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阵列天线分析与综合讲义王建■主瓣昀大值出现在处,0u=max0(2)lim()4uNNSSu→d−==(1.126)■方向图归一化阵因子函数为:max()()||SFSθθ=分贝表示为max()()20lg||SFSθθ=其归一化方向图如图1-17所示。(a)直角坐标方向图(b)极坐标方向图图1-17N=10,d=λ/2,0α=时的三角形幅度分布阵列方向图■主瓣宽度上图中-3dB对应的主瓣宽度为:o()16.5hBW=■副瓣电平由上图可得副瓣电平为:SLL=-25.77(dB)■方向性系数可计算得方向性系数为6.667D=或8.24D=(dB)三、N为偶数的三角形幅度分布—反相激励如图1-18所示。前面几种情况都是同相激励,这里的反相激励是指偶数阵列分为两半,一半单元与另一半单元相位相差180o,这就使得一半单元的幅度为正,另一半的幅度为负。1.直接相加法采用同样的计算过程可得1/212012sin[()2NNjunNSdejnnu−−=−=⋅−∑](1.127a)34阵列天线分析与综合讲义王建式中,cosukdθα=+。对上式取绝对值得/2101||2|sin[()]|2NnNSdnnu−=−=−∑(1.127b)图1-18N为偶数的三角形幅度分布—反相激励2.Z变换法由式(1.117)可得偶数单元三角形分布反相激励的阵列函数为/2(1)2[1(1)(1)](1)NNzNzzzSdz−−−+−−−=−1/21/2(1)/2(1)1/21/221(1)()()NNNzzzzdzz−−−−−+−−−=−−(1)/2(1)/21/21/2(1)/21/21/22(1)(()NNNzzNzzdzzz−−−−−−−−+−−=−)←juze−=111/2/2222/2/22(1)(()NNjujuNjujujujujuezNeedeez−−−−−−−+−−=−)122(1)sin(/2)sin[(1)/22sin(/2)NjudNuNueju−−−−=⋅](1.128a)取其绝对值2(1)sin(/4)sin[(1)/2]||||2sin(/2)dNuNuSu−−−=(1.128b)■方向图反相激励的偶数单元三角形分布阵列的方向图可按下式计算max()()20lg||SFSθθ=(dB)35阵列天线分析与综合讲义王建式中,max(2)4NNS−=d为同相激励的偶数单元三角形分布阵列昀大值。结果如图1-19所示。这种反相激励阵列形成的方向图称为差方向图。(a)直角坐标方向图(b)极坐标方向图图1-19N=10,d=λ/2时的反相激励三角形分布阵列方向图四、正弦幅度分布的直线阵列设有一个N单元直线阵列,间距为d,激励相位为每个单元同相(0α=),激励幅度的包络函数为()1sin[](1)INdπζζ=+−,ndζ=,0,1,2,,1nN=−。(1.129)分别用直接相加法和Z变换法导出阵因子,绘出方向图,并计算在()Su()Su0uπ≤≤区间内的零点、副瓣位置、副瓣电平。这个直线阵列的包络函数如图1-20所示。(a)N为偶数(b)N为奇数图1-20正弦分布的直线阵列1.直接相加法图1-20所示的正弦分布的直线阵列,其幅度分布是在幅度为1的基础上叠加一个正弦分布。一般情况下,可分奇数阵列和偶数阵列来分析。(1)奇数阵列36阵列天线分析与综合讲义王建10()NjnuoddnSInd−==∑e←()1sin[],(1)IndNdπζζζ=+=−1100sin()1NNjnujnunnneeNπ−−===+−∑∑12()()SuSu=+(1.130)式中,cosukdθ=,为均匀直线阵阵因子,为正弦分布阵列的阵因子。