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学而思2012年暑假四升五素质123班难题汇总第一讲分数基本计算分数的性质：分子分母同乘同除一个非零整数，分数的值不变。倒数的应用：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。裂项的理解：1)n(n1=n1-1n1，k)n(n1=k1(n1-kn1)。11、【例6】计算：603010...18931262631402010...1263842421【难度级别】★★★☆☆【解题思路】本题考察孩子们能否把“1×2×4”和“1×3×6”看成一个整体，而其他各个加数均是这个整体的整数倍。令1×2×4＝A、1×3×6＝B，则：原式＝B10...B3B2BA10...A3A2A＝)10...32B(1)10...32A(1＝BA＝631421＝94【答案】9412、【例7】计算：(21+31+41+…+201)+(32+42+52+…+202)+(43+53+…+203)+…+(1918+2018)+2019【难度级别】★★★★☆【解题思路】分组是本题的关键，将分母相同的分在一组。先找规律，从分母是20的看，分子是1、2、3、…、19，共19项；进而清楚了，分母是19的有18项（分子依次是1、2、3、…、18），……，分母是3的有2项（分子依次是1、2），分母是2的有1项（分子是1）。原式＝21+(31+32)+(41+42+43)+…+(201+202+203+…+2019)对于n，分子是1+2+3+…+(n-1)的和，(n1+n2+n3+…+n1-n)=n1(1+2+3+…+n-1)=n1×21)-n(n=21)-(n所以，原式＝21+22+23+…+219＝21×21920＝21×190＝95【答案】95。13、【学案2】计算：22.550276951922.510939519÷(0.519950.41993+19951.6)【难度级别】★★★☆☆【解题思路】除号右面的好计算，除号左面的需要整体观察和估计，除号左面这样的分数计算不会是硬算的，一定有技巧的，注意观察，找关键点。0.519950.41993+19951.6=5199541993+19951.6=5199541993+519958=51995841993=519952)(19934=5199519954=54除号左面，分子分母中都有9519，后边的2个加减式子的结果会不会相等呢？如果相等，分子分母就一样了，这样，除号左面的结果就是1，试一试：22.550276951922.510939519=22.5100546951922.59.39519=22.554.6951932.19519=32.1951932.19519=1原式＝1÷54＝1×45＝45【答案】4514、【学案3】计算：416024340143214016940146【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】需要整体观察和估计，这样的分数计算不会是硬算的，一定有技巧的，注意观察，找关键点。观察分子分母中大数相同的项，第1项：分子有6×4014、分母有3×4014，是2倍关系；第3项：分子21、分母41，是2倍关系，孩子对分数刚接触，对21是41的2倍还不是很熟悉；那么就考虑中间的第2项如果也是2倍，整个分子就是整个分母的2倍了，那就好解决了，试一试：3×6024＝3×3×2008＝9×2008，9×4016＝9×2×2008＝2×(9×2008)，第2项的分子恰好也是分母的2倍。分母=3×4014+9×2008+41,分子=2×(3×4014+9×2008+41)，原式=2。【答案】2。15、【学案4】分母为1996的所有最简真分数之和是_______。【难度级别】★★★★☆【解题思路】此题难道较高。熟悉思考有哪些最简真分数。分母为1996，是偶数，根据最简分数定义，分子不能是偶数只能是奇数（分子是偶数，分子分母就可以同时除以2了），但是是不是从1到1995的所有奇数都满足呢？这是本题的关键。将1996分解成质因数乘积的形式，1996＝2×2×499，499是质数，不能再分解。这样，分子就不能是499，分子也不能是499×2＝998（偶数上面已经全部排除了），分子也不能是499×3＝1497。因此，所有奇数中，要去掉499、1497这2个数。19961+19963+19965+…+19961995-(1996499+19961479)=19961×(1+3+5+…+1995)-19961×(499+499×3)=19961×29981996-19961×499×4=499-1=498【答案】498。16、【作业8】计算：11+21+22+21+31+32+33+32+31+…+19951+19952+…+19951995+…+19951=_____。【难度级别】★★★☆☆【解题思路】将分母相同的分成一组。11+(21+22+21)+(31+32+33+32+31)+…+(19951+19952+…+19951995+…+19951)分母相同的，分子构成金字塔数列，可能记不住金字塔数列的和是什么，没有关系，推导一下即可：1+2+3+…+n+…+3+2+1=(1+2+3+…+n)+(n-1+…+3+2+1)=21)n(n+21)-n(n=n2对于本题，分子的金字塔数列之和n2再除以分母的n，得到每一个分组的结果是：n2÷n＝n。原式＝1+2+3+…+1995=1996×1995÷2＝1991010。【答案】1991010。第二讲比例初步本讲是孩子们第一次接触比和比例，需要一个学习、消化、积累的过程。比表示倍数关系，比和比例是不同的概念。比的性质：前项、后项同时乘以或除以同一个非零数，比值不边。这个性质适用于多个数的比（多于2个的数）。比例的性质：横式，两内项乘积＝两外项乘积；竖式，交叉相乘积相等。此讲中，找不变量的应用题是难点。各元素之间的比例不同情况下是变的，但是总有不变量，找不变量是解题的关键。21、【例6】将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友。原计划甲、乙、丙三人所得糖果的比为5：4：3。