矩阵理论-第六讲

信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-1矩阵理论-第六讲兰州大学信息科学与工程学院2004年信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-2上节内容回顾•范数在优化问题中的应用•几个重要的不等式•有限维赋范空间的范数特性•内积空间的正交性、构造标准正交向量组的方法内积空间赋范空间Hilbert空间完备线性空间n维实空间Rnniiiyx1,n维欧氏空间n维复空间Cnn维复欧氏空间（酉空间）niiiyx1,Banach空间完备xxx,2信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-3标准正交基–Gram-Schmidt正交化定理设X是内积空间，而是X中线性无关的子集，则存在标准正交集，使得–Hilbert空间中完全的标准正交集，称之为标准正交基•标准正交集的完全性标准正交集称为是完全的，如果再不能添加元素于其中，使添加后所得的集合仍是标准正交集。换句话说，假使这样的元素存在，其必为0，即若，使，，则必有•举例}:{Nnxn}:{Nnen},,span{},,span{,2121nnxxxeeeNnXx0x}{ne}{ne}{niee0,iex011e102e2R信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-4标准正交基或–，可由的标准正交基的线性组合表示，其中对应于的系数为–又，若的在同一标准正交基的线性组合表示中，对应于的系数为，则0011e0102enR100nenCnC}{nenCxieiHiiexxe,TiHieenCy}{nejejniiinijinjjininjjjiinjjjniiieeeeeeyx1111111,,,,信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-5标准正交基–，在标准正交基的线性组合表示中，对应于的系数为，则212121212121)()(),(),(,,1211111112niiniiinijinjjininjjjiinjjjniiieeeeeexxxnCx}{neiei信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-6酉矩阵–对，若其n个列向量是一个标准正交基，那么这样的矩阵具有怎样的性质？或，其中具有这样性质的矩阵称为酉矩阵（Whycallit酉？）•酉=U，maybe:Uniform:notchanging，因为给定A为酉矩阵，则即：保持任两向量的内积不变，向量的长度不变，两点之间的距离不变。•复内积空间称为酉空间???–酉矩阵的性质：•若A是酉矩阵，则也是酉矩阵证1：A是酉矩阵nnCAIAAHHAA1THAAyxAyAx,,nC1AIAAHHAA1AAHH)(IAAHH)(1IAAH)(11HAA)()(111信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-7酉矩阵–酉矩阵的性质：•若A是酉矩阵，则也是酉矩阵证2：•若A,B是酉矩阵，则AB也是酉矩阵证明：1AHTTTHAAAAAA)()()()()()(1111111HAA1IAAH11)(111111AAIAAAAAABAbababacABnkkjiknkkjiknkkjikij)()()()(111TTTHHBAABABABAB)()(111HAA1HBB1TAB)(信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-8酉矩阵–酉矩阵的性质：•若A是酉矩阵，则，或证明：1detA1detdetdetdetAAAA2detdetdetdetdetdet)det(detdet)det(det1AAAAAAAAAAAITHH1detA)det()det(AAkkjjkjjkjjkjjkjjkjjkjjkjjkAAaAaAaAaAdet)1()1()1()1(det11111111111111111111信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-9酉矩阵–酉矩阵的性质：•A是酉矩阵A的n个列向量是两两正交的单位向量证明：设矩阵，则易见，A是酉矩阵的充分必要条件是)(21naaaAnHnHnHnnHHHnHHHnHnHHHaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAA2122212121112121)(jijiaaaaiHjji,0,1,信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-10酉相似下的标准形–方阵A有n个线性无关的特征向量（A的所有特征值的几何重数等于其代数重数）–若此条件不满足，退而求其次，方阵A在复数域上总是能相似于Jordan标准形：分块对角矩阵–再退而求其次，不管n阶方阵的特征向量的相关性，也不管其特征值的代数重数和几何重数，方阵A总可以酉相似于一个上三角矩阵),,,diag(~21naaaAsJJJA21~TA~信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-11酉相似下的标准形–Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵设，则A可酉相似于上三角矩阵T，即，且，使得证明:用归纳法证明。当n=1时，显然成立。假设Schur定理对n–1阶矩阵成立设为A的属于的特征向量，因，将其化为单位特征向量，仍是A的属于的特征向量。