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第6节正弦定理和余弦定理及其应用最新考纲1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.知识链条完善考点专项突破解题规范夯实知识链条完善把散落的知识连起来【教材导读】1.已知△ABC中的三边,如何判断三角形的形状?提示:利用余弦定理可判断出最大边所对的角的余弦值的正负,从而判断出三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形.2.在三角形ABC中,“AB”是“sinAsinB”的什么条件?“AB”是“cosAcosB”的什么条件?提示:在三角形ABC中,“AB”是“sinAsinB”的充要条件,“AB”是“cosAcosB”的充要条件.3.在三角形ABC中,“a2+b2c2”是“△ABC为钝角三角形”的什么条件?“a2+b2c2”是“△ABC为锐角三角形”的什么条件?提示:“a2+b2c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件,“a2+b2c2”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.知识梳理1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容sinaA=sinbB=sincC=2R(其中R是△ABC外接圆半径)a2=;b2=;c2=变形形式a=2RsinA,b=,c=;sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR;a∶b∶c=sinA∶∶sinC;asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinAcosA=2222bcabc;cosB=2222cabac;cosC=2222abcab解决的问题已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(3)已知两边和其中一边的对角,求其他角和边b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosCsinB2RsinB2RsinC2.三角形常用面积公式(1)S=12a·ha(ha表示边a上的高);(2)S=12absinC=1sin2bcA=12acsinB;(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).3.解三角形在测量中的常见题型(1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.(2)有关测量中的几个术语①仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫,目标视线在水平视线下方时叫.(如图(1)所示)②方位角:一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角,如方位角45°,是指北偏东45°,即东北方向.③坡角:坡面与水平面的夹角.俯角仰角④坡比:坡面的铅直高度与水平宽度之比,即i=hl=tanα(i为坡比,α为坡角).(如图(2)所示)【重要结论】在△ABC中,常有以下结论:(1)∠A+∠B+∠C=π.(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(3)sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC;sin2AB=cos2C;cos2AB=sin2C.(4)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.(5)∠A∠B⇔ab⇔sinAsinB⇔cosAcosB.夯基自测1.(2016蚌埠质检)在△ABC中,已知a2-b2-c2=2bc,则角B+C等于()(A)π4(B)3π4(C)5π4(D)π4或3π4A解析:cosA=222b2cabc=22bcbc=-22,所以A=34π,那么B+C=π4.2.在△ABC中,A=π3,BC=3,AB=6,则C等于()(A)π4或3π4(B)3π4(C)π4(D)π6C解析:BC=a=3,AB=c=6,由正弦定理,得sinC=sincAa=22,又a=3,c=6,所以ac,即AC,故C为锐角.所以C=π4.3.(2016石景山区模拟)已知△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABC是()(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)钝角三角形D解析:由△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,利用正弦定理可得a∶b∶c=5∶11∶13,设a=5k,b=11k,c=13k,故C为最大角,由余弦定理得cosC=2222abcab=222225121169110kkkk=-231100,可得C为钝角,故△ABC是钝角三角形.4.(2015重庆模拟)甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里的B处,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的3倍,甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏东(填角度)的方向前进.解析:设两船在C处相遇,则由题意∠ABC=180°-60°=120°,且ACBC=3,由正弦定理得ACBC=sin120sinBAC。=3⇒sin∠BAC=12.又0°∠BAC60°,所以∠BAC=30°.答案:30°5.下列说法正确的是.①三角形中三边之比等于相应的三个内角之比;②在△ABC中,若sinAsinB,则AB;③在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素;④面积公式中S=12bcsinA=12absinC=12acsinB,其实质就是面积公式S=12ah=12bh=12ch(h为相应边上的高)的变形;⑤在△ABC中,若b2+c2a2,则此三角形是锐角三角形.解析:①错误.若三内角A,B,C分别为π6,π3,π2,比为1∶2∶3,而对应边的比为1∶3∶2.②正确.由正弦定理知sinA=2aR,sinB=2bR,由sinAsinB得ab,即AB.③错误.当已知三个角时不能求三边.④正确.