振型的正交性

四、多自由度体系的振动多自由度无阻尼自由振动振型的正交性多自由度的受迫振动杆系结构有限元动力分析多自由度时程分析方法结论与讨论虽然很多工程问题可以化为单自由度问题计算，但为了有足够的分析精度，一些问题也必须作多自由度进行分析。在等效粘滞阻尼理论下，第二章讨论了两和多自由度体系的运动方程，理论上阻尼矩阵[C]=[Cij]，Cij表示j自由度单位速度引起的i自由度方向的阻尼力。但实际上Cij一般是确定不了的。目前多自由度问题分析先求无阻尼自由振动确定频率、振型等动力特性，然后利用振型的正交性，在假定阻尼矩阵也正交条件下，将多自由度分析通过振型分解化为单自由度问题的组合来解决。再一次体现了，化未知问题为已知问题的研究方法和思想。对复杂荷载情况（象地震地面运动等离散荷载）要用时程分析方法或随机振动理论来解决（第六章）。因此，首先介绍无阻尼自由振动。4.1多自由度无阻尼自由振动多自由度运动方程为)(tPuKuCuM无阻尼自由振动运动方程为0uKuM设其解为{A}sint，代入运动方程可得(-2[M]+[K]){A}sint={0}为使系统有非零的振动解答，必须│-2[M]+[K]│=0（1）或者(-2[M]+[K]){A}={0}（2）上述两式分别称为频率和特征方程。由式（1）展开可得双n次方程，对一般建筑工程结构，求解可得到n个实的不等的正根，它们即为系统的频率。但一般更多是从式（2）出发。4.1多自由度无阻尼自由振动式（2）可改写为2[M]{A}=[K]{A}（3）数学上称作广义特征值问题。为了将其化为标准实对称矩阵特征值问题，需作如下改造：设[M]=([M]1/2)T[M]1/2（4）[M]1/2{A}={X}则{A}=([M]1/2)-1{X}（5）代回式（3）得2([M]1/2)T{X}=[K]([M]1/2)-1{X}（6）方程两边再左乘[([M]1/2)T]-1，则2{X}=[([M]1/2)-1]T[K]([M]1/2)-1{X}（7）记[([M]1/2)-1]T[K]([M]1/2)-1=[D]（8）由于[K]是对称矩阵，从式（8）可见[D]是对称矩阵。将式（8）代入式（7）可得2{X}=[D]{X}（9）4.1多自由度无阻尼自由振动式2{X}=[D]{X}（9）就是实对称矩阵标准特征值问题的方程，利用线性代数所介绍的特征值问题解法就可求得[D]矩阵的特征对[2，{X}]，再由式（5）可求得广义特征问题的振型矩阵{A}。由数学可知，对建筑工程一般问题，从n阶的特征方程（3）可求得n个特征对，也即有n个频率i以及和i对应的振型{A}i。按i从小到大排列可得结构的频谱，1和{A}1分别称为第一频率（基本频率或基频）、第一振型。其他依次称第二、第三等等频率、振型。有了任意n自由度问题自由振动解法、结论，两自由度问题可以作为它的特例，按上述解法、思路进行分析。4.1多自由度无阻尼自由振动对两自由度问题来说，根据具体问题运动方程可以用刚度法建立，也可以用柔度法建立。因此，教材上分别基于刚度法和柔度法进行了具体讨论，给出了频率、振型和刚度系数、质量的关系以及和柔度系数、质量的关系。这些公式能记住更好，但我认为不记也没关系，关键是记住如下一些基本概念。1）在无阻尼自由振动下-[M]{ü}=[K]{u}，也即惯性力和弹性恢复力平衡，且它们同相位。因此如果设振幅为{A}，式（3）也可通过列惯性力、恢复力的幅值方程得到。2）当基于柔度法时，位移由惯性力引起，柔度法特征方程同上理由（同相位），也可直接列幅值方程建立{A}=2[f][M]{A}（10）3）拿上具体问题后，关键是正确确定[M]、[K]或[f]，有了它们不管什麽结构，由统一格式可写出式（3）或式（10）。4.1多自由度无阻尼自由振动4）两自由度问题n=2。展开特征方程将得到双二次频率方程，根据具体的刚、柔度系数和质量，解此频率方程即可得频率1和2。