因中线性无关的向量可扩充为其基，将扩充为的一组基：TAUUAUUH1nnCAnnCUHUU11u101u1u1u11121112111uuuuuAAunC1unCnuuu21信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-12酉相似下的标准形依Gram-Schmidt正交化程序，将其化为的标准正交基以此标准正交基作列向量，则构成n阶酉矩阵注意到及的列向量的正交性，nuuu21)(211nuuuU)(2111nAuAuuAU)(2112111nTnTTHAuAuuuuuAUU111111uuuT1U11110*AAUUHnC信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-13酉相似下的标准形是n–1阶矩阵，根据归纳假设，，且使得构造分块矩阵酉矩阵是酉矩阵1A22~1UU0011110*AAUUHnHUAUUAU***~~~~322122112)1()1(2~nnCUHUU212~~2222~1~1UUUUTH0000nnHTIIUUUU122221~1~1~1~100000000002U信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-14酉相似下的标准形从而是n阶酉矩阵，且由于相似矩阵有相同的特征值，所以T的对角线元素也是A的特征值211221122111121)(UAUUUUAUUUUAUUUAUUHHHH21UUU21212112~1~*~1*~1UAUUAUHH00000000TUAUnH00*0**~~*2121210)()(*)1)(()det(1221nnTI信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-15正规矩阵在酉相似的情形下，即若上式中的A是正规矩阵，则A酉相似于对角矩阵，即•正规矩阵–定义在复数域上的、满足的方阵称之为正规矩阵•酉矩阵•正交矩阵•Hermite矩阵或•反Hermite矩阵或•实对称矩阵•实反对称矩阵•对角矩阵TAUUAUUH1)diag(211nHAUUAUUHHAAAAIAAAAHHIAAAATTAAHAATAAHAATAATAAT)diag(21n信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-16正规矩阵•方阵酉相似于对角阵的充要条件–设，A酉相似于对角矩阵的充分必要条件是A为正规矩阵证明：必要性：设，且，使得令，则nnCAnnCUHUU1)diag(211nHAUUAUUDn)diag(21HUDUUDUA1HHHTTTHTHTHHUDUUDUUDUUDUA)()()()(HUDUHHHHHUDUDIDUDUUDUUDUAA))((HHHAAUDUUDU))((A是正规矩阵信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-17正规矩阵充分性：由Schur定理，，且，使得nnCUHUU1矩阵乘积的共轭转置，等于各矩阵取共轭转置后按反序相乘HHAAAATAUUHAUAUAUUUAUTTHHHHHH))((HHHHTHTTTHTHHUAUUAUUAUAUUT)()()()()(UAUHHA是正规矩阵HHHHHHHHHTTUAAUUUUAIAUUAAUTTnnnnaaaaaa22211211nnnnaaaaaa22211211nnnnaaaaaa21221211HTTTTH信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-18正规矩阵nnnnaaaaaa22211211nnnnaaaaaa22211211nnnnaaaaaa21221211HTTTTHnnaaaaaaaa11121211111111nnaaaaaaaaaa222323222222221212nnaaaaaaaaaaaa3334343333333323231313nnnnnnnnnnnnaaaaaaaa2211)(,0jiaijT是对角阵TAUUH信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-19正规矩阵–推论1Hermite矩阵的特征值均为实数，反Hermite矩阵的特征值为0或纯虚数。证明：设是Hermite矩阵，则A是正规矩阵，且使得若A是反Hermite矩阵，可得nnCAnnCUHUU1DAUUnH)diag(21UAUAUUDHHHHH)(A是Hermite矩阵AAHDAUUDHH),1(niiiHermite矩阵的特征值均为实数),1(niii),1(nijbajbaiiii),1(niaaii反Hermite矩阵的特征值为0或纯实数信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-20正规矩阵–推论2实对称矩阵的特征值均为实数，实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数。–推论3设是正规矩阵，是A的特征值，x是A的属于特征值的特征向量，则是的特征值，x是的属于特征值的特征向量。证明：由于A是正规矩阵，所以，且使得两边同时取共轭转置相似的矩阵有相同的特征值：是的特征值nnCA)diag(21nHHUAUHAHAnnCUHUU1)diag(21nHAUUHA信息科学与工程学院矩阵理论第5讲-21正规矩阵设，则类似地，由可得即：当是A的属于特征值的特征向量时，也是的属于特征值的特征向量，由于是的标准正交基，x在同一标准正交基下的坐标相同，所以，当x是A的属于特征值的特征向量时，也是的属于特征值的特征向量),,1(niuAuiii)diag(21nHHUAUiu)diag(21nHAUU