第9讲平面几何

第九讲:平面几何1第九讲:平面几何杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码：[phone]）课程标准的实施使得公理化典范的平面几何再次进入高中数学,选修4-1中的平面几何包括:相似三角形(平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、直角三角的射影定理),直线与圆(圆周角定理、圆内接四边形的判定和性质、弦切角定理、切线的判定和性质、相交弦定理和切割线定理);平面几何是竞赛数学的主要内容.自主招生中的平面几何问题有如下两个突出的特点:方法的多样性和几何量的度量问题.Ⅰ.知识拓展1.圆幂定理:①相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等;②切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;③割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等;圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理统一归纳的结果,圆幂定理:过点P任作直线交半径为r的定圆O于两点A、B,则PAPB为定值|OP2-r2|(这个值称为点P到圆O的幂).2.托勒密(Ptolemy)定理:①托勒密定理:圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和;②托勒密定理的逆定理:凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆;③广义托勒密定理:凸四边形两对对边乘积的和不小于两条对角线的乘积,当且仅当四边形共圆时等号成立.3.梅涅劳斯(Menelaus)定理:①梅涅劳斯定理:设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则PCBPQACQRBAR=1;②梅涅劳斯定理的逆定理:设P、Q、R分别为△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点,若PCBPQACQRBAR=1,则P、Q、R三点共线;③梅涅劳斯定理的应用定理:设△ABC的∠A的外角平分线交边BC于P,∠B的平分线交边CA于Q,∠C的平分线交边AB于R,则P、Q、R三点共线;过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线,分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R,则P、Q、R三点共线.4.塞瓦(Ceva)定理:①塞瓦定理:设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点,则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZBBXXCCYYA=1;②塞瓦定理的应用定理:设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E,又设BE和CD交于S,则AS一定过边BC的中点M;③塞瓦定理的逆定理的应用定理:三角形的三条中线交于一点,三角形的三条高线交于一点,三角形的三条角分线交于一点;设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T,则AR、BS、CT交于一点.5.西摩松(Simson)定理:①西摩松定理:从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线,设其垂足分别是D、E、R,则D、E、R共线(这条直线叫西摩松线);②西摩松定理的逆定理:从点P向△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线作垂线,设其垂足分别是D、E、R,若D、E、R三点共线,则点P在△ABC的外接圆上;③西摩松线的定理(安宁定理):在一个圆周上有4点,以其中任三点作三角形,再作其余一点的关于该三角形的西摩松线,这些西摩松线交于一点.6.费马(Fermat)点:①费马点:在三角形中,到每个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点;②费马点定理:三角形每一内角都小于1200时,在三角形内必存在一点,它对三条边所张的角都是1200,该点为“费马点”;当三角形有一内角不小于1200时,此角的顶点即为“费马点”;③费马定理:等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离;不在等边三角形外接圆上的点,到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离.Ⅱ.归类分析1.综合法:2第九讲:平面几何[例1]:(2012年“北约”自主招生试题)求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.[解析]:[练习1]:1.①(2011年“卓越联盟”自主招生数学试题)如图:P△ABC内接于⊙O,过BC中点D作平行于AC的直线l,Gl交AB于E,交⊙O于G,F,交⊙O在A点处的切线于P,A若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为()E(A)5(B)6(C)7(D)22BDC②(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题)如图,过⊙O外一点M引圆的切线切圆于点B,连接MO交圆于点A,已知COAMMA=4厘米,MB=43厘米.N为⌒AB的中点.曲边三角形AMN的面积B等于平方厘米.③(2009年全国高中数学联赛陕西初赛试题)PA、PB为圆O的两条切线,切点分别为A、B,过点P的直线交圆O于C、D两点,交弦AB于点Q,求证:PQ2=PCPD-QCQD.2.①(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设凸四边形ABCD满足AB=AD=1,∠A=1600,∠C=1000,则对角线AC的长度的取值范围是.②(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知△ABC的三边BC,CA,AB的中点分别为L,M,N,D,E分别是BC,AB上的点,并满足AD,CE均平分△ABC的周长,P,Q分别是D,E关于L,N的对称点,PQ与LM交于点F,若ABAC,则AF一定过△ABC()(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心③(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知△ABC的外心为O,∠A900,P为△OBC的外接圆上且在△ABC内部的任意一点,以OA为直径的圆分别与AB,AC交于点D,E,OD,OE分别与PB,PC或其延长线交于点F,G,求证:A,F,G三点共线.2.