基本积分方法

§2基本积分方法一、换元积分法第二类换元积分法第一类换元积分法换元积分法◆1．第一类换元积分法：设f(u)，)(x为连续函数，)(x可导，且CuFduuf)()(，则CxFCuFduufdxxxf)]([)()()(')]([常见的凑微分形式：①)()(1)(baxdbaxfadxbaxf②)()(1)(baxdbaxfnadxbaxfnnn③)()()(xxxxedefdxeef④)(ln)(ln1)(lnxdxfdxxxf⑤)(sin)(sincos)(sinxdxfxdxxf⑥)(cos)(cossin)(cosxdxfxdxxf⑦)(tan)(tansec)(tan2xdxfxdxxf⑧)(arcsin)(arcsin1)(arcsin2xdxfdxxxf例2.1计算dxxxx)1(arctan22解:令txarctan，tdtdx2sec，则2cot)1(cscsectansec)1(arctan2222222tttddtttdtttttdxxxx=2cotcot2tdtttt=Ctttt2|sin|lncot2=Cxxxxx22)(arctan211||lnarctan。例2.2计算下列积分：（1）)1ln(xxee；（2）dxxxcos1cos1解：（1）)1()1ln()1ln(xxxxedeee)(xuCeeedxeeeeexxxxxxxx)1ln()1(1)1()1()1ln(（2）dxxxxdxxxxdxxx222sincos2sin2)cos1)(cos1()cos1(cos1cos1Cxxxxxddxxdxsin2cot2sinsin2csc222◆2．第二类换元积分法：)(t单调、可导且0)(t，又)()]([ttf有原函数)(tG。则CxGCtGdtttfdxxf)]([)()(')]([)(1第二类换元法中常用的变量代换：①三角代换：变根式积分三角有理式积分注意：辅助三角形可为变量还原提供方便。②倒数代换tx1：可消去分母中的变量x。③指数代换：适用被积函数由ax或ex构成的代数式。例2.3计算积分解：令dttdxtxtex6,ln66例2.4计算积分21xxdx。6321xxxeeedxdtttttdttttt)113136(611223原式Cttttarctan3)1ln(23|1|ln3ln62Ceeexxxx636arctan3)1ln(23|1|ln3解：dtttttxxxdxcossincossin12=dtttttttcossinsincoscossin21Cttt|cossin|ln2121Cxxx|1|ln21arcsin212例2.5计算积分dxxxx1122解：令tx1，则22222222212)1(1111)1(1111111ttddttdtttdtttttdxxxx=CxxxCtt1arcsin11arcsin22二、分部积分法分部积分公式：vduuvudv◆分部积分法条件：u，v具有连续导数。选取u，v的原则：容易求出比要易于求出udvvduv◆可用分部积分法求积分的类型：dxaxaxedxxxxxdxeaxaxxaxaxcossin,arccosarctanln)(P,cossin)(Pnn例2.6计算积分xdxxln。解：原式=Cxxxxdxxxxxd4ln221ln22ln2222例2.7计算积分dxeexx2arctandvu(x)dvu(x)u，v可任选解：)1(arctan21)(arctan21arctan22222xxxxxxxxxeedeeeededxeeCeeeexxxx)arctanarctan(212。例2.7设xxxf)1ln()(ln，计算dxxf)(。解：，设xtln，则tex，tteetf)1ln()(。dxxf)(=dxeeeededxeexxxxxxx11)1ln()()1ln()1ln(Ceexdxeeeexxxxxx)1ln()1()11()1ln(。三、几种特殊类型的积分：1．有理函数的积分部分分式之和的积分对于任意有理函数，存在一个固定的代数算法，可以把它分解为四种基本形式的有理分式的和，而这四种基本形式的有理分式存在相应的积分公式。列出如下：(1)CaxAdxaxA||ln(2)CaxAaxaxdAdxaxAkkk1)()()()((3)CpqpxpqpPqqpxxPdxqpxxQPx222242arctan42)ln(2(4)dtatPpQdtatPtPdtatPpQPtdxqpxxQPxkkkk)(1)2()(2)()2()(2222222其中2pxt；dt=dx；42pqa。可以很容易地求出（4）中的第一个积分为12222))(1(1)((2kkatkdtattt。而对于第二个积分式，我们可以得到递推公式nnnIannattnaI222211212)(21，其中：CataatdtIarctan1221。【注意】从理论上讲，任意有理函数的积分都可以被积出来，但要分析被积函数的特点，灵活选择解法，常用的方法中有凑微分法和变量替换法。例2.8计算积分dxxxx13652。