【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《三角函数的图象与性质》

【2014年高考会这样考】1．考查三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性．2．考查三角函数的图象在研究三角函数性质中的应用．第3讲三角函数的图象与性质抓住1个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练正弦、余弦、正切函数的图象和性质考向一考向二考向三单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】三角函数的奇偶性、周期性及对称性与三角函数有关的定义域和值域问题三角函数的单调性选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、如何解决三角函数的值域(或最值)问题考点梳理正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRxx∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性_______________________奇函数单调性[2kπ－π2，2kπ＋π2]为增；[2kπ＋π2，2kπ＋3π2]为减[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增（kπ－π2，kπ＋π2）为增对称中心___________kπ＋π2，0kπ2，0对称轴___________x＝kπ无奇函数偶函数(kπ，0)x＝kπ＋π2一点提醒两种方法助学微博求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，通过分析ωx＋φ的范围，结合图象写出函数的值域；(2)换元法：把sinx(cosx)看作一个整体，化为二次函数来解决．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．1．(2011·新课标全国)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()．A．f(x)在0，π2单调递减B．f(x)在π4，3π4单调递减C．f(x)在0，π2单调递增D．f(x)在π4，3π4单调递增2．(2012·湖南)函数f(x)＝sinx－cosx＋π6的值域为()．A．[－2,2]B．[－3，3]C．[－1,1]D.－32，32单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解考点自测AB12单击转3-5题3．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω0)的最小正周期为π，则该函数的图象A．关于直线x＝π3对称B．关于点π3，0对称()．C．关于直线x＝－π6对称D．关于点π6，0对称4．(2013·郑州模拟)已知ω是正实数，且函数f(x)＝2sinωx在－π3，π4上是增函数，那么()．A．0ω≤32B．0ω≤2C．0ω≤247D．ω≥25．(2012·全国)当函数y＝sinx－3cosx(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝____.单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解56BA345考点自测单击转1-2题【例1】►(1)函数y＝sinx－cosx的定义域为_______．(2)函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1在x∈π8，3π4上的最大值为________，最小值为________．sinx－cosx＝2sinx－π4≥0，【审题视点】解(1)1sinxcosxx求使的的集合即可；考向一与三角函数有关的定义域和值域问题2sin54(04)4xx易看出当在区化间，上变时将x－π4视为一个整体，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ≤x－π4≤π＋2kπ，k∈Z，解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.54【例1】►(2)函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1在x∈π8，3π4上的最大值为_____最小值为____．f(x)＝2cosxsinx－2cos2x＋1【审题视点】解(2)2sin()fxAxx先化成形如＝＋的形式，再由的范围求解．考向一与三角函数有关的定义域和值域问题＝sin2x－cos2x=2sin2x－π4，∵x∈π8，3π4，∴sin2x－π4∈－22，1，故f(x)max＝2，f(x)min＝－1.【方法锦囊】(1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t＝sinx，或t＝sinx±cosx)化为关于t的二次函数求值域(最值)．1122【训练1】(1)函数y＝1tanx－1的定义域为________；(2)当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值为____，最大值为_____．由题意知：tanx≠1，解析(1)考向一与三角函数有关的定义域和值域问题即xx≠π4＋kπ，k∈Z，又xx≠π2＋kπ，k∈Z，故函数的定义域为：xx≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z解析(2)y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2sin2x－sinx＋1＝2sinx－142＋78.又x∈π6，7π6，∴sinx∈－12，1，∴当sinx＝14时，ymin＝78；当sinx＝－12时，ymax＝2.【审题视点】考向二三角函数的单调性【例2】►(2012·北京)已知函数f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．解析（1）(1)由sinx≠0，得x≠kπ(k∈Z)，因为f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，求原函数的定义域，只要使得原函数式有意义即可；先化简原函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求周期及单调区间．考向二三角函数的单调性【例2】►(2012·北京)已知函数f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．解析(2)函数y＝sinx的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．由2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)．所以f(x)的单调递减区间为kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z)．【审题视点】求原函数的定义域，只要使得原函数式有意义即可；先化简原函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求周期及单调区间．【方法锦囊】求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数．将2x－π4看做一个整体，根据y＝sinx的单调递减区间列不等式求解．考向二三角函数的单调性【训练2】求下列函数的单调递增区间：(1)y＝cos2x＋π6；(2)y＝3sinπ3－x2.3222322()xkkkZ解析（1）∵y＝cosx的单调递增区间为[2kπ＋π,2kπ＋2π],k∈Z.∴由2kπ＋π≤2x＋π6≤2kπ＋2π,得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12,k∈Z故y＝cos2x＋π6的单调递增区为kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈Z.（2）y＝3sinπ3－x2＝－3sinx2－π3，∴由π2＋2kπ≤x2－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得4kπ＋5π3≤x≤4kπ＋11π3，k∈Z.故y＝3sinπ3－x2的单调递增区间为4kπ＋5π3，4kπ＋11π3(k∈Z)易理解y=sint与y=-sint单调增减区间对调不变ω的符号为正可以做吗？我们知到复合函数y=f(g(x)),只有f(t)与g(x)同增同减时y才为增函数于是由得出结论，整理看得到的结论相同吗？将2x＋π6看做一个整体,根据y＝cosx的单调递增区间列不等式求解．【审题视点】考向三三角函数的奇偶性、周期性及对称性解析(1)要使g(x)＝sin2x＋π4＋α为偶函数，(1)若0＜α＜π2,g(x)＝sin2x＋π4＋α是偶函数,则α的值为_____(2)函数y＝2sin(3x＋φ)φ＜π2的一条对称轴为x＝π12,则φ＝___(1)只需令π4＋α＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)应满足3×π12＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)则需π4＋α＝kπ＋π2，k∈Z，α＝kπ＋π4，k∈Z，∵0απ2，∴α＝π4.(2)由y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋π2(k∈Z)，即3×π12＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，得φ＝kπ＋π4(k∈Z)，又|φ|＜π2，∴k＝0。XY232252o2322521-1此时图像最高点落在Y轴上，即x=0时，y取得最大值，且关于Y轴对称，函数是偶函数，此时图像最低点落在Y轴上，即x=0时，y取得最小值，且关于Y轴对称，函数是偶函数，于是【方法锦囊】故φ＝π4.【例3】►(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝kπ(k∈Z)；为偶函数的充要条件为φ＝kπ＋π2(k∈Z)(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x；如要求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．考向三三角函数的奇偶性、周期性及对称性解析f(x)＝sin2x＋3π2＝－cos2x，【训练3】(2012·银川联考)已知函数f(x)＝sin2x＋3π2(x∈R)，下面结论错误的是()．A．函数f(x)的最小正周期为πC.函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称B．函数f(x)是偶函数D.函数f(x)在区间0，π2上是增函数故其最小正周期为π，故A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)＝－cos2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝π4对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在0，π2上是增函数，D正确，故选C4x规范解答6——如何解决三角函数的值域（或最值）问题揭秘3年高考【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对三角函数的值域(或最值)的考查特别青睐，主要考查y＝Asin(ωx＋φ)形式的三角函数在R上或给定的闭区间[a，b]上的值域(或最值)，往往作为某一种答题的其中一问，题目难度不大．【真题探究】►(本小题满分12分)(2012·湖北)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,23cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点π4，0，求函数f(