij𝑟𝑖=1𝑠𝑗=1=∑∑（nij−np̂i.p̂.j）2np̂i.p̂.j𝑟𝑖=1𝑠𝑗=1=n∑∑（nij−ni.n.j𝑛）2ni.n.j𝑟𝑖=1𝑠𝑗=1（2）在H0成立的条件下Xn2的极限分布为X2（rs-1-（r-1）-（s-1））=X2（（r-1）（s-1））拒绝域为{Xn2X21-a（（r-1）（s-1））}。结论：对上述的问题中，n=10000，r=s=3，取a=0.01，则拒绝域为{Xn2X20.99（（r-1）（s-1））}由（2）式我们可以算得Xn2的样本值为794.3，则{Xn2X20.99（4）=13.28}落在拒绝域内，故拒绝H0，接受H1，即电话的拥有量与汽车的拥有量不独立。数理统计是一门很实用的课程，从生活出发可以解释生活中很多现象，不仅可以锻炼我们的思维能力，培养我们的探索精神，也可以拓宽我们的知识面。参考资料：【1】数理统计杨虎，刘琼荪钟波高等教育出版社