(第33课)导数在实际生活中的应用

3.4导数在实际生活中的应用宿迁青华中学徐守高1、实际问题中的应用.在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间.0)(xf满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.3、求最大（最小）值应用题的一般方法(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。(2)确定函数定义域，并求出极值点。(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点。2、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来。首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。其次，建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题,再解。4.问题类型1.几何方面的应用2.物理方面的应用.3.经济学方面的应用(面积和体积等的最值)(利润方面最值)(功和功率等最值)60解:设箱底边长为xcm，箱子容积为V=x2h例1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？则箱高260xh26032xxxxV´=60x－3x²/2令V´=0，得x=40,x=0(舍去)得V(40)=16000答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3)600(x;0()40,0(）时，当xVx.0()60,40(）时，当xVx。为极大值，且为最大值)40(V在实际问题中，如果函数f(x)在某区间内只有一个x0使f´(x0)=0,而且从实际问题本身又可以知道函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，f(x0)就是所求的最大值或最小值.(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)11年应用题是全卷的焦点请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。课本例题的改编导数解决放到17题位置相对简单。xxEFABDC练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),.2RVh则2222)(RRVRRS.222RRV.042)(2RRVRS由.23VR解得3222VRVh从而即h=2R.可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答罐高与底的直径相等时,所用材料最省.•2008－17如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．•（1）按下列要求建立函数关系式：•（i）设（rad），将表示成的函数；•（ii）设（km），将表示成的函数；•（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。•【解析】本小题主要考查函数最值的应用．BCDAOPBAOOPx10101010tancoscosyOAOBOP2010sin10cosy042220200010yxxxx'2210coscos2010sin102sin1coscossinymin101036y＝时例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时,利润L最大。.8125qp分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.281258125qqqqpqR解：收入)2000(1002181)4100(812522qqqqqqCRL利润2141'qL021410'qL，即令求得唯一的极值点84q因为L只有一个极值点,所以它是最大值.答:产量为84时,利润L最大.xy练习1:如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0x2),则A(x,4x-x2).从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0x2)..16246)(2xxxS令,得.3322,33220)(21xxxS),2,0(1x所以当时,.9332)(3322maxxSx因此当点B为时,矩形的最大面积是)0,3322(.9332•例4，如图，设铁路AB之间距离为50km，C到AB的距离为10km，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2a元，公路费用为4a元，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？.____________:CA33103100310x,0310x)(310,310010042)500(1004a)50(2CA1004aMCx),-2a(50AMx,MB''21'2'22答最省。至千米时运费由所以时，当时，又当舍解得：令从而的总费用为：至所以上的运费为上的运费为则解：设xyyxxyxaxayxxxayx练习2、如图,铁路线上AB段长100km,工厂C到铁路的距离CA=20km.现在要在AB上某一处D,向C修一条公路.已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?BDAC解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.2220x2400x又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为).1000()100(34005352xxtxtBDtCDty令,在的范围内有唯一解x=15.0)34005(2xxty1000x所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离不超过15千米时,所选D点与B点重合.练习1、把长为100cm的铁丝分为两段，各围成正方形，怎样分法才能使两个正方形面积之和最小？x100-4x4解:设分成一段长为4xcm,则第一个正方形面积为另一个面积为2x22100-4x()=(25-x)4所以面积之和为222s=x+(25-x)=2x-50x+625's=4x-50所以4x-50=0得x=12.5,当x12.5时，s’0,当x12.5时，s’0,故当x=12.5时s最大值为312.5平方厘米答：当一段为4x＝50cm时，面积之和最小，此时另一段也为50cm练习2、同一个圆的内接三角形中，等边三角形面积最大。提示：设圆的半径为R（常数），等腰三角形的底的边心距为x，则高为R＋x,底边长为________等腰三角形的面积为22221s(x)=2R-x(R+x)=(R+x)R-x(0xR)2ABCRXR此时可求得AB＝AC＝BC＝3R练习3、做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为多少时最省材料?练习4、用铁皮剪一个扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角多大时容积最大？ax解3、设水箱的高为xdm,则它的底边长为a=dm25616=xx水箱所用的材料的面积为2256s(x)=4ax+a=64x+(x0)x2232x-256xs'(x)==0,x=4xx令得因为s(x)只有一个极值，故高为4dm时最省料升立方分米4、设圆铁皮半径为R，扇形的圆心角为弧度，则圆锥底半径为R2Rr圆锥的高为222242RhRr圆锥形容器的容积为3222221()4(02)324RVrh323222R8-326V'()==02434-令，得＝因过小或过大都会使V变小，故时，容器的容积最大。263＝rRhC2r周＝L=R弧练习5、已知海岛A与海岸公路BC的距离AB为50KM，B、C间的距离为100KM，从A到C，先乘船，船速为25KM/h，再乘车，车速为50KM/h，登陆点选在何处所用时间最少？ABCD解：设登陆点选在D处，使BD＝xKM，则乘船距离为，乘车距离为(100－x)KM2250+x所用时间2250+x100-xt(x)=+(0x100)25502x1t'(x)=-,t'(x)=0,5025x+50令得503x=3（舍去负值）因为当x时，t’0,当x时，t’0,故当登陆点选在距离BKM处时所用时间最少。503350335033练习4:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.设,由x,y为正实数得:sin21,cos1yx.0.sin)cos1(21xy.sin)cos1(21)(f设).21)(cos1(cos]cos)cos1(sin[21)(2f令,得又0)(f;21cos,1cos.3,0,又f(0)=f(π)=0,833)3(f.833)]([maxf故当时,43,23yx.833)(maxxy练习5:证明不等式:).0()1(321)1(211ln32xxxxx证:设).0()1(32)1(211ln)(32xxxxxxf则,12)1()1(2)1(11)(2322xxxxxxxxf令,结合x0得x=1.0)(xf而0x1时,;x1时,,所以x=1是f(x)的极小值点.0)(xf0)(xf所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.从而当x0时,f(x)≥1恒成立,即:成立.2)1(211lnxxx3)1(321x小结•作业