求函数的定义域值域解析式复合函数映射

一：映射的定义:设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么称对应f:AB为从集合A到集合B一个.映射A中的元素称为原象B中的元素称为象映射可以看作是函数概念的推广！以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射(1)A={P|P数轴上的点},B=R,对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应(2)A={P|P是平面直角坐标系中的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应(3)A={x|x是育才中学的班级},B={x|x是育才中学的学生},对应关系f：每一个班级对应班里的学生}•练习：课本P24习题1.2第10题已知函数（1）求（2）若f(a)=3,求a的值；（3）求f(x)的定义域与值域.2x2x2x12x1x2xf(x)2)47f(ff二：分段函数和复合函数（1）（2）∵f(a)=3,∴当a≤-1时,a+2=3,∴a=1-1（舍去），当-1a2时，2a=3,∴a=∈(-1,2),当a≥2时，a2=3,∴a=≥2,综上知,当f(a)=3时，a=或a=.（3）f(x)的定义域为(-∞,-1］∪(-1,2)∪［2,+∞)=R.当x≤-1时,f(x)∈(-∞,1］;当-1x2时,f(x)∈(-2,4);当x≥2时，f(x)∈［2,+∞).∴(-∞,1］∪(-2,4)∪［2,+∞)=R,f(x)的值域为R.1)21()47(21412)41()47(41247)47(ffffffff23216236返回三：求函数值•1：已知•2：若•3：函数满足115()5,-2,.231xxfxffffxx求2=+1,=+1,=fxxgxxfgx问=gfx=+,2,3fabfafbfpfq且6,72ff求•4：•5：已知=,1+2+3+......+2005+1+111++......+=22005xfxffffxfff则2+22=,-4=22xxfxfxx则00=8,=fxx又则四：函数的定义域问题1、几类函数的定义域：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（5）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（6）满足实际问题有意义（4）如果求，那么函数的定义域是使f(x)不等于0的实数的集合.0[()]fx例：求下列函数的定义域：22(1)11;2323(3);35.11xyyxxxxyyxxx;(2)(4)分析：解题的关键就是明确使各函数表达式有意义的条件。20(1)2320xxx解：由题意有0,12,2xxx且10,2xx且1|0,2xxx即该函数的定义域是{且}.10(2)10xx110(3)10xx2230(4)50xx{|1}xx故该函数的定义域为1x01xx{|1,0}.xxx故该函数的定义域为：且3553xx或{|3553}xxx故函数的定义域为：或2235xx()[1,4],(2)fxfx例：若函数的定义域为求函数的定义域。[()]()124.yfxfxfx分析：求型的定义域问题。因为的定义域为[1,4],若使对应关系有意义则()[1,4],fx解：的定义域为(2)124fxx使有意义的条件是x即-12(2)[1,2].fx则的定义域为2、求抽象函数的定义域(1)[0,3],()fxfx例：已知的定义域为求的定义域。(1)()1(1)(),()fxfxxuxfxfuufx分析：函数和中的并不是同一个量，若设则变为那么的取值范围就是的定义域。(1)[0,3],fx解：的定义域为[()]()()fxDxDfx注：求此类题目的解题方法是：若的定义域为，则在上的取值范围，即是的定义域。3,112xx0则()[1,2].fx故的定义域为【分析】正确理解函数定义域的概念，理解函数f(x)定义域是x的取值范围.（1）已知函数f(x)的定义域是［0,4］，求函数f(x2)的定义域；（2）已知函数f(2x+1)的定义域是［-1,3］，求函数f(x)的定义域;（3）已知函数f(x2-2)的定义域是［1,+∞)，求函数的定义域.)2(xf返回设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域.（1）（2）y=f(x+a)+f(x-a).);31()31(xfxfy321()3xfxRmmxmx例：若函数的定义域为，求的取值范围。2230,30mxmmxmxx解：要使原函数有意义，必须由于函数的定义域是R，故对一切实数恒成立。①00mm当时，30成立，则满足条件。故由①②可知012.m②20120,012.mmmm当时，有解得练习【分析】利用函数定义域为R,mx2-6mx+m+8≥0在R上恒成立建立不等式或不等式组求m.【评析】二次函数定义域为R，二次不等式在R上恒成立，也可转化为二次函数与二次方程关系求解.函数y=的定义域是R,求实数m的取值范围.8m6mx-mx2【解析】(1)当m=0时，y=,定义域为R.(2)当m≠0时,由已知得∴0m≤1.综上所述,m的取值范围为［0,1］.1m00m08)4m(m-36mΔ0m222返回221;111,,3,1134;11(3);1yxyyyxxxxyxxyx例1：求下列函数的值域：(观察法)(1)=(2)=五、函数的值域问题课本P19例3222346;(2)46;0,3()y=-++2yxxyxxxxx例：求下列函数的值域：(配方法)(1)==32+41+;2+41-;-,-3yxxyxxx例4：求下列函数的值域：(换元法)(1)=(2)=变式22222+2+5=++1+5+6(2)=+2-3xxxxxxyxx例5：求下列函数的值域：(判别式法)(1)y函数的值域问题222(,2)1xaxyaxx例：求使函数的值域为的的取值范围。2222,1xaxxx令22131()0.24xxx222222.xaxxx2(2)40.xaxxR即此不等式对恒成立。2[(2)]4140.a62.a解得2221{|62}.xaxyaxxaa使函数的值域为(-,2)的的取值范围为21=+1+-2+1+-25xxxx例：求下列函数的值域：(图像法)（）y变式：解不等式六：求函数解析式求下列函数的解析式：222(1)()(0)2,(1)()1,().(2)(1)2,(),(1),();111(3)(),().(4)3()2()3,().fxffxfxxfxfxxxfxfxfxxxffxxxxfxfxxfx已知是二次函数，且求已知求已知求已知求2()()(0),,,(2)211(3)(4),()()()fxfxaxbxcaabcxxxxttxxxxfxxxfxfx分析：(1)由已知是二次函数，所以可设求出即可。将适当变形，用的式子表示。视为一整体不妨设为，然后用表示，代入原表达式求解。同时使得有意义，用代建立关于、的两个方程。(1)()1.1,fxfxxaxabx由得恒等式2比较等式两边系数2(1)()(0).(0)2,2.fxaxbxcafc设由即13,.22ab得故所求函数的表达式为：213()2.22fxxx222222224(2)(1)2()211(1)1.0,11.()1(1).(1)(1)12(0).()()11(11).fxxxxxxxxfxxxfxxxxxfxxxxx又或(4)3()2()33()2()33().5fxfxxxxfxfxxfxx用代替得联立求出22222211(3),,1.111111()()11(1)(1)1.()1(1).xtxtxtxxftfxxxxxttttfxxxx设则则2212(1)(0)()()()(2)[()]().(3)().1()()yaxbxcayaxhkyaxxxxfgxfxfxfxfx求函数解析式常见的题型有：解析式题型已知的，如（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意：一般式顶点式和两根式的选择。已知求型问题方法一是用配凑法；方法二是用换元法。如（2）（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如（4）若方程中同时出现、，1xx则一般用代换，构造另一方程。特别需要指出的是，求函数解析式均应严格考虑函数的定义域。七：关于函数图象的平移yx例3、画出函数的图像。0xy11,0,0xxyxxx解：例：画函数y=|x-2|,y=|x+2|的图象。规律：左加右减，上减下加Y=f(x)y+a=f(x+b)