指数与指数幂的运算

2．1.1指数与指数幂的运算课标解读1.理解n次方根及根式的概念．(重点)2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重点、难点)3．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点)4．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点)根式【问题导思】我们知道，若x2＝9，则x＝±3，若x3＝8，则x＝2，试探究，若xn＝a(n1，n∈N*)，则x应该怎么表示？【提示】(1)当n为奇数时，x＝na.(2)当n为偶数时，若a0，则x＝±na；若a＝0，则x＝0；若a0，则这样的x不存在．1．根式及相关概念(1)a的n次方根的定义：如果，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示：x＝na，n为奇数±na，a≥0n为偶数.xn＝a(3)根式根指数被开方数2．根式的性质(n＞1，且n∈N*)(1)n为奇数时，nan＝.(2)n为偶数时，nan＝|a|＝a≥0a＜0.(3)n0＝.(4)负数没有方根．aa－a0偶次根式性质的应用求下列各式的值：(1)3－43；(2)－92；(3)43－π4；(4)a－b2.【自主解答】(1)3－43＝－4.(2)－92＝|－9|＝9.(3)43－π4＝|3－π|＝π－3.(4)a－b2＝|a－b|＝a－ba≥bb－aab.1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．(na)n与nan的意义不同.nan对任意a∈R都有意义；当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝aa≥0－aa0.化简(a－1)2＋1－a2＋31－a3＝________.【解析】由题意，首先有a－1≥0，即a≥1.(a－1)2＝a－1,1－a2＝|1－a|＝a－1，31－a3＝1－a.∴(a－1)2＋1－a2＋31－a3＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.【答案】a－1知识2．正数的分数指数幂的意义正数的正分数指数幂规定：amn＝nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)正数的负分数指数幂规定：a－mn＝1amn(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)正数的分数指数幂规定0的正分数指数幂等于0的负分数指数幂0,没有意义当a＞0时，;2510510aaa①②③④4312312aaa21aa;3232aa⑤⑥32132132aaa2.有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．求值：3282125521438116根式与分数指数幂的互化用分数指数幂表示下列各式(a0，b0)：(1)3a·4a；(2)aaa；(3)3a2·a3；(4)(3a)2·ab3.【思路探究】熟练应用nam＝amn求解，对于所求根式中含有多重根号的，要由里向外，用分数指数幂写出，再用性质化解．【自主解答】(1)原式＝a13·a14＝a13＋14＝a712.(2)原式＝a12·a14·a18＝a12＋14＋18＝a78.(3)原式＝a23·a32＝a23＋32＝a136.(4)原式＝(a13)2·(ab3)12＝a23·a12b32＝a23＋12b32＝a76b32.1．分数指数幂与根式可以相互转化，其化简的依据是公式：amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)．2．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．3．化简过程中要明确字母的范围，以免出错．下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式(式中字母都是正数)：(1)3x6；(2)1x3；(3)x－35；(4)x12y－23.【解】(1)3x6＝x63＝x2.(2)1x3＝1x32＝x－32.(3)x－35＝1x35＝15x3.(4)x12y－23＝x×1y23＝x3y2.分数指数幂的运算化简求值：(1)2790.5＋0.1－2＋21027－23－3π0＋3748；(2)－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；(4)23a÷46a·b×3b3.【思路探究】直接运用分数指数幂的运算性质求解．在计算过程中，要先把小数化为分数，再把负指数化为正指数，进行合理的运算，得出最简结果．【自主解答】(1)原式＝25912＋10.12＋6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝(－1)－23×338－23＋1500－12－105－2＋1＝278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－13ac－1＝－a3c.(4)原式＝2a13÷(4a16b16)×(3b32)＝12a13－16b－16·3b32＝32a16b43.1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．