导与练重点班2017届高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课件理

第3节三角函数的图象与性质最新考纲1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在(-π2,π2)内的单调性.知识链条完善考点专项突破易混易错辨析知识链条完善把散落的知识连起来1.所有的周期函数都有最小正周期吗?提示:不是所有的周期函数都有最小正周期.如函数f(x)=c(c为常数)的周期为任意非零实数,但没有最小正周期.2.正切函数y=tanx在定义域是增函数吗?提示:不是,正切函数y=tanx在每一个区间(kπ-π2,kπ+π2)k∈Z上都是增函数,但在定义域内不是单调函数.知识梳理函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{x︱x≠π2+kπ,k∈Z}值域[-1,1][-1,1]R正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质单调性在ππ2π,2π22kk(k∈Z)上单调递增;在π32π,2ππ22kk(k∈Z)上单调递减在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减在πππ,π22kk(k∈Z)上单调递增最值x=π2π2kkZ时,ymax=1;x=2kπ-π2(k∈Z)时,ymin=-1x=时,ymax=1;x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-1无最值奇偶性对称中心对称中心ππ,02k(k∈Z)对称中心π,02k(k∈Z)对称性对称轴l:ππ2xkkZ对称轴l:x=kπ(k∈Z)周期2π2ππ2kπ(k∈Z)奇函数偶函数奇函数(kπ,0)(k∈Z)【重要结论】对称与周期:(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.夯基自测解析:由正余弦函数周期求解公式可知y=sin2x,y=cos2x的周期为π,y=cos2x,y=sin2x的周期为4π,其中y=cos2x是偶函数.1.(2015三明模拟)下列函数中,以π为周期的偶函数是()(A)y=sin2x(B)y=cos2x(C)y=sin2x(D)y=cos2xD解析:对于函数f(x)=sin(x-π4),令x-π4=π2+kπ⇒x=kπ+3π4,所以当k=-1时,函数的一条对称轴为x=-π4.2.(2016东北四校联考)函数f(x)=sin(x-π4)的图象的一条对称轴是()(A)x=π4(B)x=π2(C)x=-π4(D)x=-π2C解析:由x∈[0,π2]得2x-π4∈[-π4,3π2],所以sin(2x-π4)∈[-22,1].即函数f(x)在[0,π2]上的最小值为-22.3.函数f(x)=sin(2x-π4)在区间[0,π2]上的最小值为()(A)-1(B)-22(C)22(D)0B解析:因为函数y=tanx在区间[-π4,π3]上为增函数,所以当x=-π4时有最小值为-1,当x=π3时有最大值为3,所以其值域为[-1,3].4.(2015临沂八校联考)函数y=tanx(x∈[-π4,π3])的值域是.答案:[-1,3]解析:令-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-512π+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z,所以函数y=sin(2x+π3)的单调递增区间为[-512π+kπ,π12+kπ],k∈Z.5.函数y=sin(2x+π3)的单调递增区间为.答案:[-512π+kπ,π12+kπ],k∈Z考点专项突破在讲练中理解知识考点一三角函数的定义域与简单的三角不等式解析:(1)要使函数有意义,必须使sinx-cosx≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.在[0,2π]内,满足sinx=cosx的x为π4,5π4,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以定义域为{x︱π4+2kπ≤x≤5π4+2kπ,k∈Z}.【例1】(1)(2015深圳模拟)函数y=sincosxx的定义域为.答案:(1){x︱π4+2kπ≤x≤5π4+2kπ,k∈Z}(2)不等式2sinx-1≥0的解集为.解析:(2)不等式2sinx-1≥0.即sinx≥12.如图所示,作出函数y=sinx在区间[0,2π]内的图象,其中直线y=12与曲线y=sinx,x∈[0,2π]的交点M,M'的横坐标分别是π6,5π6.观察图象可知,在[0,2π]内满足sinx≥12的x的集合为{x︱π6≤x≤5π6},所以在x∈R上,使sinx≥12成立的x的集合为{x︱2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6,k∈Z}.答案:(2){x︱2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6,k∈Z}反思归纳(1)三角函数定义域的求法①应用正切函数y=tanx的定义域求函数y=Atan(ωx+)的定义域.②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域.(2)简单三角不等式的解法①利用三角函数的图象求解.②利用三角函数线求解.【即时训练】(1)函数y=lg(2sinx-1)+12cosx的定义域为.解析:(1)要使函数y=lg(2sinx-1)+12cosx有意义,则2sin10,12cos0,xx＞即1sin,21cos.2xx＞解之得2kπ+π3≤x2kπ+5π6,k∈Z.即函数的定义域为[2kπ+π3,2kπ+5π6],k∈Z.答案:(1)[2kπ+π3,2kπ+5π6],k∈Z(2)函数y=1tan1x的定义域为.解析:(2)要使函数有意义,必须有tan10,ππ,Z,2xxkk即ππ,Z,4ππ,Z,2xkkxkk故函数的定义域为{x︱x≠π4+kπ且x≠π2+kπ,k∈Z}.