变化率与导数

3.1.1变化率问题气球膨胀率问题1,):(:,334rrVdmrLV之间的函数关系是位单与半径单位气球的体积我们知道.,343VVrVr那么的函数表示为体积如果把半径在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?,.,cmrrLV6200110气球半径增加了时增加到从当空气容积100.62/.10rrdmL气球的平均膨胀率为,.,,dmrrLL1601221增加了气球半径时增加到当空气容量从类似地210.16/.21rrdmL气球的平均膨胀率为.,,胀率逐渐变小了它的平均膨随着气球体积逐渐变大可以看出?,均膨胀率是多少气球的平时增加到当空气的容量从思考21VV2121rVrVrVVV利用函数图象计算：r(0)=_________r(1)≈_______r(2)≈________r(2.5)≈_______r(4)≈_________所以：r(1)-r(0)1-0≈_____(dm/L)r(2)-r(1)2-1≈_____(dm/L)r(2.5)-r(2)2.5-2≈_____(dm/L)r(4)-r(2.5)4-2.5≈_____(dm/L)所以，随着气球体积逐渐变大，它的____________逐渐变小了。00.620.780.8510.620.160.140.10平均膨胀率函数334Vπr(V)=(0≤V≤5)的图象为:问题2高台跳水在跳水运动中，运动员相对于水面高度h（单位:m）与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10（如图）h(0.5)-h(0)0.5-0t:00.5时,v=t:12时,v==4.05(m/s)h(2)–h(1)2–1=-8.2(m/s)一般地,t1t2时,v=h(t2)–h(t1)t2–t1答:(1)不是。先上升，后下降。(2)平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态它并不能反映某一刻的运动状态。计算运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度：v=______，思考下面的问题：(1)运动员在这段时间里是静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？65490m/s2121)()(xxxfxf在例2中：对于函数h=-4.9t2+6.5t+10计算运动员在0s到0.5s内的平均速度)/(05.405.0)0(h)5.0(hsmv在例1中：对于函数当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率)/()()(1212ldmvvvrvr一般地，函数f（x）在区间［x1，x2］上的平均变化率343vr2121)()(xxxfxf1212xxxxxx，即表示习惯上用)()()()(1212xfxfyxfxfy，即表示用所以，平均变化率可以表示为：xxfxxf)()(111212）（）－＋（＝xxxfxfxy平均变化率:式子2121()()fxfxxx令△x=x2–x1,△y=f(x2)–f(x1),则2121()()yfxfxxxx称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.平均变化率的定义：.,相乘与而不是是一个整体符号xx11221,;,.xxxxxyfxfx可把看作是相对于的一个增量可用代替类似地,.yx于是平均变化率可表示为1、式子中△x、△y的值可正、可负，但的△x值不能为0，△y的值可以为0yx2、若函数f(x)为常函数时，△y=0理解211121()()()()fxfxfxxfxxxx3、变式:2121()()yfxfxxxx观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?121()()fxfxxx2xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直线AB的斜率y=f(x)思考?,1.1.11212表示什么变化率平均图的图象观察函数思考xxxfxfxyxfOxy1xf2xfxfy12xfxf12xx1x2x111.图直线AB的斜率AB思考函数y=f(x)，从x1到x2的平均变化率=的几何意义是什么？ΔyΔxf(x2)–f(x1)x2–x1答：连接函数图象上对应两点的割线的斜率例(1)计算函数f(x)=2x+1在区间[–3,–1]上的平均变化率；(2)求函数f(x)=x2+1的平均变化率。(1)解：△y=f(-1)-f(-3)=4△x=-1-(-3)=2422yx(2)解：△y=f(x+△x)-f(x)=2△x·x+(△x)222()2yxxxxxxx题型一：求函数的平均变化率练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-ΔxD3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.2.t2质点运动规律s=t+3,则在时间(3,3+t)中相应的平均速度为()9A.6+tB.6+t+C.3+tD.9+tA△x+2x01、已知自由落体的运动方程为s=gt2，求:(1)落体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度；(2)落体在t0=2秒到t1=2.1秒这段时间内的平均速度(g=10m/s2)。122、过曲线f(x)=x2上两点P(1,1)和Q(2,4)做曲线的割线，求割线PQ的斜率k。小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率：1212)()(yxxxfxfx1212)()(yxxxfxfx（1）[1,3];（2）[1,2];（3）[1,1.1];（4）[1,1.001];（5）[1,1.0001];一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t)在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位为s)432.12.0011.9991.991.92（6）[0.999,1];（7）[0.99,1];（8）[0.9,1].2.0001练一练如何刻画t=1这一时刻质点运动的快慢程度呢？思考：一、复习1.平均变化率:平均变化率的几何意义:割线的斜率)0()()()()(111212xxxfxxfxxxfxfxyOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y理解：1，式子中△x、△y的值可正、可负，但的△x值不能为0，△y的值可以为02，若函数f(x)为常函数时，△y=03,变式xxfxxfxxxfxf)()()()(111212求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率yx121)()fxxx2f(x问题3高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?hto请计算00.52:ttv和1时的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10(0.5)(0)00.54.05(/)0.50(2)(1)28.2(/)21hhtvmshhtvms在这段时间里，在1这段时间里，计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:65049t探究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?65()(0)1049hh0hvt在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.如何求瞬时速度呢?比如，t=2时的瞬时速度是多少？△t是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0。我们先考察t=2附近的情况：在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+△t，当△t0时，2+△t在2之前；当△t0时，2+△t在2之后。计算区间[2+△t，2]和区间[2，2+△t]内的平均速度，可以得到如下表格：v△t0时,在[2+△t,2]这段时间内△t0时,在[2,2+△t]这段时间内1.139.4tv1.139.4tv051.13v当△t=–0.01时,149.13v当△t=0.01时,0951.13v当△t=–0.001时,1049.13v当△t=0.001时,09951.13v当△t=–0.0001时,10049.13v当△t=0.0001时,099951.13v△t=–0.00001,100049.13v△t=0.00001,0999951.13v△t=–0.000001,1000049.13v△t=0.000001,…………如何求（比如，t=2时的）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势：当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.1.13)2()2(lim0ththt从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1.v表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.v从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度tthv9.41.13探究:1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?5.68.9)5.68.99.4(lim)5.68.9()(9.4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是0000(Δ)()limlimxxfxxfxyxx称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作.)()Δ(lim)(0000xxfxxfxfx)(0xf或,即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf的具体取值无关。与xxf)(.20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.3定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是0000(Δ)()limlimxxfxxfxyxx称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作.)()Δ(lim)(0000xxfxxfxfx)(0xf或,即0|xxy由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:1.求函数的改变量2.求平均变化率3.求值00()();yfxxfx.lim)(00xfxfx00()();fxxfxyxx口诀：一差、二化、三极限例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数;(2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,)(21)1()1(222xxxy解：,2)(22xxxxxy.2|,2)2(limlim100xxxyxxy,)2(2)212(21)2()2(xxxxxy,)2(211)2(2xxxxxxy.43|,43411])2(211[limlim200xxxyxxy.,21|',:2000的值求且处附近有定义在已知函数例xyxxxyxx,:00xxxy解.1)())((0000000000xxxxxxxxxxxxxxxxxxy,211li