矩阵特征值问题

第六章矩阵特征值问题目录上页下页返回结束一、方阵特征值与特征向量的概念定义设是阶矩阵，如果数和维非零列向量使关系式AnnxxAx成立，那么这样的数称为方阵的特征值；A非零向量称为方阵的对应于特征值的特征向量.Ax注意：关系式是特征值与特征向量满足的条件式，由此可知必须为方阵.xAxA零向量显然满足关系式，但零向量不是特征向量.xAx特征向量是非零向量.目录上页下页返回结束方阵的与特征值对应的特征向量不唯一.A若和都是属于特征值的特征向量,则1202211kk也是属于特征值的特征向量.即,属于特征值的特征向量的非零线性组合仍是的特征向量.一个特征向量只能属于一个特征值.目录上页下页返回结束二、特征值与特征向量的求法1.结论的引入xAx0Axx0)(xAE若是的特征值，是的对应于的特征向量，则有A0A00)(0AE方程有非零解，且是它的一个非零解0)(0xAE00AE是代数方程的根.0AE0目录上页下页返回结束0AE以为未知数的一元次方程n称为方阵的特征方程.A以为变元的次多项式，即nAEnnnnnnaaaaaaaaaAE212222111211)(f称为方阵的特征多项式.A目录上页下页返回结束2.结论⑴矩阵的特征方程的根就是的特征值.由行列式的定义0AEAA(3)设是方阵的一个特征值，则齐次方程A0)(xAE的全体非零解就是的对应于特征值的全部特征向量；A齐次方程的基础解系就是对应于特征值的全体特征向量的极大无关组.0)(xAEnn(2)在复数范围内阶矩阵有个特征值(重根按重数计算).Aaaafnnnnn)1()()(12211目录上页下页返回结束.________,02必有的一个特征值为则满足设矩阵AAIA练习：目录上页下页返回结束求特征值、特征向量步骤：(1)0EA求出即为特征值;(2)Axx把得到的每一个特征值代入上式，即为所求特征向量。0xAE求齐次线性方程组的非零解x0xAEor0EA或0xEA目录上页下页返回结束例求矩阵的特征值和特征向量.3113A解：的特征多项式A3113AE1)3(2862)4)(2(所以的特征值为A,21.42目录上页下页返回结束当时，对应的特征向量应满足210032113221xx.0,02121xxxx即解得,21xx得基础解系,111p所以对应于的全部特征向量为21).0(1kkp目录上页下页返回结束当时，对应的特征向量应满足420034113421xx.0,02121xxxx即解得,21xx得基础解系,112p所以对应于的全部特征向量为42).0(2kkp目录上页下页返回结束例求矩阵的特征值和特征向量.201034011A解：的特征多项式AAE2010340113411)2()12)(2(22)1)(2(所以的特征值为A,21.132目录上页下页返回结束当时，解齐次方程，210)2(xAEAE2001014013000010001得基础解系,1001p所以对应于的全部特征向量为21).0(1kkpr目录上页下页返回结束0)(xAEAE101024012000210101得基础解系,1212p).0(2kkp当时，解齐次方程，132r所以对应于的全部特征向量为132目录上页下页返回结束例求矩阵的特征值和特征向量.314020112A解：的特征多项式AAE3140201123412)2()2)(2(22)2)(1(所以的特征值为A,11.232目录上页下页返回结束当时，解齐次方程，110)(xAEAE414030111000010101得基础解系,1011p).0(1kkpr所以对应于的全部特征向量为11目录上页下页返回结束0)2(xAEAE2114000114000000114得基础解系,4012p3322pkpk当时，解齐次方程，232r所以对应于的全部特征向量为232,0413p32,kk(不同时为0).目录上页下页返回结束说明：例2和例3属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致.但是，要注意它们的区别，在例2中，对应于2重特征值仅有一个线性无关特征向量；在例3中，对应于2重特征值有两个线性无关特征向量.132232目录上页下页返回结束.的特征值求对角矩阵cbaA可见,对角矩阵和三角矩阵的特征值就是这些矩阵对角线上的元素.练习:目录上页下页返回结束性质1：矩阵和的特征值相同。TAA虽然与有相同的特征值,特征向量却不一定相同.ATA3.特征值和特征向量的性质例如:4211A可计算与有相同的特征值ATA.3,221但易验证是对应于特征值2的特征向量,11A但却不是的.TA目录上页下页返回结束定理1：设阶方阵的个特征值为nijAan12,,,n则12n112211)()ninniiatraaAa＋＋＋称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）112n2)niiA＝A推论:矩阵可逆A的特征值都不为0.