定态微扰论

第四章定态微扰论§1引言§2非简并定态微扰理论赣南师范学院物理系（一）近似方法的重要性前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：（1）一维无限深势阱问题；（2）线性谐振子问题；（3）氢原子问题。这些问题都给出了问题的精确解析解。§1引言然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger方程能有精确解的情况很少。通常体系的Hamilton量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。（二）近似方法的出发点近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。常用的近似方法有微扰论、变分法等等§2非简并定态微扰理论（一）微扰体系方程（二）态矢和能量的一级修正（三）能量的二阶修正（四）微扰理论适用条件（五）讨论（六）实例（一）微扰体系方程可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系Hamilton量不显含时间，而且可分为两部分：HHHˆˆˆ)0(H(0)所描写的体系是可以精确求解的，其本征值En(0)，本征态ψn(0)满足如下本征方程：(0)(0)(0)(0)ˆnnnHE微扰论利用已知的可精确求解的体系求待求解的体系。另一部分H’是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可以看作加于H(0)上的微小扰动，即微扰。现在的问题是如何求解微扰后Hamilton量H的本征值和本征函数，即如何求解整个体系的Schrodinger方程：ˆnnnHEHHHˆˆˆ)0(当H’=0时，ψn=ψn(0),En=En(0)；当H’≠0时，引入微扰，使体系能级发生移动，由En(0)→En，状态由ψn(0)→ψn。为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：)1(ˆˆHH其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量。因为En、ψn都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数：微扰使能级发生移动，波函数发生变化。我们的目的是，由原来的求出微扰后的的各阶近似表达式，和由近似求出的各阶近似表达式。(0)n(0)nnn(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)nnnnnnnnEEEE其中En(0),λEn(1),λ2En(1),...分别是能量的0级近似，能量的一级修正和二级修正等；而ψn(0),λψn(1),λ2ψn(2),...分别是状态的0级近似，一级修正和二级修正等。(0)(1)(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)ˆˆ()()()()nnnnnnnnnHHEEE代入Schrodinger方程得：乘开得：(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)(0)2(0)(2)(1)(1)2(0)(2)(1)(1)(2)(0)33ˆˆˆ[][]ˆˆ[][][][]nnnnnnnnnnnnnnnnnHEHHEEHHEEE根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式:0(0)(0)(0)(0)1(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)(0)2(0)(2)(1)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)ˆ:ˆˆ:ˆˆ:nnnnnnnnnnnnnnnnnHEHHEEHHEEE整理后得：(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(2)(1)(1)(1)(2)(0)ˆ[]0ˆˆ[][]ˆˆ[][]nnnnnnnnnnnnHEHEHEHEHEE上面的第一式就是H(0)的本征方程，第二、三式分别是ψn(1)和ψn(2)所满足的方程，由此可解得能量和波函数的第一、二级修正。现在我们借助于未微扰体系的波函数ψn(0)和本征能量En(0)来导出扰动后的波函数ψn和能量En的表达式。(1)能量一级修正λEn(1)根据力学量本征函数的完备性假定，H(0)的本征函数ψn(0)是完备的，任何波函数都可按其展开，ψn(1)也不例外。因此我们可以将波函数的一级修正展开为：(1)(1)(0)1nkkka（二）波函数和能量的一级修正(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(2)(1)(1)(1)(2)(0)ˆ[]0ˆˆ[][]ˆˆ[][]nnnnnnnnnnnnHEHEHEHEHEE代回上面的第二式并计及第一式得：(0)(0)(1)(0)(1)(1)(0)1(1)(0)(0)(0)(1)(1)(0)1ˆˆ[][]ˆ[][]nkknnkkknknnkHEaHEaEEHE左乘ψm(0)*再积分考虑到本征波函数的正交归一性：(1)(0)(0)1(1)(1)[]ˆkknmkkmnnmnaEEHE(1)(0)(0)(1)(1)ˆ[]mmnmnnmnaEEHE(1)(0)(0)(0)*(0)1(0)*(1)(0)(1)(0)*(0)[]ˆkknmkkmnnmnaEEdHdEd(1)(0)*(1)(0)ˆmnmnHHd其中考虑两种情况1.m=n(1)(1)(0)(1)