2019版数学浙江省学业水平考试专题复习模块检测(必修5)

模块检测(必修5)(时间：80分钟满分：100分)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．已知ab，则下列不等式成立的是()A.1a1bB．2－a2－bC．a2b2D．ac≥bc答案B解析A中，当a＝2，b＝－3时，1a1b不成立；B中，由ab，得－a－b，所以2－a2－b，故B正确；C中，当a＝1，b＝－1时，a2b2不成立；D中，当c0时，ac≥bc不成立，故选B.2．在等比数列{an}中，已知a2＝14，a5＝2，则a4等于()A．1B．2C．±1D．±2答案A解析设等比数列{an}的公比为q，则a5＝a2q3，即2＝14q3，解得q＝2，所以a4＝a2q2＝14×22＝1，故选A.3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a＝52，c＝10，A＝30°，则B等于()A．105°B．60°C．15°D．105°或15°答案D解析由正弦定理得asinA＝csinC，∴sinC＝ca·sinA＝1052×12＝22，∵0°＜C＜180°，∴C＝45°或135°，∴B＝105°或15°，故选D.4．在等差数列{an}中，a4＝22，则a2＋a6等于()A．42B．52C．4D．8答案A解析a2＋a6＝2a4＝42.5．若关于x的不等式－12x2＋ax＞－1的解集为{x|－1＜x＜2}，则实数a等于()A.12B．－12C．－2D．2答案A解析由－12x2＋ax＞－1得x2－2ax－2＜0，∴2a＝－1＋2＝1，∴a＝12.6．若变量x，y满足约束条件x＋y≥－1，2x－y≤1，y≤1，则z＝3x－y的最小值为()A．－7B．－1C．1D．2答案A解析画出可行域如图(阴影部分含边界)所示．当直线y＝3x－z过点C(－2,1)时，z取最小值，故zmin＝3×(－2)－1＝－7.故选A.7．在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a3＋a4＋…＋a8等于()A．1B．2C．3D．4答案C解析方法一由题意得a1＋4d＝3，a1＋5d＝－2，解得a1＝23，d＝－5，所以a3＝a1＋2d＝13，所以a3＋a4＋…＋a8＝6a3＋15d＝3，故选C.方法二由等差数列的性质得，a3＋a4＋…＋a8＝3(a5＋a6)＝3×1＝3.8．不等式x2＋2x＜ab＋16ba对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是()A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－4,2)D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)答案C解析对任意a，b∈(0，＋∞)，ab＋16ba≥2ab×16ba＝8(当且仅当ab＝16ba，即a＝4b时等号成立)，所以只需x2＋2x＜8，即(x－2)(x＋4)＜0，解得x∈(－4,2)．故选C.9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．[15,20]B．[12,25]C．[10,30]D．[20,30]答案C解析设矩形高为y，则由三角形相似得，x40＝40－y40，且x＞0，y＞0，x＜40，y＜40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.故选C.10．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝8，则该等比数列的公比为()A．－2B．2C．－2或1D．2或－1答案B解析设等比数列{an}的公比为q，由a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)＝8，两式相除，得q3＝8，所以q＝2.故选B.11．若正数x，y满足2x＋y－3＝0，则2x＋1y的最小值为()A．2B．3C．4D．5答案B解析由2x＋y－3＝0得2x＋y＝3，所以2x＋1y＝13(2x＋y)2x＋1y＝13×5＋2xy＋2yx≥135＋22xy·2yx＝3，当且仅当2xy＝2yx，即x＝y＝1时等号成立，故选B.12．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角(即∠CAD)为()A．45°B．60°C．75°D．30°答案A解析由题图知，在Rt△ABD中，AB＝20m，BD＝60m，所以AD＝2010m，同理易求得AC＝305m.在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝3052＋20102－5022×305×2010＝22，所以∠CAD＝45°，故选A.13．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若asinB－3bcosA＝0，且c＝2b，则cosB等于()A.32B.12C．1D．0答案A解析依题意及正弦定理得，sinAsinB＝3sinBcosA，又sinB≠0，所以sinA＝3cosA，tanA＝3，所以A＝60°.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，又c＝2b，因此a2＝b2＋4b2－2b2＝3b2，则a2＋b2＝4b2＝c2，所以C＝90°，B＝30°，cosB＝32，故选A.14．如果log3m＋log3n≥4，那么m＋n的最小值为()A．4B．43C．9D．18答案D解析∵log3m＋log3n＝log3(mn)≥4，∴mn≥34，又由已知条件可知m0，n0，故m＋n≥2mn≥234＝18，当且仅当m＝n＝9时取到等号．∴m＋n的最小值为18.15．若不等式|2x－1|≤3的解集恰为不等式ax2＋bx＋1≥0的解集，则a＋b等于()A．4B．2C．－2D．0答案D解析|2x－1|≤3⇒－3≤2x－1≤3⇒－1≤x≤2⇒不等式ax2＋bx＋1≥0的解集是－1≤x≤2，根据根与系数的关系知，－1＋2＝－ba，－1×2＝1a⇒a＝－12，b＝12⇒a＋b＝0.16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，边a，b，c成等比数列，则sinAsinC的值为()A.34B.34C.12D.14答案B解析因为在△ABC中，A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以B＝π3，又b2＝ac，由正弦定理得sinAsinC＝sin2B＝34.17．