目录上页下页返回结束定理1证n,,,21因为是的个特征向量，则有nA)())((21nAE即)())((21n令，即得0.21An另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有1.nn和nnnnnnaaaaaaaaa212222111211目录上页下页返回结束)())((21n)())((2211nnaaa这些项中不含n1n比较两端的的系数，可得1n))(1(2211nnaaa))(1(21n即.221121nnnaaa目录上页下页返回结束例已知矩阵314020112A的特征值为,11.232显然有32)2(33214321A说明根据这两条性质，可以验证所求得的结果是否正确.目录上页下页返回结束练习:?,12),2(34441414721aaA求重有特征值已知三阶矩阵目录上页下页返回结束性质2：若的特征值是，是的对应于的特征向量，则AxA(1)kA的特征值是.(kk是任意常数)(2)mA的特征值是.(mm是正整数)(3)A若可逆，则的特征值是1A1.A的特征值是1.A1,,,mkAAAA且仍然是矩阵x分别对应于的特征向量。11,,,Amk(4)()fx为x的多项式，则的特征值为()fA().f()0()0.fAf若实际上这里多项式幂可推广为所有整数目录上页下页返回结束例设3阶矩阵的特征值为求A,2,1,1.23EAA解方阵的行列式=的全部特征值之积.AAEAA23因为的特征值为，全不为0，2,1,1A所以可逆，且,2AEAAA231EAA2321)(A则有,232)(1故的特征值为)(A目录上页下页返回结束21312)1(112)1(3)1(2)1(1322322)2(13因此EAA23)2()1()1(.9目录上页下页返回结束.1,.12的特征值只能是证明满足设矩阵AIAA练习:求抽象矩阵的特征值.3.023.22可逆证明满足设矩阵AIIAAA.)(2,32,2,1,1.32*12的值试求行列式的特征值为设三阶方阵AAIAAA.12)(,31,21,21.4*1221IBBB求的特征值为设三阶方阵目录上页下页返回结束.,3,2,1,.53322111AAAAA求的特征值有是三阶矩阵._____________,0,3,02.6*必有的一个特征值则满足设四阶矩阵AAIAAAIAT目录上页下页返回结束练习:特征值,特征向量的逆问题.,2135212111.1所对应的特征值及特征向量试确定参数的一个特征向量是矩阵已知babaA.,21112111211.21所对应的特征值的值及试求的一个特征向量的逆矩阵是矩阵已知向量xkAAkxT目录上页下页返回结束.02211mmpxpxpx则,02211mmpxpxpxA,0222111mmmpxpxpx定理3：设是方阵的个特征值，12,,,mAm12,,,mppp依次是与之对应的特征向量。如果各不相等，12,,,m12,,,mppp则线性无关。即，方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。A证明：设常数使得12,,,mxxx目录上页下页返回结束类推之，有.0222111mmkmkkpxpxpx1,,2,1mk把上列各式合写成矩阵形式，得11221112211111,,,mmmmmmmpxpxpx0,,0,0等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，当各不相同时，该行列式不等于零，所以存在逆矩阵。i目录上页下页返回结束等号两边同时右乘它的逆矩阵，有,0,,0,0,,,2211mmpxpxpx即01,2,,.jjxpjm又因为为特征向量，0,jpjp所以01,2,,.jxjm12,,,mppp线性无关。目录上页下页返回结束进一步可以证明定理4:若iisii,,,21为矩阵A对应特征值),,2,1(rii的线性无关的特征向量,则当r,,,21互不相同时,向量组rrsrrss,,,;;,,,;,,,21222211121121是线性无关的.目录上页下页返回结束性质:设0是n阶矩阵A的k重特征值,而A中对应0的线性无关的特征向量有r个,则.kr性质:设0是n阶矩阵A的1重特征值,则A中对应0的线性无关的特征向量有1个.目录上页下页返回结束例设和是矩阵的两个不同的特征向量，对应的特征向量依次为和，A121p2p证根据题设，有,111pAp,222pAp要证明一个向量不是特征向量，通常用反证法.用反证法，假设是的特征向量，21ppA则存在数，使)()(2121ppppA2121ppApAp212211pppp证明不是的特征向量.2