结构随机振动理论2

Chap.2随机振动的数学基础§2-1《概率统计》知识要点一.概率论中的基本概念1.利用集合及其运算对涉及的概念的描述如：样本空间、随机事件、和事件、积事件2.实例频率概率（描述发生的可能性，并不科学）（定义出集合函数）4.求解古典概型的几个有力工具条件概率公式乘法原理全概率公式和贝叶斯公式“全”最具威力；柯尔莫哥洛夫(kolmogorov)（前苏联）1933将概率论实现公理化基本事件的概率特征对试验分类概型3.二.随机变量•目的:引入随机变量，可将高数(强大工具)应用到概率研究中，进行运算。•思路:样本数量化用实数标识一个样本随机变量随机变量的分布函数样本空间实数集映射语言描述实数变量随机变量是对随机现象的数量化描述•一个随机试验的所有基本事件的集合,称为样本空间,记为Ω•一个基本事件就是Ω中的一个元素，记为ω•按某种规则，对每一个ω指定一个数，它是ω的确定性函数。但其“自变量”ω不是数，而是Ω中的元素，定义域是Ω。就称为随机变量，简记为•一个基本事件就可用随机变量取某个确定值表示，记为。而任一事件就用随机变量取某一范围的值表示，记为，该事件发生的可能性则用概率描述。)(X)(X)(XxXX21xxx][21xxxP样本空间实数集映射语言描述实数变量随机变量是对随机现象的数量化描述1.2.几种离散型随机变量的分布律3.定义分布函数4.分布函数概率密度函数连续积分式定义概率概率密度函数积分转化x1)(xp)(xp)()()()(xFdxdxpdpxFxx)(xF概率密度函数概率分布函数)(xF几种重要的分布函数：正态分布（Gauss分布）瑞利分布泊松分布韦布尔分布平均分布三、多维随机变量及其分布*样本可能具有多个特征，多个随机变量描述一个样本。*多维随机变量的概率分布函数（联合分布函数）。*边缘分布四、随机变量的数字特征——把握随机变量的有效途径分布函数，完整描述随机变量的概率分布，但实际上求分布函数很困难。这时去关心随机变量的特征。常有：数学期望、方差、相关系数、矩*重点：理解数字特征的意义；掌握其求法及互推关系。*强调：随机变量之间“相关”是指“线性相关”；相互独立：没有任何关系；“不相关”不一定“相互独立”。XnxXiininpxXE][)3,2,1(ixiXXix)(iixXPp},3,2,1,{ipiX§2-2随机变量的数字特征——矩随机变量的n阶矩，定义为的集合平均。*对于离散型随机变量，n阶矩表示为：其中：为随机变量可能取得数值；取的概率记为称为离散型随机变量的概率分布列x)(xp)(xp概率密度函数*xcxdxdxxpdAp)(dxxpxXEnn)(][)(xpX其中：为的概率密度函数。最常用的是一阶矩和二阶矩。*对于连续型随机变量X，n阶矩表示为：一、一阶矩dxxpxXE)(][（原点一阶矩）考察几何意义形心1)(dxxpAPccppxxAxdAdxxpxXE)(cxpAXEx总面积：—表示均值（meanvalue）或者数学期望（expectedvalue）。反映集合的平均。鉴于很重要，地位特殊，专用符号表示。形心处的x坐标。x)(xp*xcxdxdxxpdAp)(dxxpxXE)(22pA0x0x二、二阶矩（二阶原点矩）均方值(meansquarevalue)，反映随机变量的能量水平。几何意义：对轴的“惯性矩”。上述讨论的针对轴的矩，是原点矩。x)(xp*xcxdxdxxpdAp)(dxxpxXEnxnx)()(])[(0xXE])[()(2xXEXD)(XDXx2x三、中心矩（对形心轴之矩）n阶中心矩：一阶：二阶：也称的方差（variance），常用表示的平方根，即称为标准差（standarddeviation）。2xx)(xp*xcxdxdxxpdAp)(xx222][xxXE][)1)((2][)2()(22222222xpxxxxxxxxxXEAdxxpXEdxpxxdxpx中心二阶矩与原点二阶矩互推关系推导过程：四、联合矩多维随机变量（也称随机矢量）。以二维为例X,Y*(n,m)阶联合矩dxdyyxpyxYXEmnmn),(][dxdyyxxypXYE),(][yxdyyypdxxxpXYE)()(][常用的（1,1）阶，也称相关矩（Correlationmoment）。当X与Y统计独立时，有：0][XYEXY])()[(mynxYXEdxdyyxpyxmynx),()()(xyCyxyxxyXYEyxEYXC)])([(),(Cov如时，则称与正交。*（n，m）阶联合中心矩（1,1）阶联合中心矩，重要协方差（Covariance），用表示。0xyCXYyxXYE0xyC如：，与是不相关的。讨论：①与独立，则X与Y必不相关。②反之，不一定成立（仅在一类特殊场合—正态分布时，独立性与不相关性等价）。XYxyCyxxyxyC11xyxy1xy0xy*协方差无量纲化称为相关系数。取值范围：反映X，Y线性相关程度。，线性相关；，不相关。t),(tX§2-3随机过程的基本概念一、定义如对每个，按某种规则,指定时间的函数，那么考虑所有不同，就有一族函数，这族函数就看作为随机过程。随机过程被认为是概率论的“动力学”部分（J.Negman，1960），意思是讲，它的研究对象是随时间演变的随机现象。为帮助理解，让我们看一个例子。设想让一位司机驾驶一辆装货不变的卡车在一段规定的路面上以预定的速度规律从A处开到B处，测量远离发动机的主梁上某点的正应力。