解：dxxdxxxxdxxxxdxxxx222222)3(18136622113616)62(211365=Cxxx23arctan4)136ln(212例2.9计算下列积分（1）dxxx1003)1(12；（2）210)1(xxdx解：（1）令ux11，则dxudx21，于是原式=duuuuuduuuuudxxx)2663()1](1)1(2[)1(122395231001003=Cuuuu96979899481976493331=Cxxxx96979899)1(481)1(976)1(493)1(331（2）令ux10，则dxxdu910，于是原式=duuuuduuuuuuudu])1(1)1(1[101)1(1101)1(101222=Cuuuduuuu)11|1|ln||(ln101])1(1111[10122．三角函数有理式的积分有理函数的积分由xsin，xcos及常数，经过有限次四则运算所得到的函数称为三角函数有理式，记作：)cos,(sinxxR，积分dxxxR)cos,(sin称为三角函数有理式积分。【解题方法】①尽量使分母简单，为此可以分子、分母同乘以某个因子，把分母化成sinkx或coskx的单项式，或将分母整个看作一项。②尽量使R(cosx，sinx)的幂降低，常用倍角公式或积化和差公式。常用积化和差公式：])sin()[sin(21cossinxxxx])cos()[cos(21sinsinxxxx])cos()[cos(21coscosxxxx倍角公式：xxx2sin21cossin，)2cos1(21sin2xx，)2cos1(21cos2xx③在积分的过程中注意“xx22cossin1”的妙用。例2.10计算下列积分（1）xxdx53cossin；（2）dxxxxcos1sin；（3）xdxx42cossin。解：xxxxxxxxxx335532253cossin1cossin1cossincossincossin1xxxxxxxxxxxxxxxxcossin1cossin1cossincossin1cossincossincossincossin33533322522xxxxxxxxcossincossincossincossin232253xxxxxxxxxxcossin1sincoscossincossin)cos(sin235322xxxxxxxxxxcossin1sincoscossincossin2cossin2353xxxxxxxx353sincoscossincossin3cossin2故原积分=dxxxxxxxxx)sincoscossincossin3cossin2(353Cxxxxx|2cot2csc|ln3sin21cos1cos41224（2）dxxxdxxxdxxxxcos1sincos1cos1sin=)cos1ln(2tan)cos1ln(2cos22xxxdxdxxx=)cos1ln(2tan2tanxdxxxx=Cxxxx)cos1ln(|2cos|ln22tan（3）24cos1)2cos1(8122cos12sin41cossin242xxxxxx=)4cos2cos4cos2cos1(161xxxx=)6cos212cos214cos2cos1(161xxxx故原积分=dxxxxx)6cos212cos214cos2cos1(161=Cxxxx6sin19214sin6412sin6411613．无理函数的积分有理函数的积分无理函数的积分，一般是通过选择变量替换，化为有理函数的积分来进行。【解题方法】①利用第二类换元法中的三角代换；②若被积函数含有nbax，ndcxbax，可令tbaxn，tdcxbaxn；若被积函数含有nx，mx，可令txp，其中m，n为正整数，p为m，n的最小公倍数。【注意】无理函数分子或分母可有理化时，应先有理化。例2.11计算积分dxxxx221解：令dtttdxttxtxx2222)1(8,1)1(222原积分=Cttttdttdtdttttarctan211ln112)1)(1(422222=Cxxxxxx22arctan2)2()2(12()2(1ln。四、分段函数的积分连续函数必有原函数，且原函数连续。因此有◆如果函数在分界点连续，则在包含该点的区间内原函数存在。◆如果分界点是函数的间断点，那么在包含该点的区间内，不存在原函数。【解题方法】方法一◆先分别求出函数的各分段在相应区间内的原函数；◆由原函数的连续性确定出各积分常数之间的关系。方法二◆利用变上限积分函数，先求出)(xf的一个原函数xadttf)(，则有dxxf)(=xadttf)(+C（注意：方法二省去了确定常数的麻烦）例2.12设0,sin0,)(2xxxxxf，求dxxf)(。解法一：由于f(x)在在x=0连续，故f(x)的原函数存在，因此先分别求出f(x)在(–∞，0)，(0，+∞)内的原函数。0,cos0,31)(213xCxxCxxF由原函数F(x)的连续性，考虑F(x)在x=0处的左、右极限，得122111CCCCCCxCxxCxdxxf1