面积法:[例2]:(2009年中科大保送生考试数学试题)如图:A已知D、E、F分别为BC、CA、AB的三等分点,并且PEEC=2AE,BD=2CD,AF=2BF,若S△ABC=1,试求S△PQR.FQ[解析]:BRC[练习2]:1.①(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)若D是边长为1的正三角形ABC的边BC上的点,△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1,r2,若r1+r2=53则满足条件的点D有两个,分别设为D1,D2,则D1,D2之间的距离为.②(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题)直角△ABC内切圆的半径为r,直角的平分线的长为t.求证:直角△ABC的两条直角边的长a和b是关于x的一元二次方程(t-22r)x2+22r2x-2tr2=0的根.③(2010年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题)已知凸四边形ABCD的对角线交点为O.△OAB、△OBC、△OCD、△ODA内切圆半径r1,r2,r3,r4满足关系式11r+31r=21r+41r.求证:四边形ABCD存在内切圆._O_E_P_D_C_B_A第九讲:平面几何32.①(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)如图,已知PA,PB是⊙O的两条切线,PCD是⊙O的一条割线,E是AB与PD的交点.证明:PDPC=DECE.②(1983年全国高中数学联赛试题)在四边形ABCD中,D△ABD、△BCD、△ABC的面积比是3:4:1,点M、N分别在AC、NCD上满足AM:AC=CN:CD,并且B、M、N三点共线.AEMC求证:M与N分别是AC与CD的中点.B③(2010年第六届北方数学奥林匹克邀请赛试题)已知⊙O是△ABC的内切圆,D、E、N是切点,联结NO并延长交DE于点K,联结AK并延长交BC于点M.求证:M是BC的中点.3.三角法:[例3]:(2008年北京大学自主招生数学试题)求证:边长为1的正五边形对角线长为251.[解析]:[练习3]:1.①(2011年“华约”自主招生试题)如图:⊙O1和⊙O2外切于点C,⊙O1,⊙O2又都和⊙O内切,切点分别为A,B,∠AOB=α,∠ACB=β,则不正确的是()(A)cosβ+sin2=0(B)sinβ-cos2=0(C)sin2β+sinα=0(D)sin2β-sinα=0②(2012年“北约”自主招生试题)设点A,B,C分别在边长为1的正三角形三边上,求AB2+BC2+CA2的最小值.③(2010年“北约”自主招生试题)A、B为边长为1的正五边形边上的点,证明:AB最长为251.2.①(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)设△ABC内接于半径为R的⊙O,且AB=AC,AD为底边BC上的高,则AD+BC的最大值为_____.②(2005年北京市中学生数学竞赛高一年级试题)圆内接凸四边形ABCD的面积记为S,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,证明:(Ⅰ)S=))()()((dpcpbpap,其中p=21(a+b+c+d);(Ⅱ)如果四边形ABCD同时具有外接圆和内切圆,则S=abcd.③(1998年全国高中数学联赛试题)如图,AO、I分别为△ABC的外心和内心,AD是BC边上的高,I在线段OD上,求证:△ABC的外O接圆半径等于BC边上的旁切圆半径.I注:△ABC的BC边上的旁切圆是与边AB、ACBDC的延长线以及边BC都相切的圆.E4.解析法:[例4]:(2006年上海交通大学保送生考试试题)矩形长为a,AGD宽为b,AE,CG是相距h的平行线,求AG.[解析]:BEC[练习4]:1.①(1993年上海市高中数学竞赛试题)三角形的三边长为6、8、10.该三角形内的点P到该三角形三边的距离的乘积的4第九讲:平面几何最大值是_____.②(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.若c=10,BAcoscos=ab=34,P为△ABC的内切圆上的动点,d为P到顶点A、B、C的距离的平方和,则dmin+dmax=.③(1993年上海市高中数学竞赛试题)过正△ABC的中心O作直线分别与AB、AC交于点D、E.若DO=3,OE=2,则该正三角形的边长为_____.2.①(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)AB是半圆⊙O的直径,C是⌒AB的中点,M是弦AC的中点,CH⊥BM,垂足为H.求证:CH2=AHOH.②(1981年全国高中数学联赛试题)在圆O内,弦CD平行于弦EF,且与直径AB交成450角.若CD与EF分别交直径AB于P和Q,且圆O的半径长为1.求证:PCQE+PDQF2.③(1982年全国高中数学联赛试题)已知:①半圆的直径AB长为2r;②半圆外的直线l与BA的延长线垂直,垂足为T,|AT|=2a(2a2r);③半圆上有相异两点M、N,它们与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件||||AMMP=||||ANNQ=1.求证:|AM|+|AN|=|AB|.5.向量法:[例5]:(2009年中科大保送生考试数学试题)如图:A已知D、E、F分别为BC、CA、AB的三等分点,并且PEEC=2AE,BD=2CD,AF=2BF,若S△ABC=1,试求S△PQR.FQ[解析]:BRC[练习5]:1.①(2011年“北约”自主招生试题)已知平行四边形的一组邻边长为3、5,一条对角线长度6,求另一条对角线的长.②(1984年上海市高中数学竞赛试题)在△ABC中,D、E分别是BC、CA上的点,且BD:DC=m:1,CE:EA=n:1,AD与BE相交于F,则△ABF的面积等于△ABC面积的_____倍.③(2011年上海市高中数学竞赛试题)如图,A在△ABC中,O为BC中点,点M,N分别在边AB,MNAC上.且AM=6,MB=4,AN=4,NC=3,∠MON=900,求∠A的大小.BOC2.①(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)如图,C设D、E是△ABC的边AB上的两点,已知∠ACD＝∠BCE,AC＝14,AD＝7,AB＝28,CE＝12.求BC.ADEB②(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)△ABC中,ABAC,AD,AE分别是BC边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC,证明:∠BAC是直角.③(2010年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)已知O,H是