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阵列天线分析与综合讲义王建66第二章离散直线阵列的综合第一章在已知阵列天线的四个参数(单元数N、间距d、激励幅度分布nI和激励相位nα)的情况下，对直线阵列的辐射特性进行了分析。即分析了方向图、主瓣宽度、副瓣电平、方向性系数等。这一章将研究直线阵列的综合问题。阵列天线的综合问题是其分析的逆问题，即是在预先给定辐射特性(如方向图形状、主瓣宽度、副瓣电平、方向性系数)的情况下，综合出阵列单元数、间距、激励幅度和相位。可见阵列天线的综合就是阵列天线的设计问题。可把阵列天线的综合问题分为四类：(1)预先给定方向图主瓣宽度、副瓣电平的要求进行综合，方向图的其它细节不苛求。这类综合方法昀著名的是道尔夫—切比雪夫综合法，泰勒综合法等。(2)要求获得指定方向图形状的综合。这类综合方法实际上是函数逼近问题。有内插法、伯恩斯坦多项式逼近法、哈尔定理、伍德沃德—劳森综合法、优化计算方法等。(3)微扰法综合阵列。即对阵列间距、激励幅度进行微扰，以得到逼近要求的方向图。(4)对阵列天线的参数(如方向性系数等)进行优化设计，以满足给定方向图要求。§2.1道尔夫—切比雪夫综合法这是一种可控制副瓣电平的阵列天线综合方法，也是一种工程实际中常用的综合方法之一，简称切比雪夫综合法。由这种综合方法设计的阵列称为切比雪夫阵列。切比雪夫阵列的特点是(1)等副瓣电平；(2)在相同副瓣电平和相同阵列长度下主瓣昀窄，称为昀佳阵列；(3)单元数多，且副瓣电平要求不是很低时，阵列两端单元激励幅度跳变大，使馈电困难。在此之前我们分析的阵列天线，其副瓣电平均较高。为了使雷达系统具有较高的抗干扰、抗反辐射导弹等的能力，往往要求雷达天线的副瓣尽量低。采用道尔夫—切比雪夫综合法、泰勒综合法等设计的阵列天线就可实现低副瓣。2.1.1用单位圆说明实现低副瓣阵列的概念在第一章§1.7节利用谢昆诺夫单位圆分析等间距阵列天线中，阐述了阵列阵列天线分析与综合讲义王建67天线实现低副瓣是以展宽主瓣为代价的。为了进一步说明这个问题，设有一个N元阵，则该阵列有N-1个零点，若单元间距为/2dλ=，则这些零点正好分布在单位圆的一周上，如下图2-1所示。主瓣在单位圆上的区域为11NwAw−−−。根据减小某个副瓣的两个零点间的距离可降低副瓣的原理，如果使这些零点移动，即向B点(w=－1)靠拢，则可使阵列天线的副瓣降低。这样一来，主瓣区域将扩大，即主瓣宽度增加。图2-1N元直线阵的N-1个零点在单位圆上的分布示意另一方面，如果这些根以共轭对出现时，例如1w与2w共轭，2Nw−与1Nw−共轭等，则阵因子S(w)就是一个系数为实数的多项式，且这个多项式的系数是对称排列的，这表明阵列的激励幅度分布是对称的，见式(1.148)。这个例子采用试探法，调整五元阵四个根在单位圆上的位置，昀终得到了－20dB等副瓣电平的阵列，综合出了五元阵的馈电幅度分布。甚至还可得到－30dB的等副瓣电平的五元阵或任意单元数的阵列。但是，试探方法太麻烦，且不规范。道尔夫(C.L.Dolph)利用切比雪夫函数来逼近阵因子函数，得到了一种严谨且规范的综合方法。在此，首先介绍切比雪夫多项式。2.1.2切比雪夫多项式切比雪夫多项式是如下二阶微分方程的解2222(1)0mmmdTdTxxmTdxdx−−+=(2.1)令cosxu=(2.2)则上式可简化为：2220mmdTmTdu+=(2.3)其两个解分别是1()cos()cos(cos),11mTxmumxx−==−≤≤(2.4a)和1()sin()sin(cos)mTxmumx−==(2.4b)阵列天线分析与综合讲义王建68分别称为第一类和第二类切比雪夫多项式，一般采用第一类切比雪夫多项式(2.4a)来综合阵列。由三角函数恒等式：cos[(1)]cos[(1)]2cos()cos()mumuumu++−=(2.5)可得切比雪夫多项式的递推公式11()2()()mmmTxxTxTx+−=−(2.6)若已知0()Tx和1()Tx，利用递推公式就可以得到任意阶(2m≥)的切比雪夫多项式。