毕业论文浅谈无穷级数的求和

浅谈无穷级数的求和Investigateofthesummationofinfiniteseries专业:数学与应用数学作者:指导老师:学校二○一I摘要本文介绍了运用裂项相消,错位相减,逐项微分,逐项积分,运用特殊级数的和这几种方法求级数的和,并通过实例说明了这些方法的应用.关键词:级数;求和;幂级数;傅里叶级数IIAbstractInthispaper,wediscussthemethodsofthesummationsubstractionbypartitiontermsormisplace,differentiationtermbyterm,integrationtermbytermandthesummationofthespecialseries.Someexamplesareillustratedtotheapplicationsofthesemethods.Keywords:series;summation;powerseries;Fourierseries目录摘要....................................................................IABSTRACT.................................................................II0引言...................................................................11裂项相消法............................................................12错位相减法............................................................23逐项微分法............................................................64逐项积分法............................................................85运用特殊级数的和求和法................................................9参考文献................................................................13第1页,共13页0引言无穷级数(简称级数)是高等数学的一个重要组成部分.它是表示函数,研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具.众所周知,收敛级数都有和,然而求出收敛级数的和常常是较困难的.因此,本文将讨论运用裂项相消,错位相减,逐项微分,逐项积分,运用特殊级数的和来求级数的和,并通过实例说明了这些方法的应用.为行文的简洁,本文中未特别申明的符号与文献[1]一致.1裂项相消法设1nun,1nnnuvv,则1nun的部分和为11nnsvv.若1limnnvA,则1limnnsAv.也就是说1nun的和为1Av.我们称上述求级数和的方法为裂项相消法.利用裂项相消法求级数的和,关键是怎样将级数的通项拆成前后有抵消部分的形式,通常经过变形,有理化分子或分母,三角函数恒等变形等处理可达到裂项相消的目的.以下用具体例子来进行说明.例1求无穷级数11(2)nnn的和.解因为1111()(2)22nnnn,所以1111111111[(1)()()](1)232422212nSnnnn,于是第2页,共13页limnnSS1111(1)2212nn34.所以113(2)4nnn.如果一个级数的通项是一个三角函数式,则可考虑利用三角函数公式,将其化简为两式之差以便运用裂项相消法.例2求级数201arctan1nnn的和.解先考虑变换问题的数学形式,由21(1)arctanarctan11(1)kkkkkk,联想到正切的差角公式tantantan()1tantan,再设tan1,kk,则原级数的部分和为2111arctan1arctanarctanarctan371arctan1(arctan2arctan1)(arctan3arctan2)[arctanarctan(1)][arctan(1)arctan]arctan(1),nSnnnnnnn所以201arctanlimlimarctan(1)12nnnnSnnn.如果一个级数的通项是一个分母为若干根式之积的分式,则可考虑将其分母或分子有理化以便运用裂项相消法.例3求和11(1)(1)nnnnn.解先对通项分母中的和式进行有理化,得1111(1)(1)(1)1nnnnnnnnnn,于是,有第3页,共13页1111111(1)()()()22311nSnnnn111n,所以111limlim(1)1(1)(1)1nnnnSnnnnn.2错位相减法设{}nu为等差数列,公差为d,{}nv为等比数列,公比为q,则称0nnnuv为混合级数,这类级数的求和问题一般采用错位相减法.