1()Su2()Su1(1)/210sin(/2)()sin(/2)NjnujNunNuSueeu−−===∑(1.131a)120()sin()1NjnunnSueNπ−==−∑1111221012sin()sin()11NNNjujnujnuNnnnneeeNNππ−−−−−==+=++−−∑∑←1mNn=−−1112201{12sin()cos[()]}12NNjunnNeNπ−−−=−=+−−∑nu(1.131b)111220sin(/2)1{12sin()cos[()]}sin(/2)12NNjuoddnNunNSenuuNπ−−−=−=++−−∑(1.132)其昀大值为112max00|12sin(1NoddoddunnSSNN)π−−====++−∑(1.133)归一化方向图函数为max()20lg||oddoddoddSFSθ=(dB)(2)偶数阵列同理可得1/2120sin(/2)1{2sin()cos[(sin(/2)12NNjuevennNunNSenuuNπ−−=−=+−−∑)]}(1.134)其昀大值为/21max00|2sin(1NevenevenunnSSNN)π−====+−∑(1.135)37阵列天线分析与综合讲义王建归一化方向图函数为max()20lg||evenevenevenSFSθ=(dB)2.Z变换法这种方法不分奇偶。12()()()SzSzSz=+式中,为均匀直线阵阵因子的Z变换,对应单位阶跃函数1()Sz()()fUζζ=;2()Sz为正弦分布直线阵阵因子的Z变换,对应()sin()fabζζ=+,,0b=(1)aNdπ=−。它们可直接利用表1.1中结果。11()1NzzSzz−+−=−←juze−=(1)/2sin(/2)sin(/2)jNuNueu−=(1.136)222sin()sin()()2cos()1NzadzNadSzzzad−+−=−+←sin()sin()1sin()sin()1adNNadNππ⎧=⎪⎪−⎨⎪=−⎪−⎩(1)1sin()1()()NjadjadzzNzezeπ−−−+=−−−(1)/21cos()12sin()1121sin[()]sin[()]212jNuNueNuuNNππ−1π−=−−+−−−(1.137)1()Sz与的和为2()Sz(1)/211sin()cos()sin()2122{}11sin()sin[()]sin[()]22121jNuNNuuNSeuuuNNππ−−−=−+−−−π(1.138)式中,cosukdθ=。■绘制方向图取N=5,/2dλ=时,直接相加法所得阵因子为38阵列天线分析与综合讲义王建2cos()[4cos()22]juoddSeuu=++(1.139)Z变换法所得阵因子为2sin(5/2)cos(2)[sin(/2)2cos(2)1juuSeuu=−]u−(1.140)可画出正弦分布直线阵列的归一化方向图如图1-21所示。(a)直角坐标方向图(b)极坐标方向图图1-21N=5,d=λ/2时的正弦幅度分布直线阵列方向图昀大值为:max0()|627.414odduSSu===+=零点位置:由|(确定,即)|oddSu=001/2uπ=o0101arccos()arccos(0.5)60ukdθ⇒===022.59u=o02022.59arccos()arccos()34.47ukdθπ⇒===副瓣位置:近似为两个零点之间的中点,即01022.082suuu+==o2.08arccos()arccos()48.53ssukdθπ⇒===副瓣电平:max()20lg||20.3oddsSuSLLdBS==−前面介绍的三角形幅度分布直线阵列、正弦幅度分布直线阵列,当馈电相位为同相(0α=)时均为侧射阵列,与均匀直线阵相比,在相同单元数情况下,它们的波束宽度要宽些,副瓣要低些。同理,梯形幅度分布的直线阵列也有这样的特点。因此可得出这样的结论:低副瓣的直线阵列天线其激励分布一般是中间大,两端小,其主瓣宽度比均匀直线阵的大。在相同阵列长度情况下,副瓣降低是以加宽主瓣宽度为代价的。激励幅度为中间大两端小的分布通常称为“幅度锥削阵”。