正余弦定理高考真题.doc

1高一（下）数学（必修五）第一章解三角形正弦定理、余弦定理高考真题1、（06湖北卷）若ABC的内角A满足2sin23A，则sincosAAA.153B．153C．53D．53解：由sin2A＝2sinAcosA0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA0，又25(sincos)1sin23AAA，故选A2、（06安徽卷）如果111ABC的三个内角的余弦值分别等于222ABC的三个内角的正弦值，则A．111ABC和222ABC都是锐角三角形B．111ABC和222ABC都是钝角三角形C．111ABC是钝角三角形，222ABC是锐角三角形D．111ABC是锐角三角形，222ABC是钝角三角形解：111ABC的三个内角的余弦值均大于0，则111ABC是锐角三角形，若222ABC是锐角三角形，由211211211sincossin()2sincossin()2sincossin()2AAABBBCCC，得212121222AABBCC，那么，2222ABC，所以222ABC是钝角三角形。故选D。3、（06辽宁卷）ABC的三内角,,ABC所对边的长分别为,,abc设向量(,)pacb,(,)qbaca,若//pq,则角C的大小为(A)6(B)3(C)2(D)23【解析】222//()()()pqaccabbabacab，利用余弦定理可得2cos1C，即1cos23CC，故选择答案B。【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。4、（06辽宁卷）已知等腰ABC△的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（）Ａ．32Ｂ．3Ｃ．158Ｄ．157解：依题意，结合图形可得15tan215A，故221522tan15152tan7151tan1()215AAA，选D5、（06全国卷I）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且2ca，则cosBA．14B．34C．24D．23解：ABC中，a、b、c成等比数列，且2ca，则b=2a，222cos2acbBac=222242344aaaa，选B.6、06山东卷）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=3,a=3,b=1，则c=2(A)1（B）2（C）3—1（D）3解：由正弦定理得sinB＝12，又ab，所以AB，故B＝30，所以C＝90，故c＝2，选B7、（06四川卷）设,,abc分别是ABC的三个内角,,ABC所对的边，则2abbc是2AB的（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而充分条件（D）既不充分又不必要条件解析：设,,abc分别是ABC的三个内角,,ABC所对的边，若2abbc，则2sinsin(sinsin)ABBC，则1cos21cos2sinsin22aBBC，∴1(cos2cos2)sinsin2BABC，sin()sin()sinsinBAABBC，又sin()sinABC，∴sin()sinABB，∴ABB，2AB，若△ABC中，2AB，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到2abbc，所以2abbc是2AB的充要条件，选A.8、（06北京卷）在ABC中，若sin:sin:sin5:7:8ABC，则B的大小是___________.解：sin:sin:sin5:7:8ABCabc＝578设a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可解得B的大小为3.9、（06湖北卷）在ABC中，已知433a，b＝4，A＝30°，则sinB＝32.解：由正弦定理易得结论sinB＝32。10、（06江苏卷）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识【正确解答】由正弦定理得，sin45sin60ACBC解得46AC【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理11、（06全国II）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．解析:由ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得3BAD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得3AD。本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。12、（06上海春）在△ABC中，已知5,8ACBC，三角形面积为12，则C2cos.解：由三角形面积公式，得1sin20sin122BCCACC，即3sin5C．于是27cos212sin25CC从而应填725．313、（06湖南卷）如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.（1）证明sincos20;（2）若AC=3DC,求的值.解：(1)．如图3，(2)2,sinsin(2)cos2222，即sincos20．（2）．在ABC中，由正弦定理得3,.sin3sinsinsin()sinsinDCACDCDC由(1)得sincos2，2sin3cos23(12sin),即23323sinsin30.sinsin23解得或．30,sin,.22314、（06江西卷）在锐角ABC△中，角ABC，，所对的边分别为abc，，，已知22sin3A，（1）求22tansin22BCA的值；（2）若2a，2ABCS△，求b的值．