由式(2.4a)和(2.6)可得0()cos(0)1Tx==1()cos()Txux==22()cos(2)21Txux==−33()cos(3)43Txuxx==−424()cos(4)881Txuxx==−+535()cos(5)16205Txuxxx==−+6426()cos(6)3248181Txuxxx==−+−7537()cos(7)64112567Txuxxxx==−+−86428()cos(8)128256160321Txuxxxx==−+−+97539()cos(9)2565764321209Txuxxxxx==−+−+10864210()cos(10)51212801120400501Txuxxxxx==−+−+−………………上面给出的切比雪夫多项式只适用于||1x≤的范围。当||1x时，要满足cosxu=，则u必须是一个纯虚数，即ujv=(v为实数)。此时cos()cosh()xjvv==(2.7)或1cosh()vx−=(2.8)式(2.3)的微分方程变为2220mmdTmTdv−=(2.9)其两个解为11cosh()cosh(cosh),1()(1)cosh()(1)cosh(cosh),1mmmmvmxxTxmvmxx−−⎧=⎪=⎨−=−−⎪⎩(2.10a)和1()sinh()sinh(cosh)mTxmvmx−==(2.10b)在阵列综合中一般采用式(2.10a)。式(2.4a)和(2.10a)表示了切比雪夫函数在整个x轴上的解，即阵列天线分析与综合讲义王建69111cos(cos),||1()cosh(cosh),1(1)cosh(cosh),1mmmxxTxmxxmxx−−−⎧≤⎪=⎨⎪−−⎩(2.11)由此式可绘出阶为m=0~5的切比雪夫函数的曲线如下图2-2所示。结合曲线图，可总结出切比雪夫多项式有如下重要性质：(1)(1)1mT=，即所有的任意阶切比雪夫函数都通过坐标点(1,1)；(2)()(1)()mmmTxTx−=−，即m为奇数时()mTx为奇函数，m为偶数时()mTx为偶函数；(3)当11x−≤≤时，1()1mTx−≤≤，即在||1x≤内，()mTx为振荡函数；(4)()0mTx=的所有根都在区间[-1,1]内。(5)在1x时()1mTx为单调上升，在1x−时，若m为奇数，()1mTx−，m为偶数，()1mTx。图2-205()~()TxTx随x的变换曲线切比雪夫多项式的上述性质，使它成为道尔夫综合阵列天线的一种理想函数。从切比雪夫函数曲线看，我们能否利用10xxx≤≤(1x为昀靠近x=1的零点)区间内的()mTx曲线作为方向图主瓣，区间11xx−≤≤内的()mTx的振荡曲线作为方向图的等电平副瓣呢？道尔夫实现了这一目的。而且适当地选择0x还可以调整主瓣和副瓣的比值0()mTx。现在的任务是，怎样使切比雪夫多项式与阵因子多项式联系起来。2.1.3阵因子多项式阵列天线分析与综合讲义王建70切比雪夫函数的形式为()cos()mTxmu=式中，cosxu=，可展开为多项式的形式为cosu的幂级数。在前面阵因子的推导中，我们知道，当阵列激励分布为对称分布，并且各单元对称序号时，则导出的阵因子表示也是cos()nu的形式，如下图2-2所示。(a)奇数阵列(b)偶数阵列图2-2等间距不等幅对称分布直线阵列示意注意到上图(a)奇数阵列与前面有所不同，除序号不同外，中间单元的激励幅度也变为12I，这样做的目的是不论奇数阵列还是偶数阵列，导出的阵因子在形式上基本一样。