间断点及其分类

1.5.4间断点及其分类如果函数)(xf有下列三种情况之一：（1）在xx没有定义；（2）虽在xx有定义，但)(limxfxx不存在；（3）虽在xx有定义，且)(limxfxx存在，但)()(limxfxfxx，则xxf)(在点不连续。1.间断点的定义定义3若函数),()(xNxf在有定义，且xxf)(在点不连续，则称点)(xfx为的不连续点（或间断点）。（2）第二类间断点（设的是)(xfx间断点。）（1）第一类间断点若)0(xf和)0(xf都存在，则称的是)(xfx第一类间断点。①若)0()0(xfxf，则称的是)(xfx跳跃间断点；②若)0()0(xfxf，则称的是)(xfx可去间断点。若)0(xf和)0(xf中至少有一个不存在，则是称x的)(xf第二类间断点。其中极限为者称为无穷间断点。2.间断点的分类例1．∵xytan在2x处无定义，∴2x是xytan的一个间断点。∵xxtanlim2，∴2x是xytan的第二类间断点，且是无穷间断点。例2．∵xy1sin在0x处无定义，∴0x是xy1sin的一个间断点。∵xx1sinlim0不存在，∴0x是xy1sin的第二类间断点。例3．∵11)(2xxxf在点1x处无定义，∴1x是11)(2xxxf的一个间断点。∵2)1(lim11lim)(lim1211xxxxfxxx，∴1x是11)(2xxxf的可去间断点。若补充定义：2)1(f，则1,21,11)(2xxxxxf在点1x处连续。例4．设0,11sin0,00,sin)(xxxxxxxxf，∵1sinlim)00(0xxfx，1)11sin(lim)00(0xxfx，∴1)(lim0xfx，但0)0(1)(lim0fxfx，∴点0x是)(xf的可去间断点。若改变定义：1)0(f，则)(xf在点0x处连续。例5．讨论下列函数的连续性，并指出间断点的类型。（1）xxexf111)(解：间断点为0x，1x，)(1,,1),0(,0),()(在xf内连续。∵xxxxexf10011lim)(lim，∴0x为第二类间断点，且是无穷间断点。∵011lim)(lim111xxxxexf，111lim)(lim111xxxxexf，∴1x为跳跃间断点。（2）1,1,11arctan)1()(2xxxxxxf.当1x时，根据初等函数在其定义区间上是连续的结论，知)(xf在)(1,1),,1(1),,(内连续。解：)(xf是分段函数，1x是“分界点”。∵011arctan)1(lim)(lim211xxxfxx，1)1(f，∴)1()(lim1fxfx，故1x为可去间断点。∵11arctan)1(lim)(lim211xxxfxx，11arctan)1(lim)(lim211xxxfxx，∴)(lim1xfx不存在，故1x为跳跃间断点。1.5.5闭区间上连续函数的性质注：如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论不一定成立。例如：)1,0(1)(Cxxf，但)(xf在)1,0(内无界。定理4（有界性定理）设],[baCf，则],[baf在上有界，即0M，],[bax，有Mxf)(。xyoab)(xfy)(xf)(xfxx定理5（最大—最小值定理）设],[baCf，则存在],[,baxx，],[bax，有)()()(xfxfxf。（2）如果)(xf在闭区间上有间断点，那么定理的结论不一定成立。例如：1,0,100,0,1,1)(xxxxxxf在]1,1[上无最大值和最小值。注：（1）如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论不一定成立。例如：xxf)(在)1,1(内连续，但xxf)(在)1,1(内无最大值也无最小值。xy11-1-1o定理6（零点定理）设],[baCf，且0)()(bfaf，则至少存在一点),(bac，使得0)(cf。xyoab)(xfyc定理6的几何意义是：若连续曲线弧)(xfy的两个端点位于轴x的不同侧，则这段曲线弧与轴x至少有一个交点。定理7（介值定理）设],[baCf，且)(min],[xfmbax，)(max],[xfMbax，则对任意],[Mm，都存在],[bac，使得)(cf。定理7的几何意义是：连续曲线弧)(xfy与直线y至少有一个交点。xyoab)(xfycMm由定理6，存在],[),(baxxc，则],[xxCF，证明：若Mm，则)(xf在],[ba上为常数，结论成立。设Mm，由定理5，存在],[,baxx，使得Mxfmxf)(,)(。不妨设xx。若)()(xfxf或，则xcxc或取即可。且0)()(xfxF，0)()(xfxF，使得0)(cF，若)()(xfxf，令)()(xfxF，即)(cf。证明：令12)(xxxf，则]1,0[Cf，∵01)0(f，01)1(f，∴存在)1,0(c，使012)(cccf，即方程012xx在)1,0(内至少有一个实数根。例6．证明方程012xx在)1,0(内至少有一个实数根。例7．证明：实系数方程023cbxaxx必有实根。证明：令cbxaxxxf23)(，则)(xf在),(内连续。∵)1(lim)(lim323xcxbxaxxfxx，)1(lim)(lim323xcxbxaxxfxx，∴必存在)(,2121xxxx，使得0)(,0)(21xfxf，而],[)(21xxxf在上连续，故由零点定理知，必存在),(21xxc，使得0)(cf，即方程023cbxaxx必有实根。例8．设],[baCf，证明：若bxxxak21（k为某一正整数），则存在],[bac，使kiixfkcf1)(1)(。证明：∵],[baCf，],[],[1baxxk，∴],[C(x)1kxxf，∴kMxfxfxfkmk)()()(21，Mxfxfxfkmk)]()()([121，由介值定理可知，存在],[),(1baxxck，使得kiixfkcf1)(1)(。因而],[)(1kxxxf在上有最小m值和最大M值，1.5.6函数的一致连续性设RIf:为任一函数，若0,0，使得Ixx21,，当||21xx时，恒有|)()(|21xfxf，则称f是区间I上的一致连续函数。其中仅与有关，而与x无关。oxy{{22)(xfyx1x)(xf)(1xfx1x上处处连续在区间Ixf)(上一致连续在区间Ixf)(例9考察下列函数的连续性和一致连续性)1,0((ii))10()1,((i)1)2(),(cos)1(xrrxxyxxy其中定理8设],[baCf，则f在],[ba上一致连续.习题1.5A5；8(2)(3)(4)；9(2)(3)(5)；12(2)(3)；13(1)(3)；14；B2；5.作业