化简下列各式(其中字母均表示正数)：(1)(0.064)－13－－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12；(2)(2a23b12)(－6a12b13)÷(－3a16b56)．【解】(1)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]12＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a23＋12－16b12＋13－56＝4ab0＝4a.整体代换思想在条件求值中的应用(12分)已知a12＋a－12＝3，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a32－a－32a12－a－12.【思路点拨】(1)(2)利用整体代入思想，寻找“a12＋a－12”与a＋a－1及a2＋a－2之间的关系．(2)利用立方差公式求解即可．【规范解答】(1)∵a12＋a－12＝3，∴a＋a－1＝(a12＋a－12)2－2＝7.4分(2)由a＋a－1＝7得a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝47.8分(3)a32－a－32a12－a－12＝a12－a－12a＋a－1＋1a12－a－12＝a＋a－1＋1＝8.12分本题是已知代数式的值求其他代数式的值，通常又称为“知值求值”，解决此类问题的步骤是(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点；(2)化简：化简已知条件与所求代数式；(3)求值：把条件代入求值．1．注意nan同(na)n的区别．前者求解时，要分n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者(na)n＝a是恒等式，只要(na)n有意义，其值恒等于a.2．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．3．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．1．将532写成根式，正确的是()A.352B.35C.532D.53【解析】由amn＝nam可知，532＝53.【答案】D2．下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．其中正确的是()A．①③④B．②③④C．②③D．③④【解析】①错，∵(±2)4＝16，∴16的4次方根是±2；②错，416＝2，而±416＝±2.【答案】D3．(5－5)5＝________；5－55＝________；4－54＝________.【解析】(5－5)5＝－5；5－55＝－5；4－54＝5.【答案】－5－554．化简下列各式：(1)(3a2·a)÷6a；(2)278－23－4990.5＋0.008－23×225.【解】(1)原式＝a23·a12÷a16＝a23·a12·a－16＝a23＋12－16＝a.(2)原式＝82723－49912＋1000823×225＝49－73＋25×225＝－179＋2＝19.资料卡片——指数的历史n个相同的因数a相乘，即a·a·a·an个a，记作an，叫做a的n次幂，这时n叫做指数，本来幂的指数总是正整数，后来随着数的扩充，指数概念也不断发展．正整数指数幂，特别是与面积、体积的计算紧密联系的平方和立方概念，在一些文明古国很早已有了．我国汉代曾有人提出过负整数指数的概念，可惜的是未曾流传开来.15世纪末，法国数学家休凯引入了零指数的概念.17世纪英国瓦利士在他的《无穷小算术》中提出了负指数，他写道：“平方指数倒数的数列11，14，19，…的指数是－2，立方指数倒数的数列11，18，127，…的指数是－3，两者逐项相乘，就得到‘五次幂倒数’的数列11，132，1243，…的指数显然是(－2)＋(－3)＝－5.同样，‘平方根倒数’的数列11，12，13，…的指数是－12，…”．这是一个巨大的进步，不过瓦利士没有真正使用2－2,2－3,212的指数符号，只是说14，18，12，…的指数是－2，－3和－12.分数指数幂最早在奥力森的《比例算法》中出现，他使用的符号不简洁．现行的分数指数和负指数符号是牛顿创设的．他在1676年6月13日写信给莱布尼茨，里面说到，“因为代数学家将aa，aaa，aaaa等写成a2，a3，a4等，所以我将√a与√a3等写成a12、a13；又将1a，1aa，1aaa写成a－1，a－2，a－3，…”．他信中的“√a与√a3”就是现在的a与3a.牛顿还首先使用任意实数指数．化简：a43－8a13b4b23＋2a13b13＋a23÷1－23ba×3a.【思路点拨】本题化简的关键是a－8b＝(a13)3－(2b13)3＝(a13－2b13)×(a23＋2a13b13＋4b23)．【规范解答】原式＝a13a－8b4b23＋2a13b13＋a23÷a13－2b13a13×a13＝a13a13－2b13a23＋2a13b13＋4b234b23＋2a13b13＋a23×a13a13－2b13×a13＝a13·a13·a13＝a.在指数式运算中，根式的化简，一般先化为分数指数幂，再利用幂的运算法则进行运算与化简，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．已知a、b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且ab0，求a－ba＋b的值．【解】∵a、b是方程x2－6x＋4＝0的两根，∴a＋b＝6ab＝4，a－ba＋b2＝a＋b－2aba＋b＋2ab＝6－246＋24＝15.∵ab0，∴ab，∴a－ba＋b＝15＝55.