第六章 机器人动力学

《机器人原理与应用》第六章机器人动力学2020/2/91第六章机器人动力学本章主要内容（1）机器人动力学研究概述；（2）拉格朗日动力学方法；（3）操作机的动力学分析；（4）二连杆机构的动力学分析；（5）倒立摆系统的动力学分析；（6）机器人动力学方程一般形式；（7）考虑非刚体效应的动力学方程。2020/2/9r第六章机器人动力学2020/2/96.1机器人动力学研究概述第六章机器人动力学6.1机器人动力学研究概述本章将在机器人运动学的基础上考虑到力对具有一定质量或惯量的物体运动的影响，从而引入机器人动力学问题；机器人动力学研究机器人动态方程的建立，它是一组描述机器人动态特性的数学方程；目前主要采用两种理论来建立数学模型：（1）动力学基本理论，包括牛顿－欧拉方程（2）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程如同运动学，动力学也有两个相反问题（1）正问题（2）逆问题2020/2/94第六章机器人动力学动力学的两个相反问题动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主要用于机器人仿真。动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩，用于机器人实时控制。求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运动方程，即一旦给定输入的力或力矩，就确定了系统地运动结果。动力学方程的一般形式：),,(f),,(rrrgF式中rF,,,分别表示力矩、力、角位移和线位移2020/2/95第六章机器人动力学牛顿－欧拉方程牛顿方程……面向平动amf•欧拉方程……面向转动)(ccJJ式中Jc物体转动惯量ω物体角速度τ力矩2020/2/96第六章机器人动力学6.2拉格朗日动力学方法6.2.1用于保守系统的拉格朗日方程在《分析力学》一书中Lagrange是用s个独立变量来描述力学体系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做Lagrange方程，其基本形式为其中，是所研究力学体系的广义坐标；是作用在此力学体系上的广义力；T是系统总动能。分析力学注重的不是力和加速度，而是具有更广泛意义的能量，扩大了坐标的概念。sqqq,...,,21sQQQ,...,,21iiiQqTqTdtdsi.........3,2,12020/2/97第六章机器人动力学6.2.2用于非保守系统的拉格朗日方程对于同时受到保守力和耗散力作用的、由n个关节部件组成的机械系统，其Lagrange方程应为iqiiiiFqDqVqTqTdtd其中，为广义坐标，表示为系统中的线位移或角位移的变量；为作用在系统上的广义力；是系统总的动能、势能和耗散能，分别为iqiqFDVT和,niiTT1niiVV1niiDD12020/2/98第六章机器人动力学6.2.3拉格朗日函数方法对于具有外力作用的非保守机械系统，其拉格朗日动力学函数L可定义为VTL式中T——系统总的动能；V——系统总的势能若操作机的执行元件控制某个转动变量θ时，则执行元件的总力矩应为LLdtd若操作机的执行元件控制某个移动变量r时，则施加在运动方向r上的力应为rLrLdtdFr2020/2/99第六章机器人动力学6.2.4拉格朗日方程的特点它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程式的数目和系统的自由度数是一致的；理想约束反力不出现在方程组中，因此建立运动方程式时只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力；Lagrange方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量—系统的动能和势能，另一个是表征主动力作用的动力学量—广义力。因此用Lagrange方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。2020/2/910第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学例6.3操作机的动力学分析6.3.1操作机的动力学模型rror1rMN1m2m操作机的物理学模型加上负载的操作机r2020/2/918第六章机器人动力学6.3.2建立拉格朗日函数（1）求动能T先对求显然1T1msincos1111ryrx001r而cossin1111ryrx于是22122212221212121cossinrrryxv由于2211121rmT根据动能的公式or1rMN1m2m2020/2/919第六章机器人动力学再对求由于2m2T00rsincos22ryrx且cossinsincos22rryrrx有2222222cossinsincosrrrrrrv2222221rrmT则得总动能22222221121212121rmrmrmTTTor1rMN1m2m2020/2/920第六章机器人动力学（2）求势能V根据势能的公式式中为垂直高度，则mghVh对于有1msin111grmV对于有2msin22grmV得总势能sinsin21121grmgrmVVV（3）求得拉格朗日函数Lsinsin212121211222222211grmgrmrmrmrmVTLor1rMN1m2m2020/2/921第六章机器人动力学6.3.3广义力的计算（1）求力矩绕转动执行元件施加的力矩LLdtdrmrmgL211cosrmrmgrrmrmrm211222211cos2)(则22211rmrmLrrmrmrmLdtd2222112式中第一项为惯性项，第二项为哥氏项，第三项为重力项。