事实上,设112233nnSuvuvuvuvn,(1)两边同时乘以公比q得112233nnnqSuvquvquvquv,即12233411nnnnnqSuvuvuvuvuv,(2)(5)式减去(6)式得11231(1)()nnnnqSuvdvvvuv,112311limlim[]1()nnnnnnSSquvdvvvuv.我们这种求级数和的方法为错位相减法.例4求级数113nnn的和.解因为21231333nnnS,(3)第4页,共13页23112333333nnnS,(4)(7)式减去(8)得23112111113333333nnnnnnSSS,即1(1)3313(1)12323313nnnnnnnS,于是2313limlim[(1)]32332nnnnnnS,所以339lim224nnS,故11943nnn.3逐项微分法定理[2]1若在[,]ab上,1()nnux的每一项都具有连续导数'()nux一致收敛于()x,又1()nnux收敛于()Sx,则'()()Sxx,即11()()nnnndduxuxdxdx,且1()nnux一致收敛于()Sx.这定理说明了和号同求导运算可以交换,它也称为逐项微分的定理.但要注意的是,仅仅在条件“1()nnux一致收敛”之下,即使'()nux存在且连续,也不能保证和号同求导数号可以交换.例5求级数357(1)357xxxxx的和.解令357()357xxxFxx,第5页,共13页在收敛域1,1内逐项微分,得24621'11Fxxxxx.注意到(0)0F,所以20()arctan1xdtFxxt,于是当1x时,有357arctan357xxxxx.例6求级数11111(1)3521nn的和.解令35121111(1)3521nnxxxxxnS(),逐项求导得2412321'()1(1)1nnSxxxxx,所以2001()'()arctan1xxSxSxdxdxxx.因为级数12111(1)21nnnxn在1x处收敛,所以(1)arctan14S,即11111(1)35214nn.例7求级数210(21)!nnxn的和函数.解该级数的收敛区间为，,令213501(210)!3!5!nnxxxyxn,2240'()12!2!4!nnxxxyxn,第6页,共13页所以234()'()12!3!4!xxxxyxyxxe,()()'()xyxyxyxe即满足微分方程,此方程为一阶线性微分方程，其通解为1()2xxyxece.例8求幂级数221[(1)!](2)(1)(2)!nnnxxn的和.解在1x上对()Sx逐项求导,可知2211[(1)!]'()2(2)(21)!nnnSxxn,2221[(1)!]4(2)(22)!nnnxn.由此可得2(1)''()'()4xSxxSx.在这两端乘以212(1)x,我们有22(1'())'41,1xSxxx,解得224arcsin1()(1)11xSxxxx.4逐项积分法定理2[2]设1()nnux在[,]ab上一致收敛于()Sx,并且每一()nux都在[,]ab上连续,则11()()()bbbxnaaannuxdxSxdxuxdx,亦即和号可以与积分号交换.又在[,]ab上,函数项级数1()xnanutdt也一致收敛于第7页,共13页()xaStdt.该定理也称为逐项积分定理.例9求级数234234(1)xxxxx的和.解令234()234Fxxxxx,其收敛域为(1,1),在收敛域内逐项积分,得2340234234234123()234111(1)(1)(1)234111()()234ln(1)1xFtdtxxxxxxxxxxxxxxxxx，其中1x,于是21'()[ln(1)],11(1)nnxxFxnxxxxx.例10求下列级数的和Sx(1)410(2)1()()412nnxSxxn;(2)0()()(1)21nnxSxxn.解(1)在12x上对Sx作逐项积分,可知22244400000()111121arctan(2)ln().24122xxxnnnndtSxtdttdttxxxx(2)对01x,令2xt,有2220002220001()(1)(1)2111((1))1arctan.ntnnnnnttnnntStxdtntdtxdtttxtt第8页,共13页由此知()arctanSxxx.对10x,令2xt,有222200001111()ln21121nttnnntdttStxdxnttxtt,由此可得11()ln21xSxxx.5运用特殊级数的和求和法这种方法的基本思想是:将待求和的级数用一些已知级数来表示,通过代入已知级数求得待求级数的和.以下运用例子来说明该方法.例11求123423434845165632S.解原式可以用级数表示如下1111(1)()(1)(2)2nnnknSnn.考虑级数111(1)(1)(2)nnnknxnn,其收敛半径为1,故当12x时收敛,设其和函数为fx,下面在区间0,1内求fx.由于21(1)(2)21nnnnn,所以1111112111122()(1)(1)212(1)(