答案:(2){x︱x≠π4+kπ且x≠π2+kπ,k∈Z}考点二三角函数的值域或最值【例2】(2016青岛期中)已知函数f(x)=2asin（2x-π3）+b(a≠0)的定义域为[0,π2],函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.解:因为0≤x≤π2,所以-π3≤2x-π3≤2π3,所以-32≤sin(2x-π3)≤1.若a0,则21,35,abab解得1263,23123.ab若a0,则25,31,abab解得1263,19123.ab反思归纳三角函数值域的三种求法①直接法:利用sinx,cosx的值域.②化一法:化为y=Asin(ωx+)+k的形式逐步分析ωx+的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域.③换元法:把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题.【即时训练】(1)函数y=1tanx(-π4xπ4且x≠0)的值域是()(A)[-1,1](B)(-∞,-1)∪(1,+∞)(C)(-∞,1](D)[-1,+∞)解析:(1)当-π4x0时,-1tanx0,所以1tanx-1.当0xπ4时,0tanx1,所以1tanx1.所以当x∈(-π4,0)∪(0,π4)时,函数y=1tanx的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).答案:(1)B(2)(2015成都模拟)函数y=cos2x-2sinx在x∈[56π,76π]上的值域为.解析:(2)因为y=cos2x-2sinx=-sin2x-2sinx+1.令t=sinx,则t∈[-12,12],y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2,所以ymax=74,ymin=-14,故函数的值域是[-14,74].答案:(2)[-14,74]三角函数的性质解析:(1)y=sin(2x+π2)=cos2x是最小正周期为π的偶函数;y=cos(2x+π2)=-sin2x是最小正周期为π的奇函数;y=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4)是最小正周期为π的非奇非偶函数;y=sinx+cosx=2sin(x+π4)是最小正周期为2π的非奇非偶函数.故选B.考点三考查角度1:三角函数的奇偶性与周期性.高考扫描:2014高考新课标全国卷Ⅰ【例3】(1)(2015高考四川卷)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是()(A)y=sin(2x+)(B)y=cos(2x+)(C)y=sin2x+cos2x(D)y=sinx+cosx解析:(2)y=2cos2(x-π4)-1=cos2(x-π4)=cos(2x-π2)=cos(π2-2x)=sin2x.则函数为最小正周期为π的奇函数.故选A.(2)(2015吉林模拟)函数y=2cos2(x-π4)-1是()(A)最小正周期为π的奇函数(B)最小正周期为π的偶函数(C)最小正周期为π2的奇函数(D)最小正周期为π2的偶函数反思归纳奇偶性与周期性的判断方法(1)奇偶性:由正、余弦函数的奇偶性可判断y=Asinωx和y=Acosωx分别为奇函数和偶函数(2)周期性:利用函数y=Asin(ωx+),y=Acos(ωx+)(ω0)的周期为2π,函数y=Atan(ωx+)(ω0)的周期为π求解.【例4】(1)函数y=tan(2x-π3)的单调区间是.考查角度2:三角函数的单调性.解析:(1)kπ-π22x-π3kπ+π2(k∈Z)得kπ-π62xkπ+5π6(k∈Z),即π2k-π12xπ2k+5π12(k∈Z),故函数的单调增区间为(π2k-π12,π2k+5π12)(k∈Z),无单调减区间.答案:(1)(π2k-π12,π2k+512π),k∈Z(2)若f(x)=2sinωx+1(ω0)在区间[-π2,2π3]上是增函数,则ω的取值范围是.解析:(2)法一由2kπ-π2≤ωx≤2kπ+π2,k∈Z,得f(x)的增区间是[2πk-π,2πk+π2],k∈Z.因为f(x)在[-π2,2π3]上是增函数,所以[-π2,2π3]⊆[-π2,π2].所以-π2≥-π2且2π3≤π2,所以ω∈(0,34].(教师备用)法二因为x∈[-π2,2π3],ω0,所以ωx∈[-π2,2π3],又f(x)在区间[-π2,2π3]上是增函数,所以[-π2,2π3]⊆[-π2,π2],则ππ,222ππ,32又ω0,得0ω≤34.即ω的取值范围为(0,34].答案:(2)(0,34]反思归纳已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.(2)由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解.考查角度3:三角函数的对称性.高考扫描:2012高考新课标全国卷【例5】(1)(2016吉林实验中学模拟)函数f(x)=2sin(ωx+)(ω0)对任意x都有f(π6+x)=f(π6-x),则f(π6)等于()(A)2或0(B)-2或2(C)0(D)-2或0解析:(1)因为函数f(x)=2sin(ωx+)对任意x都有f(π6+x)=f(π6-x),所以该函数图象关于直线x=π6对称,因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值,则f(π6)=±2.答案:(1)B(2)若函数f(x)=asinωx+bcosωx(0ω5,ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x=π4,函数f'(x)的图象的一个对称中心是(π8,0),则f(x)的最小正周期是.解析：(2)由题设,有f(π4)=±22ab,即22(a+b)=±22ab,由此得到a=b.又f'(π8)=0,所以aω(cosπ8-sinπ8)=0,从而tanπ8=1,π8=kπ+π4,k∈Z,即ω=8k+2,k∈Z,而0ω5,所以ω=2,于是f(x)=a(sin2x+cos2