【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《函数及其表示》

【2014年高考会这样考】1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．考查简单的分段函数，并能简单应用.第1讲函数及其表示抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考限时规范训练函数的基本概念分段函数映射的概念考向一考向二考向三函数新定义问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】分段函数及其应用求函数的解析式求函数的定义域选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A，B是非空的，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的一个数x，在集合B中都有和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：、和．(4)相等函数：如果两个函数的和完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．(5)函数的表示法．表示函数的常用方法有：、、．定义域值域考点梳理数集任意y＝f(x)对应法则唯一确定的数f(x)定义域值域定义域对应关系解析法图象法列表法2．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．3．映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的．考点梳理对应关系都有唯一一个映射助学微博求复合函数定义域的方法(1)已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．(2)已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．一种方法两个防范(1)解决函数的任意问题，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．1．(人教A版教材习题改编)下列各对函数中，表示同一函数的是()．A．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgxB．f(x)＝lgx＋1x－1，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)C．f(u)＝1＋u1－u，g(v)＝1＋v1－vD．f(x)＝(x)2，g(x)＝x22．已知a，b为实数，集合M＝ba，1，N＝{a,0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于()．A．－1B．1C．0D．±13．(2012·江西)若函数f(x)＝x2＋1，x≤1，lgx，x1，则f(f(10))＝A．lg101B．2C．1D．04．(2013·杭州模拟)函数y＝16－4x的值域是()．A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4)D．(0,4)5．(2012·江苏)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解考点自测CBBC12345(0，6]【例1】►(1)函数f(x)＝1xln(x2－3x＋2＋－x2－3x＋4)的定义域为()．A．(－∞，－4]∪[2，＋∞)B．(－4,0)∪(0,1)C．[－4,0)∪(0,1]D．[－4,0)∪(0,1)(2)已知函数f(2x)的定义域是[1,2]，则函数f(log2x)的定义域为_．解析(1)x≠0，x2－3x＋2≥0，－x2－3x＋4≥0，x2－3x＋2＋－x2－3x＋40⇒－4≤x1且x≠0，故选D.(2)在函数f(2x)中，定义域为[1,2]，即1≤x≤2,2≤2x≤4，∴f(x)的定义域为[2,4]．要求f(log2x)的定义域，则2≤log2x≤4,4≤x≤16，∴f(log2x)的定义域为[4,16]．[审题视点](1)理解各代数式有意义的前提，列不等式解得．(2)根据求复合函数定义域的解法求解.【方法锦囊】求函数定义域的主要依据是：(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数大于或等于零；(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；(4)零次幂的底数不为零；(5)若函数f(x)的定义域为D，则对于复合函数y＝f[g(x)]，其定义域由满足g(x)∈D的x来确定．考向一求函数的定义域【训练1】(2012·山东)函数f(x)＝1lnx＋1＋4－x2的定义域为()．A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]C．[－2,2]D．(－1,2]解析f(x)有意义，应满足lnx＋1≠0，4－x2≥0，x＋10，解得x－1，且x≠0，－2≤x≤2，∴f(x)的定义域为{x|－1x≤2且x≠0}．答案B考向一求函数的定义域[审题视点](1)理解各代数式有意义的前提，列不等式解得．(2)根据求复合函数定义域的解法求解.【方法锦囊】求函数定义域的主要依据是：(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数大于或等于零；(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；(4)零次幂的底数不为零；(5)若函数f(x)的定义域为D，则对于复合函数y＝f[g(x)]，其定义域由满足g(x)∈D的x来确定．[审题视点](1)用代换法求解.(2)已知f(x)是一次函数,用待定系数法求解.(3)式中含有x，－x,故构造方程组求解.