5）将频率1和2代回特征方程只能得到和某频率对应的位移比值（齐次方程只能得到比值），对它可以进行“规格化”,一般使最大值等于1，即可得振型。6）自由振动的通解可由各频率的简谐振动解答叠加得到，振幅、相位由质量的初位移、初速度（n个自由度有2n个初始条件）来确定。综上可见，有了[M]、[K]或[f]，剩余工作主要是数学运算了。但要达到熟练掌握，必须到SMCAI里多看一些例子、多做一些练习。限于学时这里不举例了。4.2振型的正交性因为i2[M]{A}i=[K]{A}i、j2[M]{A}j=[K]{A}j前一式左乘{A}jT、后一式左乘{A}iT，再将两式相减，由于质量、刚度的对称性，可得(i2-j2){A}jT[M]{A}i=0(11)由此可得{A}jT[M]{A}i=0(12)上式乘j2，考虑到j2[M]{A}j物理意义是第j振型对应的惯性力幅值，因此式（12）表明第j振型对应的惯性力在第i振型位移上不做功。从式（12）和特征方程立即可证{A}jT[K]{A}i=0(13)它表明第j振型对应的弹性恢复力在第i振型位移上不做功。4.2振型的正交性式(12)和式(13)从数学上说，是不同振型对质量、刚度加权正交。也即振型具有正交性。从第i振型幅值方程，立即可得i2{A}iT[M]{A}i={A}iT[K]{A}i(14)记Mi*={A}iT[M]{A}i(15)称作第i振型广义质量，记Ki*={A}iT[K]{A}i(16)称作第i振型广义刚度。则i2=Ki*/Mi*(17)也即第i频率的平方可象单自由度一样，由广义刚度和质量来求。式(12)和(13)是最基本、最常用的正交关系。4.2振型的正交性因为i2[M]{A}i=[K]{A}i(a)两边同时左乘{A}jT[K][M]-1，则i2{A}jT[K][M]-1[M]{A}i==i2{A}jT[K]{A}i=i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i=0(b)式(a)两边同时左乘{A}jT[K][M]-1[K][M]-1，则可证i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i=i2{A}jT[K]([M]-1[K])2{A}i=0(c)按此思路继续左乘,即可证明{A}jT[K]([M]-1[K])n{A}i=0(18)类似地，请自行证明{A}jT[M]([K]-1[M])n{A}i=0(19)式(18)和式(19)中n是正整数。它们还可合并为一个式子，请大家思考如何合并？这是更一般的正交关系。4.2振型的正交性式(12)和(13)[或式(18)和(19)]正交性在多自由度分析中有极重要的作用，应该深刻理解。利用正交性可作如下工作：1）在正确确定[K]、[M]前提下，可用它校核振型计算的正确性。2）已知振型、[K]、[M]的条件下，可用它求振型对应的频率。3）可用正交性将任意位移分解成振型的组合。例如有位移{y}，可设{y}=ci{A}i，ci为组合系数。等式两边同时左乘{A}jT[M]，根据正交性则有{A}jT[M]{y}=cjMj*(d)由此可求出组合系数cj，代回{y}=ci{A}i即可得按振型分解的结果。4.2振型的正交性4）可将多自由度问题化成单自由度问题来解决。实际上，只要设{u(t)}=yi(t){A}i，代入运动方程可得[M]ÿi(t){A}i+[K]yi(t){A}i={0}(e)方程两边同时左乘{A}jT，根据正交性则有Mj*ÿj(t)+Kj*yi(t)=0(20)从式(20)可得(根据单自由度自由振动结果)yi(t)=aisin(it+ci)(f)代回多自由度所假设的解，即可得{u(t)}=aisin(it+ci){A}i(21)5）式(21)中的待定常数ai、ci可由初始条件确定。如何确定请自行考虑。6）正交性还是受迫振动分析的基础。