§1.7谢昆诺夫单位圆辅助分析阵列特性39阵列天线分析与综合讲义王建1.7.1谢昆诺夫单位圆一个N单元直线阵,其馈电幅度为,0,1,2,,nInN1=−,相邻单元相位差为α,等间距d排列,则其阵因子为10NjnunnSIe−==∑,cosukdθα=+(1.141)若令juwe=(1.142)则阵因子可写作(1.143)10()NnnnSwIw−==∑此为谢昆诺夫引用的阵列多项式。注意与Z变换中的wjuze−=不同。我们知道,一个N-1次幂的多项式有N-1个根(复根),可以写成N-1个因式的连乘积形式112()()()()NSwI−=−−−1N−1−u(1.144)式中,是多项式的根(零点)。每一项可看作是一个二元阵的阵因子。由式(1.144)的连乘积形式,可得如下有意义的结论:,1,2,,iwiN=(1)N单元阵列的阵因子是N-1个二元阵的阵因子的乘积,每个二元阵产生一个零点,此零点就是N元阵的零点;(2)N单元阵列因子是一个N-1次幂多项式,幂次比单元数少1;(3)N单元阵列的N-1个根与阵列单元激励分布有关。由于||,所以w的轨迹是复平面内的一个圆,w可写作。其相位1w=1w=∠cosukdθα=+,0~θπ=。显然,w的相位与d、uα和θ有关。考察已知d和α时,w的轨迹随θ的变化。见如下图1-22。图1-22复变量w在单位圆上随θ变化的轨迹40阵列天线分析与综合讲义王建当/2dλ时,w的轨迹将超过一周,说明w在单位圆上将出现多值性。单位圆与正实轴的交点为方向图昀大值点,当dλ≥时,w的轨迹将超过两周,将两次出现昀大值,即出现栅瓣。当0α≠时,则轨迹的起始点不同。轨迹随θ的变化为顺时针方向。由上分析我们可得出这样的结论:(1)改变间距d可控制可见区范围;(2)改变α可控制可见区的相对位置。利用这两点不仅可利用谢昆诺夫圆来分析阵列,还可用来综合设计阵列。1.7.2均匀侧射阵的分析这种阵列的分析前面做过介绍。这里采用谢昆诺夫单位圆来分析。设均匀侧射阵的馈电幅度为,相位为1nI=0α=,等间距为d。其阵因子为101()1NNnnnwSwIww−=−==−∑(1.145)由10,Nw−=2Njiweπ=,得的零点位置为()Sw2ijNiweπ=,1,2,,1iN=−(1.146)而,对应主瓣昀大值位置。0i=01w=设有一个N=5的均匀直线阵侧射阵,当/2dλ=时,coscosukdθπθ==,当0~θπ=时,~uππ=−,可见区正好为谢昆诺夫单位圆的一周,由式(1.146),可得这个五元阵的阵因子的四个根。u的变化过程如下1234,,,|||()()()()|S=−−−−4(1.147)零点的实际方向可由00cos2/iiukdiNθπ==确定,02arccos()iiNkdπθ=,1,2,,int()2Nkdiπ=±±±;00iθπ≤≤由此式可以看出,阵列方向图的零点个数不仅与单元数N有关,而且与阵列间距d有关。对于五元阵N=5,■若/2dλ=,kdπ=,i昀大可取int(/2)2iN==即有四个零点。见图1-23(a)。■若0.8dλ=,1.6kdπ=,i昀大可取int(0.8)4iN==,即有八个零点。见1-23(b)。■若dλ=,2kdπ=,w的轨迹在单位圆上走了两周,则有八个零点,i昀大可41阵列天线分析与综合讲义王建取,见图1-23(c)。这时在int()14iN=−=0θ=和π时出现栅瓣昀大值,而不是零点。因为此时式(1.145)的分母也为零。对如上三种情况,画出五元阵分贝方向图如下图1-23所示。为抑制栅瓣,对五元均匀侧射阵来说,应使4425kdwπ∠=×即:45dλ对于N元阵来说,则应使112NNkdwNπ−−∠=×即:1NdNλ−图1-23不同间距的5元均匀直线阵分贝表示的方向图1.7.3低副瓣阵列我们知道,均匀直线阵的第一副瓣电平为-13.5dB,且主瓣窄。工程上这样的副瓣电平太高,不满足要求。大多实际阵列天线要求副瓣电平SLL-25dB。怎样才能降低
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