考向二求函数的解析式【例2】►(1)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．解(1)令2x＋1＝t，由于x0，∴t1且x＝2t－1，∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1(x1)．(2)设f(x)＝kx＋b，(k≠0)∴3f(x＋1)－2f(x－1)＝3[k(x＋1)＋b]－2[k(x－1)＋b]＝kx＋5k＋b＝2x＋17.∴k＝2，5k＋b＝17，即k＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.(3)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①以－x代x，得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)，得f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．考向二求函数的解析式(1)用代换法求解.(2)已知f(x)是一次函数,用待定系数法求解.(3)式中含有x，－x,故构造方程组求解.【方法锦囊】函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式;(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法；(4)方程思想．[审题视点]【训练2】已知f1－x1＋x＝1－x21＋x2，则f(x)的解析式可取为()．A.x1＋x2B．－2x1＋x2C.2x1＋x2D．－x1＋x2解析由f1－x1＋x＝1－x21＋x2，令1－x1＋x＝t⇒x＝2t＋1－1且t≠－1⇒f(t)＝1－2t＋1－121＋2t＋1－12＝2tt2＋1，∴f(x)=2x1＋x2，x≠－1.答案C(1)用代换法求解.(2)已知f(x)是一次函数,用待定系数法求解.(3)式中含有x，－x,故构造方程组求解.【方法锦囊】函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式;(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法；(4)方程思想．[审题视点]考向二求函数的解析式考向三分段函数及其应用【方法锦囊】【例3】►(2012·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x0，bx＋2x＋1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f12＝f32，则a＋3b的值为________．解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f32＝f－12，且f(－1)＝f(1)，故f12＝f－12，从而12b＋212＋1＝－12a＋1,3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋22，故b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.答案－10对于解决分段函数问题，其基本方法是“分段归类”即自变量涉及到哪一段就用这一段的解析式．本题考查分段函数及函数的周期性等知识，题目中挖掘隐含条件f(－1)＝f(1)对于解决本题至关重要．[审题视点]【训练3】已知函数f(x)＝log2x，x0，2x，x≤0，若f(a)＝12，则a的值为()．A．－1B.2C．－1或12D．－1或2解析若a0，有log2a＝12，a＝2；若a≤0，有2a＝12，a＝－1.答案D考向三分段函数及其应用【方法锦囊】对于解决分段函数问题，其基本方法是“分段归类”即自变量涉及到哪一段就用这一段的解析式．本题考查分段函数及函数的周期性等知识，题目中挖掘隐含条件f(－1)＝f(1)对于解决本题至关重要．[审题视点]热点突破3函数新定义问题【命题研究】以高等数学知识为背景的新定义问题是近年来高考命题的热点，在近年的高考题中常能找到它的影子，如2012年福建卷第10题、2012年湖北卷第7题等．此类试题着重考查考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力，求解时可通过选取满足题设条件的特殊函数，化抽象为直观，使得此类问题得以突破．预测2014年高考仍会有函数新定义题出现．揭秘3年高考[教你审题]本题是一道自主定义的新函数试题，如果“单刀直入，强行突破”，解题过程会很繁杂，因此，我们可以选择对四个选项中的函数逐一推理论证，看其是否满足“保等比数列函数”的定义(见法一)；也可以利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，对所给函数选取特殊值进行验证(见法二)．[解法]法一设数列{an}的公比为q(q≠0)．对于①，fan＋1fan＝a2n＋1a2n＝q2，是常数，故①符合条件；对于②，fan＋1fan＝2an＋12an＝2an＋1－an，不是常数，故②不符合条件；对于③，fan＋1fan＝|an＋1||an|＝an＋1an＝|q|，是常数，故③符合条件；对于④，fan＋1fan＝ln|an＋1|ln|an|＝log|an||an＋1|，不是常数，故④不符合条件．由“保等比数列函数”的定义，知选C.【真题探究】►(2012·湖北)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()．A．①②B．③④C．①③D．②④法二取x为1,2,4，则1,2,4成等比数列；对于函数f(x)＝2x，有f(1)＝2，f(2)＝22，f(4)＝24，所以f(1)·f(4)≠[f(2)]2，故函数f(x)＝2x不是“保等比数列函数”，可排除A，D；对于函数f(x)＝ln|x|，有f(1)＝0，f(2)＝ln2，f(4)＝ln4，所以f(1)·f(4)≠[f(2)]2，故函数f(x)＝ln|x