求函数值域教师版

求函数值域方法求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。一、基本知识1．定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。2．函数值域常见的求解思路：⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。⑵．反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数()yfx看作是关于自变量x的方程，在值域中任取一个值0y，0y对应的自变量0x一定为方程()yfx在定义域中的一个解，即方程()yfx在定义域内有解；另一方面，若y取某值0y，方程()yfx在定义域内有解0x，则0y一定为0x对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程()yfx在定义域内有解的y得取值范围。特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。⑷．可以用函数的单调性求值域。⑸．其他。3．函数值域的求法（1）、直接法：从自变量x的范围出发，推出()yfx的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。例1：求函数11,1yxxx≥的值域。2,例2：求函数2610yxx的值域。1,例3：求函数1yx的值域。解：∵0x，∴11x，∴函数1yx的值域为[1,)。（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()Fxafxbfxc的函数的值域问题，均可使用配方法。例1：求函数242yxx（[1,1]x）的值域。解：2242(2)6yxxx，∵[1,1]x，∴2[3,1]x，∴21(2)9x∴23(2)65x，∴35y∴函数242yxx（[1,1]x）的值域为[3,5]。（3）．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。例1求函数y=3-2x-x2的值域。解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。函数y在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2的最大值为4，最小值为0。∴函数的值域是［0,2］例2：求函数2xy，2,2x的值域。1,44例3：求函数2256yxx的值域。73,8（4）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例1：求函数1212xxy的值域。解：由1212xxy解得121xyy，∵20x，∴101yy，∴11y∴函数1212xxy的值域为(1,1)y。（5）、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数)0(cdcxbaxy，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为cayy；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bcaddcxcadbcay，用复合函数法来求值域。例1：求函数125xyx的值域。解：∵177(25)112222525225xxyxxx，∵72025x，∴12y，∴函数125xyx的值域为1{|}2yy。（6）、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且0a）的函数常用此法求解。例1：求函数212yxx的值域。解：令12tx（0t），则212tx，∴22151()24yttt∵当12t，即38x时，max54y，无最小值。∴函数212yxx的值域为5(,]4。（7）、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程(,)0Fxy；通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如21112222axbxcyaxbxc（1a、2a不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例1：求函数2231xxyxx的值域。解：由2231xxyxx变形得2(1)(1)30yxyxy，当1y时，此方程无解；当1y时，∵xR，∴2(1)4(1)(3)0yyy，解得1113y，又1y，∴1113y∴函数2231xxyxx的值域为11{|1}3yy（8）、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例1：求函数12yxx的值域。解：∵当x增大时，12x随x的增大而减少，12x随x的增大而增大，∴函数12yxx在定义域1(,]2上是增函数。∴11112222y，∴函数12yxx的值域为1(,]2。例2．求函数xxy1在区间,0x上的值域。分析与解答：任取,0,21xx，且21xx，则212121211xxxxxxxfxf，因为210xx，所以：0,02121xxxx，当211xx时，0121xx，则21xfxf；当1021xx时，0121xx，则21xfxf；而当1x时，2miny于是：函数xxy1在区间,0x上的值域为),2[。构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例3：求函数xxxf11的值域。分析与解答：因为110101xxx，而x1与x1在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数xxxg11，易知)(xg在定义域内单调增。21maxgg，21mingg，2xg，202xg，又422xgxf，所以：422xf，22xf。（9）、基本不等式法利用基本不等式abba222和)0,(2baabba是求函数值域的常用技巧之一,利用此法求函数的值域,要合理地添项和拆项,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,同时,利用此法时应注意取成立的条件.例1求函数12xxy的值域.解答:211112xxxxy,当且仅当1x时成立.故函数的值域为),2[y.此法可以灵活运用,对于分母为一次多项式的二次分式,当然可以运用判别式法求得其值域,但是若能变通地运用此法,可以省去判别式法中介二次不等式的过程.例2求函数1222xxxy的值域.解答:此题可以利用判别式法求解,这里考虑运用基本不等式法求解此题,此时关键是在分子中分解出)1(x项来,可以一般的运用待定系数法完成这一工作,办法是设:22))(1(2xxcbxx,(2)将上面等式的左边展开,有:)()1(2cbxbx,故而21b,2cb.解得1b,1c.从而原函数1111)1)(1()1(xxxxxy;ⅰ)当1x时,01x,011x,此时2y,等号成立,当且仅当0x.ⅱ)当1x时,0)1(x,011x,此时有211)1(11)1(11)1)(1(xxxxxxxy,等号成立,当且仅当2x.综上,原函数的值域为:),2[]2,(y.不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例3.求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为：例4.求函数的值域。解：当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：（10）、有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。例1：求函数2211xyx的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得2(1)(1)yxy，∵1y，∴211yxy（xR，1y），∴101yy，∴11y，∴函数2211xyx的值域为{|11}yy形如2),(sinxyf0,1sin),(2xyg因为可解出Yr范围,从而求出其值域或最值。例2．求函数1212xxy的值域[解析]：函数的有界性由1212xxy得112yyx11011,02yyyyx或例3：求函数2cos13cos2xyx的值域。1,3,5例4：求函数2sin2sinxyx的值域。1,33（11）、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例1：求函数|3||5|yxx的值域。解：∵22|3||5|822xyxxx(3)(35)(5)xxx，∴|3||5|yxx的图像如图所示，由图像知：函数|3||5|yxx的值域为[8,)以上是我们学习函数之后，关于求函数值域的一些方法，随着以后学习的进一步深入，我们还会学到其它的一些有关求函数值域的方法。根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例2：求函数224548yxxxx的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为222()(2)1(2)2fxxx作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则EK=2x,KF=2x,AK=22(2)2x,KC=2(2)1x。由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。例3．如例4求函数xxy11的值域。分析与解答：令xu1，xv1，则0,0vu，222vu，yvu，原问题转化为：当直线yvu与圆222vu在直角坐标系uov的第一象限有公共点时，求直85-3oyx线的截距的取值范围。由图1知：当yvu经过点)2,0(时，2miny；当直线与圆相切时，2222maxOCODy。所以：值域为22y22OVUABCDE例4.求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。（12）、复合函数法：对函数(),()yfuugx，先求()ugx的值域充当()yfu的定义域，从而求出()yfu的值域的方法。例1、求函数133xxy的值域（复合函数法）设tx13，则111131113113ttyxxx101101ytt01原函数的值域为例2：求函数212log(253)yxx的值域。