2018年中考二次函数综合题的解题思路

专题七二次函数综合题的解题思路一、方法简述二次函数综合题通常作为压轴题,意图通过压轴题考查学生的综合素质，尤其是分析问题、解决问题的能力，发现挖掘学生继续升学的潜力。压轴题设置常见有探究型问题、开放型问题、运动变化型问题、操作型问题、应用型问题等。压轴题常以支撑整个初中数学的核心知识与重要思想方法为载体,突出能力考查，对学生的阅读能力、计算能力、理解能力、思维能力有较高的要求；主要的形式上是以函数为载体考查函数或几何,其中函数的载体以二次函数为重点。函数考查的内容有求函数的解析式、求相关点的坐标、求函数的最值、研究函数的图象、函数的性质等。代数方面涉及的知识主要有方程、函数、不等式、坐标、和解直角三角形（三角函数的应用）等。函数不仅与数学其它知识有着密切的联系，而且还有着极为广泛的应用．因此，它是联系数学知识间或数学与实际问题间的纽带和桥梁，是中考数学试卷中不可或缺的重要内容．其呈现方式灵活多变，特别在压轴题中，函数常常起着其他知识不可替代的作用．二次函数是初中学习的重点与难点，也是高中进一步学习的重要内容。以二次函数为背景的试题常受命题者的青睐，能够全面考查用数析形的技能与计算能力，这也是学生将来学习高中数学知识所必备的。但受所学知识限制，命题一般不会用以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动使几何图形发生变化，从而让代数与几何有机结合起来.在实际问题或综合问题中，一般首先是函数思想指导下确定或选择运用函数，然后建立函数，最后根据函数性质解决相应的问题,突出考查了函数思想在动态几何中的运用.随着对《课程标准》基本理念被更为广泛和更为深入地认识，对“合情推理”与“数学活动过程”的考查也呈增强之势．因此培养并提高学生的合情推理能力，让学生经历数学活动过程，并从中体会及感悟积极的态度与科学的思想方法所蕴涵的意义和作用，都是促进学生创新精神的养成及学习能力提高的有效方式和途径．二、解题策略二次函数综合题，综合了初中代数、几何中相当多的知识点，如方程、不等式、函数、三角形、四边形、圆等内容，有些又与生产、生活的实际相结合，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。图2yxPCBAO图1yxCPBAO图2-1DyxOPCBA三、典例分析例2．已知抛物线2yaxbxc的对称轴为直线2x，且与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）①如图1，当PBC的面积和ABC面积相等时，求点P的坐标；②如图2，当PCBBCA时，求直线CP的解析式解：（1）抛物线的解析式为342xxy（2）①1P(2,1),2317717(,)22P，3317717(,)22P②∵)03(，B，)3-0(，C，∴3OCOB∴OOBCOCB45设直线CP的解析式为3lxy解法1：作PD⊥y轴，垂足为D如图2-1，由已知易得PCDOAC，又∵OCDPCOA90，∴PDC∽COA，∴3OAOCCDPD，设mPD，则mCD31，mOD313∴)313-(mmP，，将其代入抛物线解析式342xxy得311m或0m（舍去）.∴)916-311(，P，∴直线CP的解析式为331xy.解法2：过P作PM⊥x轴，过C作CN⊥y轴，交PM于N.易证:ACO∽PCN,求得)916-311(，P分析：以上两种方法通过构造两个直角三角形相似去求直线CP上另一点)916-311(，PQ图2-2yxOPCBAQ图2-3yxOPCBAGQ图2-4yxOPCBA解法3：如图2-2，延长CP交x轴于点Q.设OCA，则OACB45∵BCAPCB∴OPCB45∴)45(45OOPCBOBCOQC∴OQCOCA又∵OCOQAOC90∴AOCRt∽COQRt∴OQOCOCOA∴OQ331∴9OQ∴)0,9(Q直线CQ的解析式为331xy，即直线CP的解析式为331xy.分析：延长CP交x轴于点Q，通过构造两个直角三角形相似去求直线CP上另一点)0,9(Q解法4：如图2-3，过点B作x轴的垂线，交CP于点.∵OABC45∴OCBQ45∴CBQABC又∵ACBQCB，BCBC∴CBA≌CQB∴2ABBQ∴点Q的坐标为)2,3(解法5：如图2-3，作点A关于BC的对称点Q，则点Q在直线CP上，连接BQ，则2ABBQ.∵OABC45∴OCBQ45,∴OABQ90，∴点Q的坐标为)2,3(解法6：作BE∥y轴交CP于Q，作CE∥x轴交BE于E，可得四边形OCEB是正方形，由此得到ACORt≌QCERt,可求Q(3，-2)分析：以上三种方法本质是通过点B作x轴的垂线交CP于点Q，从而构造两个直角三角DQ图2-5yxOPCBADQ图2-6yxOPCBA形全等去求直线CP上另一点Q（3，-2）解法7：如图2-4，过点A作x轴的垂线交CB于点Q，交CP于点G.则OABQAQBCOG45∴2ABAQ∴22BQ，又∵23BC∴22223BQBCCQ又∵QCGACQ，OABCCGQ45∴CAB∽CGQ∴QGABQCBC∴QG2223∴32QG∴38322QGAQAG∴)381(，G解法8：过点A、C分别作y轴、x轴的平行线相交于点D，AD交CP于点Q，如图2-5，∵OOCB45，∴OBCD45,∵PCBACB，∴OCADCQ，又∵OCDQCOA90∴DCQ∽DCA∴31COCDOADQ∴31DQ,∴38AQ∴)381(，Q分析：以上两种方法是通过点A作x轴的垂线交CB于点Q，从而构造两个三角形相似去求另一点)381(，Q.解法9：过点B作BQ//AC交CP于点Q，作QD⊥AB，垂足为D,连接OQ如图2-6.