九年级培优专题(二)一元二次方程的根与系数的关系

九年级数学培优专题训练（二）一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：若ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，则________________________，x1＋x2＝－bax1x2＝ca注意：一元二次方程的根与系数的关系的前提是方程是_____________(即二次项系数______)且________________．一元二次方程a≠0Δ＝b2－4ac≥0__________________.知识点一：一元二次方程的根与系数的关系１、不解方程，求下列方程的两根和与两根积。⑴X²－3X+1=0⑵X2－2X=2⑶X²+5X-10=0重点基础回顾练习：212xx21xx411412则：21xx2221xx221)(xx＝221)(xx221)(xx214xx＝2、求值另外几种常见的求值2111.1xx2121xxxx)1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221.2xxxx212221xxxx21212212)(xxxxxx小结：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和与两根之积的形式,再整体代入.一元二次方程的根与系数的关系在解方程中的应用非常广泛，这一类问题可归结为四种类型：(1)不解方程检验方程的解；(2)已知方程的解构建方程；(3)求关于方程两根的代数式的值；(4)已知关于方程两根的代数式的值，求方程中字母的系数．知识点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用【例1】已知方程x2－4x＋m＝0的一个根为－2，求方程的另一根及m的值．思路点拨：根据根与系数的关系，可求出两根的和与两根的积，将已知的根代入即可求出另一根及m的值．解：设原方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝4，x1x2＝m.∵x1＝－2，∴x2＝4－x1＝6，m＝x1x2＝－12.即方程的另一根是6，m的值为－12.【跟踪训练】1．已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根是()CA．1B．2C．－2D．－12．方程6x2－3x＋2＝0的两根之和是__________，两根之积是__________．13123、如果2是方程的一个根，则另一个根是___ｍ=____。062mxx844、已知关于x的方程012)1(2mxmx当m=时,此方程的两根互为相反数.当m=时,此方程的两根互为倒数.－11分析:1.10121mmxx，2.111221mmxx，x1＋x2＝－bax1x2＝ca二次函数一般形式：ax²＋bx＋c＝0可变形为：x²＋𝑏𝑎x＋𝑐𝑎＝0根与系数的关系：若二次项的系数为1，x²＋mx＋n＝0则有：x₁＋x₂＝－mx₁x₂＝n【例2】已知方程x2＋3x－2＝0，不解这个方程，利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的各根的2倍．思路点拨：如果原方程的两个根为x1，x2，则新方程的两个根为2x1，2x2.则所求方程为y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0，只要求出x1＋x2，x1x2便可解出．解：设原方程的两根为x1，x2，则新方程的两个根为2x1，2x2.又∵x1＋x2＝－3，x1·x2＝－2，∴2x1＋2x2＝－6,2x1·2x2＝－8.∴可设所求作的方程为y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0.即y2＋6y－8＝0.【例2】已知方程x2＋3x－2＝0，不解这个方程，利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的各根的2倍．【跟踪训练】5．请写出一个两实数根符号相反的一元二次方程_____________________________．x2－x－6＝0(答案不唯一)6．任写一个一根为－1，另一根大于0小于1的一元二次方程________________________．x2＋12x－12＝0(答案不唯一)【例3】设x1，x2是关于x的方程x2－(m－1)x－m＝0(m≠0)思路点拨：本题是对根的判别式和根与系数关系的综合考查，因为方程有两个实数根，所以Δ＝b2－4ac≥0，求出m的取求解．的两个根，且满足1x1＋1x2＝－23，求m的值．值范围，然后根据1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2，即可得到关于m的方程然后解：∵Δ＝(m＋1)2≥0，∴对于任意实数m，方程恒有两个实数根x1，x2.又∵x1＋x2＝m－1，x1x2＝－m，且m≠0，∴3m－3＝2m.∴m＝3.1x1＋1x2＝－23.∴x1＋x2x1x2＝－23.∴m－1－m＝－23.【例3】设x1，x2是关于x的方程x2－(m－1)x－m＝0(m≠0)的两个根，且满足1x1＋1x2＝－23，求m的值．【跟踪训练】7．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋1＝0的两个实DA．8B．7C．6D．5数根是x1，x2，且x21＋x22＝24，则k的值是()解析：由题知，x1＋x2＝6，x1x2＝k＋1.由x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝62－2(k＋1)＝24，解得k＝5.8．已知方程x2＋3x＋m＝0的两根为x1，x2，当m为何值时，3x1－x2＝4.解：∵3x1－x2＝4，∴3(x1＋x2)－4x2＝4.∵x1＋x2＝－3，∴3×(－3)－4x2＝4，x2＝－134.将x2＝－134代入原方程，得－1342＋3×－134＋m＝0，m＝－1316.9、已知方程的两个实数根是且求k的值。解：由根与系数的关系得X1+X2=-k，X1×X2=k+2又X12+X22=4即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0∵△=K2-4k-8当k=4时，△＜0当k=-2时，△＞0∴k=-2解得k=4或k=－2022kkxx2,1xx42221xx10、以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（）A、y2＋3y-5=0B、y2－3y-5=0C、y2＋3y＋5=0D、y2－3y＋5=0B分析:设原方程两根为则:21,xx5,32121xxxx新方程的两根之和为3)()(21xx新方程的两根之积为5)()(21xx故所求方程为y2－3y-5=011、点p(m,n)既在反比例函数的图象上,又在一次函数的图象上,则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):)0(2xxy2xy解:由已知得,mn22mn{即m·n=－2m+n=－2{∴所求一元二次方程为0222xx