微积分课件1-2数列的极限

第二节数列的极限二收敛数列的性质一数列极限的定义三小节与思考判断题一、数列极限的定义定义:按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n1.数列注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数).(nfxn;,)1(,,1,1,11n})1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn,333,,33,3.时的变化趋势当观察数列nnn})1(1{1播放2.数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.1nxnnn11)1(1.)1(11,1无限接近于无限增大时当nxnnn通过上面演示实验的观察:,1001给定,10011n由,时只要100n,10011nx有,10001给定,时只要1000n,1000011nx有,100001给定,时只要10000n,100011nx有,0给定,时只要])1[(Nn.成立有1nx如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：的无限接近;与刻划了不等式axaxnn1..，.，越大越小有关与任意给定的正数一般地NN.2定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小)总存在正数，使得对于时的一切不等式都成立,那末就称常数为数列的极限，或者称数列收敛于,记为NNnnx||axnanxa)(,limnaaxnnnx或x1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa落在其外.个)(至多只有内都落在所有的点时当NaaxNnn只有有限个,,),(其中每一个或任给的;:.至少有一个或存在:.,0,0limaxNnNaxNnnn恒有时使定义：,数列极限的定义未给出求极限的方法.例1.1)1(lim1nnnn证明证1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以,],1[N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即注意：例2证1nx111nn12n,0任给,1nx要,12n只要,12n或所以,],12[N取,时则当Nn111nn就有.111limnnn即.111limnnn证明注意：用定义证明数列极限存在时，关键是任意给定寻找,但不是求最小的.,0任给NN例3.1,0limqqnn其中证明证,0任给,0nnqx,lnlnqn],lnln[qN取,时则当Nn,0nq就有.0limnnq,0q若;00limlimnnnq则,10q若,lnlnqn二、收敛数列的性质1.收敛数列的唯一性定理1收敛的数列只有一个极限.证,lim,limbxaxnnnn又设由定义,使得.,,021NN;1axNnn恒有时,当;2bxNnn时恒有当,,max21NNN取有时,则当Nn)()(axbxbannaxbxnn.2.时才能成立上式仅当ba故收敛数列极限唯一.例4.是发散的证明数列1)1(nnx证,limaxnn设由定义,,21对于成立,有时,使得当则21,axNnNn),21,21(aaxNnn时,即当区间长度为1.1两个数,无休止地反复取1,nx而不可能同时位于长度为1的区间内.但却发散.是有界的,事实上,}{nx定理1收敛的数列必定有界.证,limaxnn设由定义,,1取,1,axNnNn时恒有使得当则.11axan即有},1,1,,,max{1aaxxMN记,,Mxnn皆有则对一切自然数.有界故nx2.收敛数列的有界性注1有界性是数列收敛的必要条件.注2无界数列必定发散.数列注3有界数列不一定收敛.数列.2nnx.)1(nnx3.收敛数列的保号性定理3).0(0,0),0(0,limnnnnxxNnNaoraax时，都有当正整数那么存在且设.02,22,2||,2,0aaxaaxaaaaxNnNaannn即有时恒有使得当则对不妨设,证).0(0,lim),0(0}{aaaxxxxnnnnn或那么且从某项起就有如果数列推论或数列的子数列子数列(子列):在数列中任意抽取无限多项,并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列,称为原数列的子列.}{nx记作}.{knx即},{,}{},{},{321knnnnxxxx.,121knnnnnkkk其中例如自然数列321},{}{，，即nxn.的子数列就是而}{}2{}{nkxkn4.收敛数列与其子列的关系.,}{aaxn也收敛于那么它的任意子列收敛于如果数列定理4axaxNnnnKkNKaxNnNaxxxkknnnNKknnnnnlim.||.,;||,,0,lim}{}{这就证明了时，有则当取时恒有当使得由定义，的任一子数列.是数列设数列证推论1如果数列有一个子列发散,则数列发散.}{nx}{nx推论2如果数列有两个子数列不同的极限则数列发散.}{nx}{nx例如数列.)1(1nnx发散,)1(,,1,1,1,1,11n因为它有两个子列111,1,1,1,1，，，分别收敛于1和-1两个不同的数值.数列极限：极限思想，精确定义，几何意义.收敛数列的性质:有界性,唯一性,保号性.收敛数列与子数列的关系.三、小结与思考判断题