几类不同增长的函数模型

3.2.1几类不同增长的函数模型主页3.2.1几类不同增长的函数模型主页【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？投资天数、回报金额3.2.1几类不同增长的函数模型主页解:设第x天所得回报是y元，则方案一：40(N);yx方案二：*10(N);yxx方案三：10.42(N).xyx在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？3.2.1几类不同增长的函数模型主页上述的三个数学模型,第一个是常数函数,另两个都是递增的函数模型,你如何对三个方案作出选择？方法1:我们来计算三种方案所得回报的增长情况：请同学们对函数增长情况进行分析,方法是列表观察或作出图象观察.3.2.1几类不同增长的函数模型主页x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1400100.40.4240020100.80.8340030101.61.6440040103.23.2540050106.46.46400601012.812.87400701025.625.68400801051.251.294009010102.4102.41040010010204.8…………………3040030010214748364.8107374182.4根据表格中所提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？三种方案每天回报表3.2.1几类不同增长的函数模型主页40yx4268101210.42xy10yxy20406080100120140o3.2.1几类不同增长的函数模型主页05010015020025012345678910111213141516171819202122方案一方案二方案三05010015020025012345678910111213141516171819202122方案一方案二方案三xyO底数为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的函数有什么新的理解？你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？方法2：我们来作出三种方案的三个函数的图象：3.2.1几类不同增长的函数模型主页1234567891011方案一4080120160200240280320360400440方案二103060100150210280360450550660方案三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8结论:①投资1~6天,应选择方案一;②投资7天,应选择方案一或二;③投资8~10天,应选择方案二;④投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.回报天数方案☞累计回报表：方案一方案二方案三3.2.1几类不同增长的函数模型主页实际应用问题分析、联想抽象、转化构建数学模型解答数学问题审题数学化寻找解题思路还原(设)(列)(解)(答)★解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程,建立函数模型的程序大概如下：3.2.1几类不同增长的函数模型主页【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？3.2.1几类不同增长的函数模型主页本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的实质是什么？·············一次函数模型实质:分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，就是比较三个函数的增长情况．y=0.25xy=log7x+1,·············对数函数模型·············指数函数模型y=1.002x3.2.1几类不同增长的函数模型主页①销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励,且部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元,所以销售利润x可用不等式表示为____________.③依据这个模型进行奖励时,奖金不超过利润的25%,所以奖金y可用不等式表示为___________.②依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元,所以奖金y可用不等式表示为_________.10≤x≤10000≤y≤50≤y≤25%x你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?3.2.1几类不同增长的函数模型主页你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？奖励模型符合公司要求就是依据这个模型进行奖励时,符合条件：(1)奖金总数不超过5万元；(2)奖金不超过利润的25%.因此,在区间[10,1000]上,不妨作出三个函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到初步的结论,再通过具体计算确认结果.3.2.1几类不同增长的函数模型主页4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x7log1yxxy002.1通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？3.2.1几类不同增长的函数模型主页4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x1log7xy1.002xy4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x1log7xy1.002xy通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当x20时,y5,因此该模型不符合要求;3.2.1几类不同增长的函数模型主页4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x1log7xy1.002xy4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x1log7xy1.002xy通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？②对于模型y=1.002x,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x806时,y5,因此该模型不符合要求.3.2.1几类不同增长的函数模型主页4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x1log7xy1.002xy4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x1log7xy1.002xy通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x=1000时,y=log71000+1≈4.555,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.3.2.1几类不同增长的函数模型主页按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？解:当x∈[10,1000]时,要使y≤0.25x成立,令f(x)=log7x+1-0.25x,当x∈[10,1000]时是否有f(x)≤0恒成立?即当x∈[10,1000]时,f(x)=log7x+1－0.25x的图象是否在x轴下方?作f(x)=log7x+1-0.25x的图象如下：只需log7x+1≤0.25x成立，即log7x+1-0.25x≤0.3.2.1几类不同增长的函数模型主页根据图象观察,f(x)=log7x+1-0.25x的图象在区间[10,1000]内的确在x轴的下方.这说明,按模型y=log7x+1奖励,奖金不会超过利润的25%.xyo10xyo103.2.1几类不同增长的函数模型主页对数函数y=logax(a1),幂函数y=xn(n0)与指数函数y=ax(a1)在区间(0,+∞)上都是增函数,但它们的增长是有差异的.那么这种差异的具体情况到底是怎样呢?oyx011oyx011yxoyxooyxoyx3.2.1几类不同增长的函数模型主页以函数y=2x,y=log2x,y=x2为例.y=log2xy=x2y=2x3.63.22.82.42.01.61.20.80.4x12.139.196.965.284.003.032.301.741.3212.9610.27.845.764.002.561.440.640.161.851.681.491.261.000.680.26-0.32-1.32制作函数值表(借助计算器制表).观察表格,三个函数的增长速度是不同的.总体来讲随着x的增大,y=log2x的增长速度最慢;y=2x和y=x2的增长速度有变化,一开始,y=2x的增长速度快,后来y=x2增长速度快.3.2.1几类不同增长的函数模型主页1234xyo1y=log2xy=x2y=2x画函数图象(描点或借助计算机作图).3.2.1几类不同增长的函数模型主页1234xyo1y=log2xy=x2y=2x1234xyo11234xyo1y=log2xy=x2y=2x观察图象可以看出:三个函数的增长速度是不同的,你能根据图象分别标出不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的x的取值范？22log2;xxx(1)0x2或x4时,(2)2x4时,22log2.xxx3.2.1几类不同增长的函数模型主页观察函数y=2x与y=x2之间的增长情况从函数图象可以看出,y=2x与y=x2的图象有两个交点,表明2x与x2在自变量的不同的区间有不同的大小关系,有时2xx2,有时2xx2但当x越来越大时,2x的增长速度远快于x2.问题(2)观察图象,试求出可使下列不等式成立的x的取值范围.22;xx(1)0x2或x4时,(2)2x4时,22.xx3.2.1几类不同增长的函数模型主页答:在区间(0,+∞)上,尽管对数函数y=logax(a1),指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢.因此总存在一个x0,当xx0时,就会有log.nxaxxa3.幂函数，指数函数，对数函数增长速度的一般结论3.2.1几类不同增长的函数模型主页结论1:的增长快于的增长，所以存在一个，使x时,有.结论2:的增长快于的增长，所以存在一个，使x时,有.结论3：在区间（0，+∞）上，函数(a1）（a1),(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同。随着x的增大(a1）的增长速度越来越快，远远大于（n0)的增长速度，而(a1)的增长速度则越来越慢，因此，会存在一个，当时，有xaxanx0x0xnxlogax0x0xlogaxnxxyalogayxnyxxyanyxlogayx0x0xxlognxaxxanx