解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝，22sin3A，所以cosA＝13，则22222BCsinBCAA2tansinsinBC222cos21cosBC11cosA171cosA1cosBC21cosA33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－（2）ABCABC1122S2SbcsinAbc223因为＝，又＝＝，则bc＝3。将a＝2，cosA＝13，c＝3b代入余弦定理：222abc2bccosA＝＋－中得42b6b90－＋＝解得b＝315、（06江西卷）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设MGA＝（233）（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数（2）求y＝221211SS＋的最大值与最小值解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以AG＝233323＝，MAG＝6，由正弦定理GMGAsinsin66＝（－－）得3GM6sin6＝（＋）BDCαβA图3DABCMN4则S1＝12GMGAsin＝sin12sin6（＋），同理可求得S2＝sin12sin6（－）（2）y＝221211SS＋＝222144sinsinsin66〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋cot2），因为233，所以当＝3或＝23时，y取得最大值ymax＝240当＝2时，y取得最小值ymin＝21616、（06全国卷I）ABC的三个内角为ABC、、，求当A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。.解:由A+B+C=π,得B+C2=π2－A2,所以有cosB+C2=sinA2.cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=1－2sin2A2+2sinA2=－2(sinA2－12)2+32当sinA2=12,即A=π3时,cosA+2cosB+C2取得最大值为3217、（06全国II）在2545,10,cos5ABCBACC中，,求（1）?BC(2)若点DAB是的中点，求中线CD的长度。解：（1）由255cossin55CC得2310sinsin(18045)(cossin)210ACCC由正弦定理知10310sin32sin1022ACBCAB（2）105sin2sin522ACABCB，112BDAB由余弦定理知2222cos1182132132CDBDBCBDBCB18、（06四川卷）已知,,ABC是三角形ABC三内角，向量1,3,cos,sinmnAA，且1mn（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若221sin23cossinBBB，求tanB解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。（Ⅰ）∵1mn∴1,3cos,sin1AA即3sincos1AA312sincos122AA,1sin62A∵50,666AA∴66A∴3A（Ⅱ）由题知2212sincos3cossinBBBB，整理得22sinsincos2cos0BBBB∴cos0B∴2tantan20BB∴tan2B或tan1B而tan1B使22cossin0BB，舍去∴tan2B5∴tantanCABtanABtantan1tantanABAB231238531119、（06天津卷）如图，在ABC中，2AC，1BC，43cosC．（1）求AB的值；（2）求CA2sin的值.本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解决问题的能力.满分12分.（Ⅰ）解：由余弦定理，2222..cosABACBCACBCC3412212.4那么，2.AB（Ⅱ）解：由3cos4C，且0,C得27sin1cos.4CC由正弦定理，,sinsinABBCCA解得sin14sin8BCCAAB。所以，52cos8A。由倍角公式57sin2sin2cos16AAA，且29cos212sin16AA，故37sin2sin2coscos2sin8ACACAC.20、（07重庆理5）在ABC中，,75,45,300CAAB则BC=（）A.33B.2C.2D.33【答案】：A【分析】：003,45,75,ABAC由正弦定理得：3,,sinsinsin45sin75624acBCABAC33.BC21、（07北京文12理11）在ABC△中，若1tan3A，150C，1BC，则AB解析：在ABC△中，若1tan3A，150C，∴A为锐角，1sin10A，1BC，则根据正弦定理ABsinsinBCCA=102。．22、（07湖南理12）在ABC△中，角ABC，，所对的边分别为abc，，，若1a，b=7，3c，则B．【答案】5π6【解析】由正弦定理得1373cos,2213B，所以5π.6B23、（07湖南文12）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为abc、、，若1,3,3acC，则A=.【解析】由正弦定理得21323sinsinsinsincCaACcAa，所以A=π624、（07重庆文13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝。【答案】：3【分析】：由余弦定理得：22212212cos603.3.ACAC624、（07北京文理13）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础