4.3多自由度的受迫振动4.3.1多自由度受迫振动的振型分解法多自由度任意荷载下运动方程为)(tPuKuCuM象上节4）一样，设{u}=yi(t){A}i，也即位移分解成各振型的组合，组合系数yi(t)称广义坐标。则[M]ÿi(t){A}i+[C]ýi(t){A}i+[K]yi(t){A}i={P(t)}(a)如果阻尼矩阵对振型不正交，也即{A}jT[C]{A}i0(b)则式(a)将是联列的微分方程组，求解将是很困难的。为此，通常引入正交阻尼假设，也称Rayleigh(瑞利)比例阻尼如下[C]=0[M]+1[K](22)也即认为阻尼和系统质量、刚度成正比，0比1可用振型正交性由阻尼比i，j和频率i，j确定(作业)。4.3多自由度的受迫振动在正交阻尼假设下，{A}iT[C]{A}i=Ci*(23)式(a)两边同时左乘{A}iT，则可得Mi*ÿi(t)+Ci*ýi(t)+Ki*yi(t)={A}iT{P(t)}(24)其中Mi*、Ci*、Ki*分别称为第i振型广义质量、广义阻尼、广义刚度。再记第i振型广义荷载为{A}iT[P(t)]=Pi*(t)(25)则式(24)是广义坐标yi(t)的单自由度方程Mi*ÿi(t)+Ci*ýi(t)+Ki*yi(t)=Pi*(t)(26)利用Duhamel积分可求出式(26)的解答为tiiiidtiPthteAtyii0*i)d()(),sin()(代回{u}=yi(t){A}i，即可得多自由度受迫振动解答。脉响函数自由振动4.3多自由度的受迫振动如果[P(t)]=[P]f(t)(27)则Pi*(t)={A}iT[P]f(t)=Pi*f(t)(c)记i={A}iT[P]/Mi*=Pi*/Mi*(28)称为第i振型的振型参与系数。则可得Mi*ÿi(t)+Ci*ýi(t)+Ki*yi(t)=iMi*f(t)(29)或ÿi(t)+2iiýi(t)+i2yi(t)=if(t)(30)在零初始条件下，广义坐标为代回{u}=yi(t){A}i，即可得{u}=ii(t){A}i。i(t)称为第i振型的广义位移。)()d()()(0tfthtyiitiii(31))(,sin,1)()(tethidtidiii(32)4.3多自由度的受迫振动4.3.2简谐荷载下的受迫振动反应设动荷载（转动机器引起）为{P(t)}={P}sint(33)则由式(28)可求得各振型的振型参与系数i，当只讨论稳态振动，并且认为i=i,d(忽略阻尼对频率的影响)时，根据单自由度所得结果，广义位移为i(t)=isin(it-i)/i2(34)式(34)中i为第i振型动力系数i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2(35)其中i为第i振型频率比(i=/i)，i为第i振型相位角tgi=2i/i(1-i2)(36)将式(34)代回{u}=ii(t){A}i，得{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i(37)无阻尼情况自然可以当作有阻尼情况的特例，在上述结果中令i=0得到。4.3多自由度的受迫振动4.3.3简谐荷载受迫振动反应分析步骤当动荷载为{P}sint[或{P}cost]时，多自由度系统稳态反应分析，可按如下步骤进行1）确定系统质量[M]、刚度[K]（或柔度[f]）矩阵。2）求无阻尼自由振动的振型{A}i、频率i。3）用阻尼比1,2和频率1,2求瑞利阻尼的0和1。4）求i振型振型参与系数i={A}iT[P]/{A}iT[M]{A}i。5）求i振型阻尼比i=1/2(0/i+1i)6）求i振型动力系数i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2。7）求i振型相位角i=arctg[2i/i(1-i2)]。8）求i振型广义位移i(t)=isin(it-i)/i2。9）将各振型广义位移代回{u}=