已知不等式|x＋2|＋|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A．a＜2B．a≤2C．a＞2D．a≥2答案D解析设函数f(x)＝|x＋2|＋|x|，方法一零点分段讨论得函数f(x)＝|x＋2|＋|x|的最小值是2，即a≥f(x)min＝2.方法二根据绝对值三角不等式得f(x)＝|x＋2|＋|x|≥|x＋2－x|＝2，即a≥f(x)min＝2.18．设x，y满足约束条件3x－y－6≤0，x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则a29＋b24的最小值为()A.1325B．2C.12D．1答案C解析由题中x，y的约束条件得所表示的平面区域，如图(阴影部分含边界)所示．因为a＞0，b＞0，所以z＝ax＋by在点M(4,6)处取得最大值，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6.所以a3＋b2＝1，则a29＋b24＝a32＋b22≥a3＋b222＝12，当且仅当a3＝b2时取等号，故a29＋b24的最小值为12，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．已知x＞2，f(x)＝x＋1x－2，且当x＝a时，f(x)取得最小值，则a＝________，f(x)的最小值为________．答案34解析当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2x－2×1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，f(x)的最小值为4.20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π4，b＝6，△ABC的面积为3＋32，则B＝________.答案π3解析由题意得△ABC的面积等于12bcsinA＝62c×22＝3＋32，解得c＝3＋1，则由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(6)2＋(1＋3)2－2×6×(1＋3)×22＝4，解得a＝2，则由正弦定理bsinB＝asinA得sinB＝bsinAa＝32，又因为b＜c，所以B＝π3.21．已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式为an＝________.答案2n解析由已知条件，知2(an＋an·q2)＝5anq，所以2q2－5q＋2＝0，所以q＝12或2，又{an}是递增数列，且a25＝a10，所以q＝2.由a25＝a10，得(a1q4)2＝a1·q9，a1＝q，所以a1＝2，an＝a1qn－1＝2n.22．已知正数x，y满足xy＋x＋2y＝6，则xy的最大值为________．答案2解析方法一∵6－xy＝x＋2y≥22xy，∴xy＋22xy－6≤0，∴(xy＋32)(xy－2)≤0，∴xy－2≤0，即0xy≤2，当且仅当x＝2，y＝1时取等号．方法二∵正数x，y满足xy＋x＋2y＝6，∴x＝6－2yy＋10，解得0y3.∴xy＝y6－2yy＋1＝－2y＋1＋4y＋1＋10≤－2×2y＋1·4y＋1＋10＝2，当且仅当y＝1，x＝2时取等号．∴xy的最大值为2.三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．(10分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和．解(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3＝－6，a6＝0，所以a1＋2d＝－6，a1＋5d＝0，解得a1＝－10，d＝2.所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3.所以数列{bn}的前n项和为b11－qn1－q＝4(1－3n)．24．(10分)已知m＝(3sinωx，cosωx)，n＝(cosωx，－cosωx)(ω＞0，x∈R)，f(x)＝m·n－12且f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b＝7，f(B)＝0，sinA＝3sinC，求a，c的值及△ABC的面积．解(1)f(x)＝m·n－12＝3sinωxcosωx－cos2ωx－12＝32sin2ωx－12cos2ωx－1＝sin2ωx－π6－1.∵相邻两对称轴之间的距离为π2，∴T＝2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin2x－π6－1，令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z，则kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3，k∈Z.(2)由(1)知，f(B)＝sin2B－π6－1＝0，∵0＜B＜π，∴－π6＜2B－π6＜11π6，∴2B－π6＝π2，∴B＝π3，由sinA＝3sinC及正弦定理得a＝3c，在△ABC中，由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝9c2＋c2－76c2＝10c2－76c2＝12，∴c＝1，a＝3，∴S△ABC＝12acsinB＝12×3×1×32＝334.25．(11分)已知不等式mx2－2x－m＋1＜0.(1)是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．解(1)不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．当m＝0时，原不等式可化为1－2x＜0，则x＞12，不满足题意；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－