高等数学第三章综合测试题

1第三章综合测试题A卷一、填空题（每小题4分,共20分）1、函数ln(1)yx在[0,1]上满足拉格朗日定理的=.2、函数321()393fxxxx在闭区间[0,4]上的最大值点为x=.3、函数4yxx的单调减少区间是.4、若函数()fx在xa二阶可导,则0()()()limhfahfafahh=.5、曲线32xyx的铅直渐近线为.二、选择题（每小题4分,共20分）1、下列函数在[1,1]上满足罗尔定理条件的是[]（A）xye（B）lnyx（C）21yx（D）211yx2、曲线3(1)yx的拐点是[]（A）(1,8)（B）(1,0)（C）(0,1)（D）(2,1)3、已知函数()(1)(2)(3)(4)fxxxxx,则()0fx的实根个数为[]（A）一个(B)两个(C)三个(D)四个4、设函数()fx在(,)ab内可导,则在(,)ab内()0fx是函数()fx在(,)ab内单调增的[](A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充要条件(D)无关条件5、如果00()0,()0fxfx,则[]（A）0()fx是函数()fx的极大值(B)0()fx是函数()fx的极小值2(C)0()fx不是函数()fx的极值(D)不能判定0()fx是否为函数()fx的极值三、解答题1、（7分）计算011lim()1xxxe.2、（7分）计算0limlnxxx.3、（7分）计算10sinlim()xxxx.4、（7分）计算10lim()3xxxxxabc.5、（10分）设函数(),()fxgx在[,]ab上连续,在(,)ab内可导,且()()0fafb,证明:存在(,)ab,使得()()()0ffg.6、（10分）证明：当0x时,2ln(1)2xxxx.7（12分）设函数()fx在0x的邻域内具有三阶导数,且130()lim(1)xxfxxex.(1)求(0),(0),(0)fff.(2)求10()lim(1)xxfxx.3第三章综合测试题A卷答案一、填空题1、11ln22、43、(2,0)(0,2)4、1()2fa5、2x二、选择题1、C2、B3、C4、B5、B三、解答题1、122、03、14、3abc5、设()()()gxFxfxe,由罗尔定理即得.6、由单调性证明即可.7、解（1）因为130()lim(1)xxfxxex,所以0()ln(1)lim3xfxxxx由于分母极限为0,所以0()limln(1)0xfxxx,即0()lim()0xfxxx0()lim0xfxx,又因为()fx在0x连续,则0lim()(0)0xfxf0()(0)(0)lim00xfxffx,由0()ln(1)lim3xfxxxx得2000()()ln(1)()limlimlim(1)3xxxfxfxxxfxxxxxx,所以20()lim2xfxx,即0()lim22xfxx,由此得0()(0)(0)lim40xfxffx（2）2000()()ln(1)()1limlimlim20()lim(1)xxxfxfxfxxxxxxxxfxeeeex4第三章综合测试题B卷一、填空题（25分）1、2(),()fxxFxx在[1,2]上满足柯西中值定理的.2、曲线5335yxx有个拐点.3、曲线4sin52cosxxyxx的水平渐近线方程为.4、(02,数三)设常数1,2a则21limln(12)nnnnana.5、曲线3yx在点(1,1)处的曲率为.二、选择题（25分）1、设()fx在0xx的附近二阶可导,00()0,()0,fxfx则()fx在0xx处有[](A)极大值(B)极小值(C)拐点(D)既非极值点有非拐点2、（02,数三）设函数()fx在闭区间[,]ab上有定义,在开区间(,)ab内可导,则[](A)当()()0fafb时,存在(,),ab使()0.f(B)对任何(,),ab有lim[()()]0.xfxf(C)当()()fafb时,存在(,),ab使()0.f(D)存在(,),ab使()()()().fafbfba3、已知()fx在0x的某邻域内有定义,且(0)0,f0()lim2,1cosxfxx则在0x处()fx[]5(A)不可导(B)可导,且(0)0f(C)取极大值(D)取极小值4、设0,k函数()lnxfxxke在(0,)内的零点个数为[](A)3(B)2(C)1(D)05、（2003,数二）设函数()fx在(,)内连续,其导数的图形如图所示,则()fx有[](A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点三、（7分）求11lim()1lnxxxx.四、（8分）已知301()sin21lim2,1xxfxxe求0lim().xfx五、（9分）设()fx在0x处二阶可导,且30sin()lim0,xxxfxx求(0),(0),(0).fff六、（9分）证明：当0x时1(1)ln1.xxxxx七、（7分）已知点(1,3)是曲线32yxaxbxc的拐点,并且曲线在2x处有极值,求,,.abc八、（10分）设函数()fx在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,(0)(1)(2)3,fff(3)1.f试证必存在(0,3),使得()0.f（03,数三）xo()fx6第三章综合测试题B卷答案一、填空题1、322、33、15y4、112a5、3510二、选择题1、B2、B3、B4、B5、C三、解:11111ln11ln1lnlim()limlimlim111ln(1)lnln1lnxxxxxxxxxxxxxxxxxxx12111lim.112xxxxx四、解:因为301()sin21lim2,1xxfxxe又30lim10,xxe故0lim1()sin210.xfxx0lim()sin20.xfxx从而330001()sin21()sin2()limlimlim2,311xxxxxfxxfxxxfxxee故0lim()6.xfx五、解:由于()fx二阶可导,故332123300(0)()(0)(0)()sin()3!2!limlimxxxfxoxxffxoxxxfxxx23330(0)11(0)(0)()2!3!lim0xffxfxxoxx7要使上述极限存在,只有23,,xxx的系数均为零.所以1(0)1,(0)0,(0).3fff六、证明:原不等式等价于111ln0.1(1)xxxxx所以设111()ln1(1)xfxxxxx2221131312()(1)(1)2(1)2(1)xxxfxxxxxxxxxx()fx分母大于零,设分子为2122()3123()333xxxx.所以()0,(0)fxx,()fx单调增.又lim()0,xfx故()0fx结论成立.七、证明:232,62;yxaxbyxa又(1,3)是曲线的拐点,故(1)0y从而3.a又曲线在2x取得极值,所以(2)0,yb323yxxc(1,3)在曲线上,所以(1)130,5.ycc八、证明:因为()fx在[0,3]上连续,所以()fx在[0,2]上连续,且在[0,2]上必有最大值M和最小值m,于是(0),(1),(2)mfMmfMmfM故(0)(1)(2)3fffmM由介值定理知,至少存在一点[0,2],c使得(0)(1)(2)()1(3)3ffffcf在[,3]c上()fx满足罗尔定理条件,故必存在(,3)(0,3),c使得()0.f8