虽然所有实验者能控制的因素都保持不变，但由于实验者所不能控制的因素（主要是路面不平度）的随机性，使得每次测得的应力时间历程都是彼此不同的，因而这是一个随机实验。实验可进行无穷多次，得到无穷多个不同的应力时间历程，所有可能得到的应力时间历程的全体就构成一个随机过程，而其中任一个时间历程就是一个样本函数。如果将所有应力时间历程如图1.那样排列起来，那么在固定时刻上，随机过程就化为一个随机变量。*的任意抽样，即表示一个样本函数，是一个确定性的时间历程曲线；*当固定一个时刻，得到一个随机变量，称为截口随机变量。)(tXi)(txi)(tXjt)(jtX★两种解释:1.可看成是一族函数组成的集合。2.一组随机变量的集合。（多维随机变量）)(,),(),(21txtxtxn)(,),(),(21mtXtXtXt)(tX状态可分为离散或连续的，参数可分为离散或连续的。分四类：①连续参数的连续随机过程②连续参数的离散随机过程③离散参数的连续随机过程④离散参数的离散随机过程随机过程的概率描述分：完全描述、不完全描述★完全描述①维概率分布密度函数一维：二维：……n维：②特征函数的Fourier变换③矩函数),(11txpx),;,(2211txtxpx),;;,;,(2211nnxtxtxtxp……xp★不完全方法（数字特征）①时域描述——相关分析：一维相关函数方差函数D均方差函数协方差函数②频域描述——谱分析数字特征虽不能像概率分布那样较完善的描述随机过程，但能集中反映过程的主要统计特性。)(tXE)()(),(2121tXtXEttRxnkknxtxndxtxxptXEt1)(1lim),()()(dxtxpxtXEtx),()()(222)()())()(()(2222ttttXEtxxxx四、随机过程的数字特征*时域数字特征（Timedomain）★一维分布（1）均值函数（Meanvaluefunction）（2）均方值函数（Meansquarefunction）（3）方差函数（Variancefunction）)(tx)(2tx)(tX)(2tx：描述随机过程的平均发展趋势；：描述随机过程偏离原点的平均分散程度随时间的变化；也描述平均功率随时间的变化。：描述随机过程偏离平均趋势的平均分散度随时间的变化。)(1tX)(2tX212211212121),;,()()(),(dxdxtxtxpxxtXtXEttRx)(1tX)(2tXttt21)(),(2tttRxx★二维分布*两个截口随机变量、（1）自相关函数（autocorrelationfunction）反映两个随机变量和间的相关程度。如：则：)()(),())()())(()((),(2121221121ttttRttXttXEttCxxxxxxttt21)(),(2tttCxx)(tX)(tX（2）自协方差函数如：则：)(2tx)(2tx),(21ttRx),(21ttCx均方值、方差、自相关、协方差均属于二阶矩。定义：如果一个随机过程的二阶矩函数存在，称为二阶矩过程。)(tx)(tRx)(tx)(tRx0)(tx)(tRx讨论：对二阶矩过程，不完全描述中：①只有与是独立的，其余的数字特征函数均可由和推出。②实际过程，如（或平移、中心化处理），仅余最重要。)(tRx)(tX)(tY)(jtX)(ktY)()(tYtX与),;,(2211tytxpx212211_212121),;,()()(),(dydxtytxpyxtYtXEttRXY两个不同随机过程、（随机矢量过程）取截口随机变量、的二维联合概率密度函数为：（1）的互相关函数（Cross-correlation）)()(tYtX与)()(),())]()())(()([(),(2121221121ttttRttYttXEttCyxXYyxXY)()(),(),(212121ttttCttyxXYXY（2）互协方差函数规则化处理：称为相干函数“自”（Auto-）：同一随机过程“互”（Cross-）：不同的随机过程),(),(),(),(),(),(),(),(1221122112211221ttCttCttRttRttCttCttRttRYXXYYXXYXXXX),(2),(),(211221ttCttCttCXYyX*二阶矩函数的特性：1.对称性：2.自相关函数的非负定性3.4.随机过程加上确定性函数，协方差函数不变。因此，仅当计算协方差函数时，设随机过程具有零均值。§2-4平稳过程按照统计特性是否与初始时间有关，分平稳过程和非平稳过程。一、定义1.（不完全描述）（考虑二阶矩）consttx)()(),(21fttRx12ttR如①②（任意两个截口随机变量，只要时差相同，相同），称X(t)为宽平稳过程（也称弱，广义平稳过程）2.（完全描述）如果X(t)的有限维概率分布都不随时间发生变化，称X(t)为严平稳过程（也称强平稳过程）。通俗的讲，所有更高阶（多个截口）联合概率密度函数总是与时刻t无关讨论：①严时，必是宽；反之，不然。（欧进萍P34、李杰P29）②特例：对正态过程，宽、严等价。从目前数学水平看，完全描述难于实现。对实际问题多采用不完全方法。多采用宽平稳过程。这里用一般的平稳过程，即指宽平稳过程。三、各态历经的平稳过程对于平稳过程，统计性质与时间的起点无关。自然联想到：一个充分长的样本可否代替样本集合？一个样本按时间平均可否代替按总体平均？实际当中，有些样本资料很难取得的，如地震记录，如能用一个样本代替样本集合。是具有重要的实际意义的。这些问题，是各态经历理论所研究的。)(tx}),({TttXdttxTtxtXE