实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7：6：5，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果。那么这位小朋友是_______（填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为_____块。【难度级别】★★★☆☆【解题思路】找不变量，糖果总数不变，统一不变量份数。5+4+3=12，7+6+5＝18。糖果总数是不变量，统一不变量的份数，[12,18]=36。5:4:3=15:12:9，7:6:5=14:12:10，统一不变量的份数之后，可以看出：在总份数36份中，甲从15变为14减少了1份，乙保持12份，丙从9变为10增加了1份。所以糖果变多的小朋友是“丙”，多的1份是15块，10份就是：15×10=150(块)。【答案】150。22、【例5】已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的31，乙等于甲、丙两数和的21，丙等于甲、乙两数和的75，求甲：乙：丙。【难度级别】★★★★☆【解题思路】找不变量，三个数总和不变，统一不变量份数。甲:乙+丙=1:3，总分4份；乙:甲+丙=1:2，总分3份；丙:甲+乙=5:7，总分12份。总分是不变量，统一不变量的份数，[4,3,12]=12。1:3=3:9，1:2=4:8，5:7，统一不变量的份数之后，可以看出：在总份数12份中，甲3份、乙4份、丙5份，甲：乙：丙=3：4：5。【答案】3：4：5。23、【例7】甲乙丙三车分别从A地出发，开往B地，已知甲车速度是5米/秒，乙车速度是4米/秒，丙车速度是6米/秒，已知三人到达B地共用18.5分，则A、B间的距离是多少？【难度级别】★★★☆☆【解题思路】考察对反比的理解，相同的路程，时间与速度成反比。速度比＝5：4：6，路程相同，时间与速度成反比，时间比＝51：41：61＝12：15：10。12+15+10＝37，37份是18.5分钟，18.5÷37＝0.5，每份是0.5分钟。甲的时间：12×0.5＝6(分)＝360(秒)，A、B间的距离：360×5＝1800(米)。【答案】1800米。24、【例8】某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车30元，中型车15元，小型车10元。一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是5：6，中型车与小型车之比是4：11，小型车的通行费总数比大型车多270元。(1)这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？(2)这天的收费总数是多少元。【难度级别】★★★☆☆【解题思路】找不变量，2个比例中中型车是不变量，统一不变量份数。[6,4]=12，5：6＝10：12，4：11＝12：33，数量比，大：中：小＝10：12：33。费用比，大：中：小＝10×30：12×15：33×10＝300：180：330，330－300＝30，多30份为270元，1份为9辆。大、中、小的数量：10×9＝90，12×9＝108，33×9＝297。总费用：(300+180+330)×9＝7290(元)。【答案】90，108，297；7290。25、【学案4】北京中学生运动会男女运动员比例为19：12，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为20：13；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为30：19，已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多15人，则总运动员人数为多少？【难度级别】★★★★☆【解题思路】找不变量，第1次男不变，第2次女不变，统一不变量份数。第1次男不变，[19,20]=380，19：12＝380：240，20：13＝380：247。第2次女不变，[13,19]=247，20：13＝380：247，30：19＝390：247。男增加了：390-380=10(份)，女增加了247-240=7(份)，10－7＝3，3份是15人，1份就是5人。总人数：(390+247)×5＝3185。【答案】3185。26、【作业8】甲、乙两人原有的钱数之比为6：5，后来甲又得到180元，乙又得到30元，这时甲、乙钱数之比为18：11，求原来两人的钱数之和为多少？【难度级别】★★★★☆【解题思路】此题也是寻找不变量，只是2个量都在变，按原比例把变化后的其中一个当作不变量，再统一不变量的份数，考察另一个量的变化情况。6：5＝18：15，但是现在是18：11，乙的钱少了，按照18：15的比例，甲得到180元，乙应得到150元，现在乙只得到30元，差：150－30＝120元，差15-11＝4(份)，4份120元，1份30元。用18：11计算，现在钱数之和：(18+11)×30＝870(元)，原来的钱数之和：870-(180+30)=660(元)。也可用18：15计算，原来的钱数之和：(18+15)×30-(180+150)=660(元)。这里，可以看出是把甲的份数统一了，把增加180元后的甲当作了不变量，乙从150元变成30元是变量。当然把增加30元后的乙当作不变量也可以，只是5、11这些数计算稍微复杂一点而已。【答案】660元。第三讲面积一半模型春季课程的第三讲是《等积变形》，那一讲函盖了本讲的大部分内容。《等积变形》那一讲的总结摘录如下：等积变形是孩子们学习的几何中比较难的专题了。先总结一下老师课堂上讲解的方法，一个几何题目方法对了很重要。第一，一半模型。第二，四边形的蝴蝶定理。四边形分成四部分，对角面积乘积相等。第三，等积变形：底不动，顶点平移。主要是找平行线，一大一小两个正方形时，经常用到2个平行的对角线。第四，梯形,两翼面积相等。第五，共边。采用比例、份数等。如果不会使用比例，可以采用分割的方法。第六，鸟头（共角模型）。2个三角形（记住：是三角形）有一个角相等或者互补，面积比等于夹角的边乘积的比(边只看比例不看具体的长度)，即：S小△：S大△＝小×小：大×大。《面积一半模型》这一讲，要点整理如下：第一，等积变形。同高看底，同底看高；顶点