■奇数阵列(N=2M+1)的阵因子为(cos)2(cos)(cos)1231()2[]jkdjkdjMkdoddMSuIIeIeIeθαθαθα++++=++++←右半单元(cos)2(cos)(cos)231[]jkdjkdjMkdMIeIeIeθαθαθα−+−+−++++++←左半单元11222cos[(1)(cos)]MnnIInkdθα+==+−+∑112cos[(1)(cos)]MnnInkdθα+==−+∑(2.12)■偶数阵列(N=2M)的阵因子为1321(cos)(cos)(cos)22212()MjkdjkdjkdevenMSuIeIeIeθαθαθα−+++=+++←右半单元1321(cos)(cos)(cos)22212MjkdjkdjkdMIeIeIeθαθαθα−−+−+−+=+++←左半单元1212cos[(cos)]2MnnnIkdθα=−=+∑(2.13)令0(coscos)duπθθλ=−，而0coskdαθ=−，去掉因子2，得归一化阵因子阵列天线分析与综合讲义王建7111()cos[2(1)]ModdnnSuInu+==−∑(2.14a)1()cos[(21)]MevennnSuInu==−∑(2.14b)由式(2.14)可见，级数中的每一项就是一个切比雪夫函数，其中2(1)cos[2(1)]()nnuTx−−⇔偶数阶切比雪夫多项式21cos[(21)]()nnuTx−−⇔奇数阶切比雪夫多项式这说明：单元为奇数的直线阵列，其阵因子级数表达式中的每一项对应偶数阶的切比雪夫多项式；单元为偶数的直线阵列，其阵因子级数表达式中的每一项对应奇数阶的切比雪夫多项式。2.1.4切比雪夫阵列的设计■任务：用切比雪夫综合法，设计一个激励幅度为对称分布、等间距为d的N单元阵列，其主副瓣比为0dBR，求激励幅度分布nI。■基本步骤：(1)根据单元数N的奇偶选择阵因子()oddSu或()evenSu；(2)展开阵因子中的每一项，使其只含cos()u的形式；(3)由分贝表示的主副瓣比0dBR换算成无量纲形式020010dBRR=，并令100()NTxR−=(2.15)以确定0x值。切比雪夫多项式阶数始终比阵列单元数少1；(4)用变量代换(道尔夫采用的关系)0cos()/uxx=(2.16)代入第2步展开的阵因子中；(5)作代换之后，使阵因子多项式等于一个N-1阶的切比雪夫多项式1()NSTx−=从而确定阵列多项式系数nI；(6)把第5步得到的nI代入阵因子()oddSu或()evenSu中得阵因子表达式。注：在上面第3步中，由0R确定0x的具体公式推导如下因10100()cosh[(1)cosh()]NRTxNx−−==−阵列天线分析与综合讲义王建72则1001cosh[cosh()]1xRN−=−由公式cosh()2yyeey−+=及12cosh()ln(1)yyy−=+−可得112211000001[(1)(1)]2NNxRRRR−−−=+−++−11221100001[(1)(1)]2NNRRRR−−=+−+−−(2.17)为了说明这个设计过程，下面举一个实际例子。■实例设计一个间距为d，单元数为N=10，主副瓣电平比为026dBRdB=(即等电平副瓣为-26dB)的切比雪夫侧射阵(0α=)。采用前面给出的设计步骤。(1)N=10(偶数阵，M=5)，则选阵因子为1()cos[(21)]MevennnSuInu==−∑，cosduπθλ=(2.18)(2)展开evenS中的每一项，使其只含cos()u的形式12345()cos()cos(3)cos(5)cos(7)cos(9)evenSuIuIuIuIuIu=++++利用递推公式，可将cos(3)u、cos(5)u、cos(7)u和cos(9)u分别展开。(3)002620lg()dBRdBR==020R⇒=，且N－1=9112211000001[(1)(1)]1.08512NNxRRRR−−=+−+−−=(4)把0cos()//1.0851uxxx==代入第2步的表达式中整理后得123450[(3579)/]evenSxIIIIIx=−+−+3323450[(42056120)/]xIIIIx+−+−553450[(16112432)/]xIIIx+−+77450[(64576)/]xIIx+−9950[256/]xIx+(5)