高等数学(上)第三章练习题

第1页共4页高等数学（上）第三章练习题一.填空题1．()ln(21)-fxxx的增区间是2．1()sinsin33fxaxx在3x处取极值，则a3．曲线22xye在区间是凸的4．点(1,2)是32yaxbx的拐点，则a，b5．曲线ln(1)2xyx的水平渐近线是，垂直渐近线是6．曲线2333xtytt在对应于1t的点处的曲率K二.单项选择题7．函数()(1)(2)(3)fxxxx，则方程有()0fx有【】A．一个实根B.二个实根C.三个实根D.无实根8.极限2cos5limcos3xxx【】A．53B.1C.1D.539.当0x时，2(1)xeaxbx是比2x高阶无穷小，则【】A．12a，1bB.1a，1bC.12a，1bD.1a，2b10．若2()()lim1()xafxfaxa，，则xa处【】A．()fx导数存在且()0faB.()fx取极大值C．()fx取极小值D.()fa不存在11.()fx在xa某邻域内有三阶连续导数，且()()0fafa，()0fa，则【】A．xa是()fx的极小值点B.xa是()fx的极大值点C.(())afa是曲线()yfx的拐点第2页共4页D.xa不是()fx的极值点，(())afa不是曲线()yfx的拐点12.()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内具有二阶导数，且()0fx，()0fx，则曲线()yfx在[,]ab上【】A．上升且为凸的B.上升且为凹的C.下降且为凸的D.下降且为凹的三.求下列极限13．302limxxxeexx14.2ln(1)limlnxxx15．21lim1sinxxxx16.11lim1lnxxxx17．121cos0lim1xxxxe18.1lnlimtan2xxarcx四．解答下列各题19．设()fx在[0,]上连续，在(0,)内可导，证明在(0,)内至少存在一点，使()()cotff20.设()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内具有二阶导数，且()()0fafb，()0fc(acb)，证明：至少存在一点(,)ab使()0f21．证明：当1x时，22arctanarcsin1xxx22．已知abe，证明：baab23.()fx在[0,)上连续且(0)0f，()fx在(0,)内单调增加，求证：()fxx在(0,)内单调增加24．已知函数32()26187fxxxx（1）求函数()fx的单调区间与极值（2）曲线()yfx图形凹凸区间与拐点25.（1）0x时，证明：ln(1)xx（2）01q，2ln(1)ln(1)ln(1)nnxqqq，证明：limnnx存在26．设2()nnfxxxx(2,3,)n（1）证明：方程()1nfx在(0,)内有惟一的实根nx第3页共4页（2）证明：limnnx存在，并求limnnx27.在抛物线21yx(01x)找一点M，过点M作该抛物线的切线，使切线与两坐标轴围成的三角形的面积最小28．设3333xxyy确定y是x的隐函数，求()yyx的驻点并判别是否为极值点参考答案与提示一.1.11(]22,2.2a3.[1,1]4.1,3ab5.0,1yx6.16二.7.B8.D9.A10.B11.C12.B三.13.1314.215.1616.1217.2e18.1e四.19.提示：设()()sinFxfxx应用Rollee定理20.提示：()fx分别在[,]ac[,]cb上应用Lagrange中值定理，得12acb()fx在12[,]用Lagrange中值定理21.提示：令22()arctanarcsin1xfxxx，证明在(1,)内()0fx22．提示：令ln()xfxx，判别()fx在[,)e上单调性23.提示：令()()fxFxx，求导得2()()()xfxfxFxx由Lagrange中值定理得，()(0)()(0)fxffx0x即()()fxxf代入()Fx表达式，再由()fx单调性得证24．(1)函数()fx在(,1]和[3,)单调减少，在[1,3]上单调增加(1)3f是()fx极小值，(3)61f是()fx的极大值(2)曲线()yfx的凹区间是(,1]，凸区间是[1,)，拐点(1,29)25.(1)利用单调性证明(2)利用(1)和极限存在准则Ⅱ26.(1)令()()1nnFxfx利用单调性和零点定理(2)由(1)得01nx由11()()nnnfxfxx得11()0nnnnFxx根据零点定理第4页共4页知方程1()1nfx在(0,)nx内有根，从而1nnxx{}nx单调减少有下界，利用极限存在准则Ⅱ，limnnx存在记limnnxa存在且01a，由121nnxxxxxx(1)x方程化为111nxxx由nx为方程的根得111nnnnxxx注：1lim0nnnx两边取极限得11aa解之得a1227．设点M的坐标为2(,1)tt，写出点M的切线方程，求得在两坐标轴上的截距求出三角形面积表达式311(2)4Attt01t求A的最值,得点32(,)33M为所求的点28．隐函数方程求导得22yxyyx，222222(2)(2)()xyxyyxxyyyyx令0dydx得20yx与方程联立233033yxxxyy得驻点1x和33x又(1)10y，3(3)10y由极值第二充分条件得1x为极小值点，33x为极大值点