课件：正弦定理和余弦定理综合应用

第七节正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容________＝2Ra2＝________________，b2＝_________________，c2＝asinA＝bsinB＝csinCb2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosBa2＋b2－2ab·cosC.复习回顾2.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝12absinC＝___________＝___________．12acsinB12bcsinA△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.【思路点拨】(1)在已知等式中，利用正弦定理消去sinB，再化简求值；(2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cosB，进而求出角B.【尝试解答】(1)由正弦定理，得asinB＝bsinA，又asinAsinB＋bcos2A＝2a，∴bsin2A＋bcos2A＝2a，即b＝2a，因此ba＝2.(2)由c2＝b2＋3a2及余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝（1＋3）a2c，(*)又由(1)知，b＝2a，∴b2＝2a2，因此c2＝(2＋3)a2，c＝2＋3a＝3＋12a.代入(*)式，得cosB＝22，又0＜B＜π，所以B＝π4.1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．(2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．【解】(1)由bsinA＝3acosB及正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝3cosB.所以tanB＝3，所以B＝π3.(2)由sinC＝2sinA及asinA＝csinC，得c＝2a.①由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，②得9＝a2＋c2－ac.由①，②联立，得a＝3，c＝23.所以a＝3，c＝23.(2013·合肥模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝(cos2A2，cos2A)，且m·n＝72.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝23，试判断△ABC的形状．【审题视点】(1)利用数量积的坐标表示及二倍角公式建立关于cosA的方程求解；(2)利用余弦定理建立关于b、c的方程，结合b＋c＝23求解．【尝试解答】(1)∵m＝(4，－1)，n＝(cos2A2，cos2A)，∴m·n＝4cos2A2－cos2A＝4·1＋cosA2－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cosA＋3.又∵m·n＝72，∴－2cos2A＋2cosA＋3＝72，解得cosA＝12.∵0＜A＜π，∴A＝π3.(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝3，∴(3)2＝b2＋c2－2bc·12＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝23，∴b＝23－c，代入①式整理得c2－23c＋3＝0，解得c＝3，∴b＝3，于是a＝b＝c＝3，即△ABC为等边三角形．判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化．无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA，∴bc＝－2bccosA，cosA＝－12.又0＜A＜π，∴A＝23π.(2)由(1)知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，∴sin2A＝(sinB＋sinC)2－sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，且sinA＝32，∴sinBsinC＝14，因此sinB＝sinC＝12.又B、C∈(0，π2)，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形.【思路点拨】(1)根据正弦定理边化角，把B用A、C表示，借助三角变换求A的值；(2)根据三角形面积和余弦定理列关于b、c的方程组求解．(2012·课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.【尝试解答】(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，则sinB＝sinAcosC＋cosAsinC.所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sin(A－π6)＝12.又0Aπ，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.①又a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.②由①②联立，得b＝c＝2.1．本例(1)中，利用sinB＝sin(A＋C)进行转化是解题的关键．本例(2)中选择公式建立方程是解题的突破口．2．选择使用余弦定理和面积公式时，一般选择角确定的一组．(2013·佛山模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sinB＝5cosC.(1)求tanC的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．【解】(1)因为0Aπ，cosA＝23，得sinA＝1－cos2A＝53.又5cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝53cosC＋23sinC，所以tanC＝5.(2)由tanC＝5，得sinC＝56，cosC＝16.于是sinB＝5cosC＝56，由a＝2及正弦定理asinA＝csinC，得c＝3.设△ABC的面积为S，则S＝12acsinB＝52.规范解答之六正、余弦定理在解三角形中的应用(12分)(2012·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．【规范解答】(1)由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB．················3分因为sinB≠0，所以cosA＝12.由于0Aπ，故A＝π3.········6分(2)因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a2＋c2＝b2，B＝π2.···········9分因为BD＝32，AB＝1，所以AD＝1＋34＝72.·····················12分1．(2012·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()A.725B．－725C．±725D.2425【解析】由bsinB＝csinC，且8b＝5c，C＝2B，所以5csin2B＝8csinB，所以cosB＝45.所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝725.【答案】A2．(2012·北京高考)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b＝________．【答案】4【解析】由b2＝a2＋c2－2accosB及b＋c＝7，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－14)，整理得15b－60＝0.∴b＝4.