如S=12absinC=12ah(h=bsinC),h即为边a上的高.⑤满足b2+c2a2,还可能满足b2≥a2+c2或c2≥a2+b2则三角形不是锐角三角形.答案:②④考点专项突破在讲练中理解知识考点一正、余弦定理的应用(高频考点)【例1】(1)(2015高考北京卷)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2sinAC=.解析:(1)在△ABC中,由余弦定理的推论可得cosA=2222bcabc=222564256=34,由正弦定理可知sin2sinAC=2sincossinAAC=2cosaAc=32446=1.答案:(1)1考查角度1:利用正、余弦定理解三角形.高考扫描:2013高考新课标全国卷Ⅰ、2015高考新课标全国卷Ⅱ(2)(2015高考重庆卷)在△ABC中,B=120°,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=.解析:(2)依题意知∠BDA=∠C+12∠BAC,由正弦定理得2sinBDA=3sinB,所以sin（∠C+12∠BAC）=22.因为∠C+∠BAC=180°-∠B=60°,所以∠C+12∠BAC=45°,所以∠BAC=30°,∠C=30°.从而AC=2·ABcos30°=6.答案:(2)6反思归纳利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理,有时需结合图形分析求解,有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数.【例2】(2015高考浙江卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=π4,b2-a2=12c2.(1)求tanC的值;解:(1)由b2-a2=12c2及正弦定理得sin2B-12=12sin2C,所以-cos2B=sin2C.又由A=π4,即B+C=34π,得-cos2B=sin2C=2sinCcosC,解得tanC=2.考查角度2:与三角形面积有关的问题.高考扫描:2013高考新课标全国卷Ⅱ、2014高考新课标全国卷Ⅰ,2015全国卷Ⅱ解:(2)由tanC=2,C∈(0,π),得sinC=255,cosC=55.又因为sinB=sin(A+C)=sin（π4+C）,所以sinB=31010.由正弦定理得c=2210b,又因为A=π4,12bcsinA=3,所以bc=62,故b=3.(2)若△ABC的面积为3,求b的值.反思归纳(1)对于面积公式S=12absinC=12acsinB=12bcsinA,一般是已知哪一个角就选用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般是用正弦定理或余弦定理进行边角的转化.得到两边乘积,再整体代入.考点二利用正、余弦定理判定三角形形状解:(1)因为2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,所以2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,所以cosA=2222bcabc=12,所以A=60°.【例3】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2a·sinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求角A的大小;解:(2)因为A+B+C=180°,所以B+C=180°-60°=120°,由sinB+sinC=3,得sinB+sin(120°-B)=3,所以sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=3.所以32sinB+32cosB=3,即sin(B+30°)=1.又因为0°B120°,所以30°B+30°150°,所以B+30°=90°,即B=60°.所以A=B=C=60°,所以△ABC为正三角形.(2)若sinB+sinC=3,试判断△ABC的形状.反思归纳判定三角形形状的两种常用途径:(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.解析:(1)由A+B=π-C得sin(A+B)=sinC,则原式sin(A+B)sin(A-B)=sin2C可化为sin(A-B)=sin(A+B)⇒sinAcosB-cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,整理得cosAsinB=0.因为0Aπ,所以A=π2,即此三角形为直角三角形.故选B.【即时训练】(1)(2016银川模拟)在△ABC中,若sin(A+B)·sin(A-B)=sin2C,则此三角形形状是()(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:(2)因为cos22B=2acc,所以2cos22B-1=acc-1,所以cosB=ac,所以2222acbac=ac,所以c2=a2+b2.所以△ABC为直角三角形.故选B.(2)(2016锦州模拟)在△ABC中,cos22B=2acc(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()(A)等边三角形(B)直角三角形(C)等腰三角形或直角三角形(D)等腰直角三角形用正、余弦定理解决实际问题解析:由题意可知,如图,在△ABC中,AC=300米,BC=500米,∠ACB=120°,利用余弦定理可得AB2=3002+5002-2×300×500×cos120°,AB=700米.考点三【例4】(2015广州七区联考)某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为300米和500米,测得灯塔A在观察站C北偏东30°,灯塔B在观察站C南偏东30°处,则两灯塔A,B间的距离为.答案:700米反思归纳利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析——理解题意,分清已知与未知,画出示意图;(2)建模——根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;(4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.解析:由已知得∠ACB=45°,∠B=60°,由正弦定理得sinACB=sinABACB,所以AC=sinsinABBACB=20sin60sin45。。=106,所以海轮航行的速度为10630=63