2020/2/922sinsin212121211222222211grmgrmrmrmrmVTL第六章机器人动力学（2）求移动力rFrmrL2sin222gmrmrLsin2222gmrmrmFr则式中第一项为惯性项，第二项为向心项，第三项为重力项。rmrLdtd2通过线运动执行元件施加的直线力rLrLdtdFr2020/2/923sinsin212121211222222211grmgrmrmrmrmVTL第六章机器人动力学6.3.4应用实例分析例6-1已知：对于操作机r2max2maxmax1max211/1,1/1,12~1,5~11,10smrssmrsmrkgmmrkgm对于下面的三种工作情况，试估算力矩。（1）手臂水平，并伸至全长，静止，（2）手臂水平，并伸至全长，以最大速率运动，（3）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度，kgm52,rkgm52kgm52or1rMN1m2m2020/2/924第六章机器人动力学解：（1）手臂水平，并伸至全长，静止，由已知条件可得0mr2kgm520rkgm52221211/19618.925110cossmkgDgrmrm则有or1rMN1m2m2020/2/925rmrmgrrmrmrm211222211cos2)(则第六章机器人动力学解：（2）手臂水平，并伸至全长，以最大速率运动，,rkgm52smr/1max由已知条件可得则有0mr2kgm5211smzx0222/2161125219621smkgrrmDor1rMN1m2m2020/2/926rmrmgrrmrmrm211222211cos2)(则第六章机器人动力学解：（3）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度，由已知条件可得则有0mr2kgm520rkgm522max1s222222211/2261251101961smkgrmrmDor1rMN1m2m2020/2/927rmrmgrrmrmrm211222211cos2)(则第六章机器人动力学结果分析：(1)为重力项，通常它远大于其它项；(2)当时，即当手臂垂直时，，可见重力负载的变化很大；(3)当很小时，包含的项趋于零；(4)通常采用只包括重力项和惯性项的公式就可得到比较满意的结果，即采用如下简化公式1D09001Dr,r,222111rmrmDor1rMN1m2m2020/2/928第六章机器人动力学2020/2/9例6-4：第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学2020/2/9把前面公式进行概况，有：第六章机器人动力学2020/2/9第六章机器人动力学6.5倒立摆系统的动力学分析rθ○○导轨小车摆体驱动放大器计算机位角检测倒立摆系统结构图2020/2/947第六章机器人动力学二级倒立摆系统平衡控制2020/2/948第六章机器人动力学除皮带外，全部对象（摆体、小车、导轨等）均视为刚体；各部分的摩擦力（力矩）与相对速度（角速度）成正比；施加在小车上的驱动力与加在功率放大器上的输入电压u成正比，比例系数设为G0；皮带轮与传送带之间无滑动，传送带无伸长现象；信号与力的传递无延时。6.5.1倒立摆系统与基本假设2020/2/949第六章机器人动力学首先介绍一下均匀杆（长度为2L，质量为m）转动惯量的计算。当均匀杆绕一端转动时，其转动惯量为：LLdllJ203238Lm2234mLJ由得LLcmLdllJ2231通常给出杆相对质心的转动惯量：2mLJJc所以2020/2/950第六章机器人动力学6.5.2用牛顿力学的方法来建立动力学模型（1）小车部分小车质量0m0F小车滑动摩擦系数xf摆体对小车作用力的水平分量yf摆体对小车作用力的垂直分量N轨道反力m0rF0or(X)uG0yfxfNgm0r2020/2/951第六章机器人动力学考虑到小车只有水平方向（X）的运动，故可列写小车运动方程rFfuGrmx000m0rF0or(X)uG0yfxfNgm0r2020/2/952第六章机器人动力学（2）摆体部分L2gm1rxfyfYLXcL2m1摆体质量L摆体质心c到支点距离F1摆体转动摩擦系数J1c摆体绕质心转动惯量J1摆体绕支点的转动惯量小车对摆体作用力的水平分量小车对摆体作用力的垂直分量yxff考虑到摆体为一平面运动体，则其运动可以