(0)ˆnnnnnEHHd2.m≠n(1)(1)(0)(0)mnmnmHamnEE(1)(0)(0)(1)(1)[]mmnmnnmnaEEHE(1)(0)*(1)(0)ˆmnmnHHd其中称为微扰矩阵元准确到一阶微扰的体系能量：)1()0(nnnEEE(0)(0)(1)(0)ˆnnnEHd(0)(0)(1)(0)ˆnnnEHd(0)(0)(0)ˆ'nnnEHd(0)nnnEH(0)(0)ˆ'nnnnHHd其中能量的一级修正等于微扰Hamilton量在0级态中的平均值（2）波函数的一级修正ψn(1)(1)(1)(0)1nkkka(0)(0)(0)(0)(0)(0)ˆ'knnkknnkHdEE(0)(1)(0)1nnkkka(0)(1)(0)(0)(0)(0)(0)ˆknnkknnkHdEE(0)(1)(0)(0)(0)(0)(0)ˆknnkknnkHdEE可以证明an(1)=0（证明略）(0)(0)(0)(0)(0)nnnnknnnkknnkEEHHEE因此准确到一级修正，体系的能量和波函数为：与求波函数的一阶修正一样，将ψn(2)按ψn(0)展开：(2)(2)(0)1nkkka（三）能量的二阶修正(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(2)(1)(1)(1)(2)(0)ˆ[]0ˆˆ[][]ˆˆ[][]nnnnnnnnnnnnHEHEHEHEHEE与ψn(1)展开式一起代入关于2的第三式(0)(0)(2)(0)(1)(1)(1)(0)(2)(0)11ˆˆ[][]nkknkknnkkHEaHEaE(0)(0)(2)(0)(1)(1)(1)(0)(2)(0)11ˆ[][]knkknkknnkkEEaHEaE左乘ψm(0)*并积分(0)(0)(2)(0)(0)(1)(0)(1)(0)11(1)(1)(0)(0)(2)(0)(0)1ˆ[]knkmkkmkkknkmknmkkEEadaHdEadEd正交归一性(0)(0)(2)1(1)(0)(1)(0)(1)(1)(2)11[]ˆknkmkkkmknkmknmnkkEEaaHdEaE(1)(1)(1)(1)(2)10knknnnkaHEaE(0)(0)(2)(1)(1)(1)(1)(2)1[]mnmkmknmnmnkEEaaHEaE1.当m=n时(2)(1)(1)(1)(1)1nknknnnkEaHHa(1)(1)knkknaH)1()0()0()1(nkknknnkHEEH)0()0(*)1()1(knknknnkEEHH)0()0(2)1(||knknnkEEH在推导中使用微扰矩阵元的厄密性*(1)*(0)(1)(0)ˆknknHHd(0)(1)(0)ˆnkHd(0)(1)(0)ˆnkHd)1(nkH(1)(1)(0)(0)knknkHaEE2.当m≠n时(0)(0)(2)(1)(1)(1)(1)1[]mnmkmknmkEEaaHEa(1)(1)(1)(1)(2)(0)(0)(0)(0)1kmknnmmknmnmaHHaaEEEE2)0()0()1()1()0()0()0()0()1()1(][]][[mnmnnnknmnmkknnkEEHHEEEEHH能量的二级修正)0()0(2)1(2)2(2||knknnknEEHE2(0)(1)(0)(0)(0)ˆknknnkHdEE)0()0(2||knknnkEEH在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：)0()0(2)0()2(2)1()0(||knknnknnnnnnnEEHHEEEEE2(0)(0)(0)(0)ˆ'knknnkHdEE总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和波函数分别由下式给出：2(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)||knnnnnknnkknnnkknnkHEEHEEHEE（四）微扰理论适用条件欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是：)0()0()0()0(1knknknEEEEH这就是本节开始时提到的关于H’很小的明确表示式。当这一条件被满足时，由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果。微扰适用条件表明：（2）|En(0)–Ek(0)|要大，即能级间距要宽。例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n2成反比，即En=-μZ2e2/22n2(n=1,2,3,...)由上式可见，当n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（n小）的修正。（1）|H’kn|要小，即微扰矩阵元要小；)0()0()0()0(1knknknEEEEH(0)(0)(0)(0)knnnkknnkHEE表明扰动波函数ψn可以看成是ψk(0)的线性叠加。（1）在一阶近似下：（五）讨论（2）由En=En(0)+Hnn可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态能量En(0)加上微扰Hamilton量H’在未微扰态ψn(0)中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。)0()0()0()0(1knknknEEEEH（3）对满足适用条件的微扰的问题，通常只求一阶微扰其精度就足够了。如果一级能量修正H’nn=0就需要求二级修正，波函数求到一级修正即可。（4）在推导微扰理论的过程中，我们引入了小量λ，令：H’=λH(1)只是为了便于将扰动后的定态