运用点差法巧解圆锥曲线的中点弦问题

运用点差法巧解圆锥曲线的中点弦问题高中数学教师欧阳文丰制作导言圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。用点差法求解此类问题，具有构思精巧，简便易行的优点。),(11yxA),(22yxB若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程．141622yx)1,2(MMA（x2,y2）Mxyo（x1,y1）B一.问题引入例1：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.解法一：韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造二、例题讲解例1：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差22112222416416xyxy二、例题讲解小结：弦中点、弦斜率问题的两种处理方法1.联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解决.2.点差法:设弦的两端点坐标,代入曲线方程相减后分解因式,便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联系起来.22142xy已知双曲线方程：1111212MABMABABlNll（）过（，）的直线交双曲线于、两点，若为弦的中点，求直线的方程；（）是否存在直线，使，为被双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。解：，则，，，设)()(2211yxByxA1242121yx1242222yx相减2121212121yyxxxxyyMMAByxk2121，即21ABk的方程为：直线AB)1(211xy.012yx即)(21xxxyo2222..NM点差法例2二、例题讲解，则，，，的直线交双曲线于假设过)()()2(2211yxDyxCN1242121yx1242222yx相减2121212121yyxxxxyyNNyx211，即1CDk112lyx此时直线的方程为：22490xxxyo2222..NM与双曲线没有交点直线l.)211(在为弦的中点的直线不存，以N12yx即，代入双曲线方程并整理，得16429560二、例题讲解例3、已知椭圆1257522xy,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。),(11yxP),(22yxQPQ),(yxMxxx221yyy221125752121xy125752222xy0))((75))((2521212121xxxxyyyy0)(3)(2121xxxyyyyxxxyy3212132121xxyyk33yx0yx12575022xyyx)235,235(P)235,235(Q解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即，即由，得)235235(0xyx弦中点的轨迹方程为：二、例题讲解222210xyabab1x411,24C例4已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点为，则求椭圆的方程。二、例题讲解1122,,AxyBxy、121211,2xxyy2211221xyab2222221xyab122222121222xxyyab221212221212112bxxyybxxayya21221221AByybkxxa222ab21ac2ac222abc2211,24ab2211124xy解设，则，且，（1），（2）得：，，，（3），，（4），（5）由（3），（4），（5）可得，所求椭圆方程为.二、例题讲解2．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.注：凡关于中点弦和弦中点的问题，可采用点差法求解。三、变式练习【解析】设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在抛物线上，∴y21＝6x1，y22＝6x2.两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．∵y1＋y2＝2，∴k＝y1－y2x1－x2＝6y1＋y2＝3，∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由y2＝6x，y＝3x－11，得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.∴|P1P2|＝1＋1922－4×－22＝22303.三、变式练习2.弦中点问题的两种处理方法课堂小结（1）联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理；（2）设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率和弦的中点坐标（点差法）。1、利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。作业：已知椭圆x2+2y2=2,(1)求被点P（,）平分的弦所在直线方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹。(3)过A(2,1)引椭圆的割线，求截得弦的中点轨迹。1212抛物线y=x2-2x+2与直线y=mx交于P1、P2两点(1)求线段P1P2中点Q的轨迹方程；(2)0≤x≤2求线段P1P2中点Q的最高点和最低点坐标。