则QCBACBQBC∴QCQBDQ图2-7yxOPCBAE图2-8yxOPCBA又∵OCOB，OQOQ∴OBQ≌OCQ，∴OQOCQOB45，∴ODQD∵COAQDB，CAOQBD∴QDB∽COA∴31OCAODQBD.设xBD，则xQDOD3∴33xx得43x，)49,49(Q分析：以上方法是通过点B作BQ//AC交CP于点Q，从而构造两个三角形相似去求另一点)49,49(Q解法10：过点A作AQ//BC交PC的延长线于点Q，作QD⊥y轴，垂足为D，如图2-7.∵CQABCPACBQAC∴CQCA∵OACBABCACBOAC45∴QCDOAC又∵OQDCCOA90∴COA≌QDC∴1OADC∴3OCQD∴)43(，Q，分析：以上方法是通过点A作AQ//BC交PC的延长线于点Q，从而构造两个三角形全等去求另一点)43(，Q。解法11：如图2-8，过点B作BE//CP交y轴于点E.设BCAPCB，则ACBEBC又∵OOBCOCB45∴EBCOBCACBOCByxOEDCBA∴OBEOCA又∵OBOC，OBOECOA90∴COA≌BOE∴OEOA∵)0,1(A∴1OAOE∴)1,0(E设直线BE的解析式为1mxy∵直线BE过点)0,3(B，∴013m，∴31m直线BE的解析式为131xy，直线CP的解析式为331xy.四、强化训练1.如图，抛物线mxxy122与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中C点的坐标是(0，3)，顶点为D点，抛物线的对称轴与x轴相交于E，连接CD.（1）求m的值；（2）求CDE的度数；（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.2.已知：抛物线20yaxbxca的对称轴为1x，与x轴交于AB，两点，与y轴交于点C，其中30A，、02C，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC△的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C，重合）．过点D作DEPC∥交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，PDE△的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．ACxyBO3.如图，抛物线cbxxy2经过A（2，0）、B（2，4）两点，与x轴的另一个交点为D，点P（x，y）是线段AB上的一个动点，过P点的直线PQ⊥x轴，与抛物线相交于点Q.（1）求b、c的值；（2）求线段PQ长度的最大值；（3）当PQ的长度取最大值时，在抛物线上是否存在M、N两点（点M的横坐标小于点N的横坐标），使得以P、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N的坐标；若不存在，请说明理由。备用图yxODBAQPyxDOBA4.如图，抛物线cbxaxy2经过A(1，0)、C(0，3)两点，对称轴为直线1x，D点为顶点，抛物线与x轴的另一交点为B，连接BC交对称轴于E点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC的下方，抛物线上的一个动点（点P与B、C不重合），过P作y轴的平行线交BC于F点.①若点P的横坐标为m，当四边形DEFP是平行四边形时，求m的值；②在①的情况下，抛物线上是否存在点Q，使得QBC的面积与PBC的面积相等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.x=1yxOFEPDCBA图2Oyxy2=1nx2y1=nx2图1y2=12x2y1=2x2yxOPCBA5.（1）如图1，A是抛物线212xy上的一个动点，B、C两点都在抛物线2221xy上，且A、B、C三点都在第二象限，AC∥x轴，AB∥y轴,P是y轴上的一个动点.①连接BC、PA、PB求证：ABC与APB面积相等；②连接PC，当APB的面积为6时，求:CBPP的最大值及此时点P的坐标；（2）抛物线21nxy(n1)、221xny如图2所示，A是抛物线21nxy(n1)上的一个动点，点A的横坐标为m(m0),B、C两点都在抛物线221xny上，AC∥x轴，AB∥y轴,当ABC是等腰三角形时，试用n的代数式表示m.6.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2，4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且2AD，3AB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度．．．．．从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（30t），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.①当25t时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图2BCOADEMyxPN·图1BCO(A)DEMyxxyOFECBA7.已知：二次函数2yaxbxc的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OCOB）是方程016102xx的两个根，且A点坐标为（6，0）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，