爆炸力学基础(安徽理工大学王猛)课后作业答案

作业答案作业1计算仅与矢径有关的标量函数的梯度。r)(rgrad解答：zkyjxigradkdzjdyidxrdzrrzyrryxrrx,,rzzrryyrrxxr,,drdrzzdrdryydrdrxx,,222zyxrrrrdrdrzkyjxizkyjxigrad)('作业2证明：2121)(adivadivaadiv解答：zyxakajaia1111zyxakajaia2222)()()(21212122211121zzyyxxzyxzyxaakaajaaiakajaiakajaiaazayaxaadivzyx2122211121212121)()()()(adivadivzayaxazayaxazaayaaxaaaadivzyxzyxzzyyxx作业3的场称为无源场。证明无源矢量经过矢量管任一横截面上的通量保持同一数值。0adiva任取此矢量管的两横截面和，考虑由横截面，和，与矢量管侧面所组成的封闭曲面S，以V表示S内的体积.由高斯公式矢量场无源，故，111'VSndVadivdSa0adiv0dSaSn01'dSadSadSannn在矢量管侧面上，无源矢量经过矢量管任一横截面上的通量保持同一数值。0na'0'dSan1dSadSann作业4证明：若是位势场（），则必为无旋场；反之亦然。agrada设反之，设，由stokes公式有其中是任意边界，于是矢量沿任意封闭回线的线积分为0。则必为位势场（某一标量函数的梯度场）。grada0rotgradrot0arotLSSdarotrda0LaL作业5将和转化为面积分dVavV)(dVVdSanvdVavSV)()(dSndSndVSSV作业6写出并矢的分量形式。解答ba332313322212312111bababababababababababaji作业7设椭球面中心为O点，P为椭球面上任一点，其矢径为，则rgradFrS21根据3333233213313223222212213113211211111xxsxxsxxsxxsxxsxxsxxsxxsxxsxxsFjiij333232131132322212113132121111212121xsxsxsxFxsxsxsxFxsxsxsxFgradFxFxFxF21)(21321333232131323222121313212111xsxsxsxsxsxsxsxsxsxsrSiij故得证结果说明的方向恰与张量椭球面在P点的法线方向一致。gradFrS21rS作业8将并矢张量分解成对称部分和反对称部分，求其反对称部分相当的矢量。ba332313322212312111bababababababababababaji0)()()(0)()()(0)()()()()()()2121()2121(322321311321233221211221133121122121333223213113212332212221122113312112212111babababababababababababababababababababababababababababababababaASbaijjiijjiji0)()()(0)()()(0000322321311321233221211221133121122121121323babababababababababababaA)()()(211221313312123223211babababababaab21作业9计算并矢张量的不变量。ba00323322111IIbababaI作业10试判断以下两个应力张量是否表示同一应力状态？10000000ijab2022022000ijabababab0abab00000000ababba00000000ab对于1ij同理，对于2ij1022ababJab2000222000222abababJabababab30220022000ababababJ两个应力张量表示同一应力状态。1I2I3I作业11用解析的方法求证VdtdVvdiv1zyxVvdivzwyvxuzdtdzydtdyxdtdxzyxdtdzyxVdtdV111)(11作业12设平面纯剪切运动的速度分布为试求：1、，及旋转速度和变形速度2、主值及主轴方向，变形张量的标准形式。0,wvayuvrot2v3vkaayzyxkjiwvuzyxkjivrot00)(21321232221yxxzzyzyxayuxvzwxwzuyvzvywxu332211,00,00,0yxa21jxaiyazyxakjirvrotv21210021212jxaiyazkyjxiv21213三个不变量为01I2241aI03I特征方程为对应主轴方向为0,21,2104132123aaakjikjikji000,02121,02121在主轴坐标系中变形速度张量的标准形式为对应二次曲面方程为为双曲面00002/0002/aaS02222yaxa作业131、设变形体运动由下列欧拉变数下的速度函数给出，求t=0时过M（-1，-1）点的流线与轨迹。2、设流体运动以欧拉观点给出将此转换到拉格朗日观点中取，并求加速度。0,,wtyvtxu)0(0,,22bawtbyvtaxu流线微分方程为解此微分方程得t=0时x=-1，y=-1C=-1得流线方程为tydytxdxCtytx))((1xy轨迹微分方程为解此微分方程得到tydtdyvtxdtdxu1121teCyteCxttt=0时x=-1，y=-1C1=C2=0消去t后得轨迹方程02yx作业132、设流体运动以欧拉观点给出将此转换到拉格朗日观点中去，并求加速度。)0(0,,22bawtbyvtaxu解之得到022wdtdztbyvdtdytaxudtdx3222322111bbtbteCyaatateCxrbtat理解随体导数的概念。对于某个质点而言，由于场的不均匀性和非定常性而引起的变化。由于C1,C2(C3)决定不同的质点初始位置。C1,C2(C3)可由各质点初始位置（坐标或矢径）决定。),,(321CCCi在拉格朗日坐标中不出现x、y、z，只出现a、b、c（Lagrange变数）即x、y、z不变化，即t=0时刻，每一组a、b、c都用一组固定的x、y、z做了标识。0222222221222tzwbeCbtyvaeCatxubtat在欧拉坐标中，纵观全局变化022dtdwwbvtdtdvvautdtduu作业143、k是非零常数。请判断速度场是否定常？流场是否可压缩？是否有旋流场？ktktktcezbeyaex///2,,其中，此a、b、c（系数）非彼a、b、c（Lagrange变数）。但此a、b、c（系数）由彼a、b、c（Lagrange变数）决定。其中a、b、c实际上是x0,、y0、z0，即t=0时刻质点标识。),,,(tcbarrktktktcezbeyaex///2,,其速度函数为（○）其中*表示某一质点的速度ktktktekctzwekbtyvekatxutrtzyxvv///20002),,,(因为a、b、c由x0,、y0、z0决定，它们之间必定有函数关系，求得x0,、y0、z0即求得a、b、c。(⊙)ktktktezceybexa///2将(⊙)回代入（○）kzdtdzwkydtdyvxkdtdxu2解答1、由于速度表达式中并未包含时间t项，故与时间无关，属定常运动。2、速度的散度为，故为不可压缩运动。3、速度的旋度为，故为无旋运动。0112kkkvdiv0112zkykxkzyxkjivrot作业15有一圆形截面的均匀直杆，处于弯扭组合应力状态，其简单拉伸时的屈服应力为300MPa。设弯矩为M=10kN·m，扭矩Mi=30kN·m，要求安全系数为1.2，则直径d为多少才不会屈服？解：处于弯扭组合作用下，杆内主应力为其中0,42123222,13031632dMJrMdMJMyii由特雷斯卡条件（最大剪应力条件）给出考虑安全系数后得到得到0212.14022md109.0由米赛斯条件（最大畸变能条件）给出得到2.13022md104.0作业16一阶偏微分方程u(x,y)的初始条件为u(0,y)=5y+10用特征线方法确定：1通过点(2,4)的特征线，2沿此特征线的相容方程，3u(2,4)的值。0322xyuxxu解：（1）对照一般形式的双曲型方程该方程021FyuBxuB0322xyuxxu对应的各系数为特征线方程为积分得221321xFxBBxdxdy212Cxy为确定通过点（2,4）的特征线，将点坐标代入得所以，所求的特征线方程为01C2xy（2）偏微分方程的相容方程为对上式积分得213xBFdxdu23Cxu由1、的初始条件为2、特征线方程为得到),(yxu105),0(yyu2xy1010)0,0(2Cu相容方程为（3）103xu1810)4,2(3xu1810)4,2(3xu