单辉祖材力-7(第八章_应力状态分析_第九章_强度理论与组合变形)

第八章应力应变状态分析构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面上的应力表示。§8-1概述一点处的应力状态目的：通过应力状态分析求出该点处的max、max及其作用面，从而更好地进行强度分析。单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上的应力。单元体如何取？在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量dx、dy和dz，如下图所示。dydzdxzxy§8-2平面应力状态分析•主应力对图a所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分布（图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。AF(a)adcbAa'b'd'c'(b)adcbA该应力状态则称为平面应力状态，其单元体可简化为左图所示情形。1、斜截面上的应力已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态：efanxyzabcdxy(a)xyyyxxdabcxyxx(b)xxyyyy可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上应力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角为a，称为a截面。应力的正负和斜截面夹角的正负规定：1）正应力拉为正，压为负；2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负；3）对a角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，其值为正；反之为负。取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面上应力和斜截面夹角均为正。efbyxaa(c)xy0n0cossindsinsindsincosdcoscosddaaaaaaaaaAAAAAyyxx由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线n和切线t方向可得：⇒ntydAsina(d)bfydAsinaadAxdAcosaeadAxdAcosaaaa2sin2cos22xyxyx由此可得，任一斜截面上的应力分量为：0t0sinsindcossindcoscosdsincosddaaaaaaaaaAAAAAyyxx⇒其中dA为斜截面ef的面积。aaa2cos2sin2xyx解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：MPa7.631004π1050023AFx例：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C点a=30°截面上的应力。(b)Cxxxxxyyy(a)xTFTCFMPa9.1660sin60cos202030xxxMPa4.452cos2sin2030aaxx图示斜截面上应力分量为：MPa7.3510016π10736PeWMxCxxxxxyyy30°n-30-30°°2、应力圆由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：aaa2sin2cos22xyxyxaaa2cos2sin2xyx两式两边平方后求和可得：222222xyxyxaa而圆方程为：222Rbyax可见前式实际上表示了在为水平轴、为垂直轴的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：0,2yx半径为：222xyxR如下图。单元体斜截面上应力（a，a）和应力圆上点的坐标（a，a）一一对应，因此可通过确定应力圆上相应点的坐标来求斜截面上应力（a，a）。因为圆心一定在轴上，只要知道应力圆上的两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。OC222xyx2yx),(aa1）应力图的画法xxD,1yyD,2已知x、y、x、y，如右图，假定xy。•在、坐标系内按比例尺确定两点：xxD,1yyD,2dabcefaxyxxnxxyyyy•以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应力圆。•连接D1、D2两点，线段D1D2与轴交于C点。xxD,1yyD,2CxxD,1yyD,2C2）证明对下图所示应力圆可见C点的横坐标为：•从D1点按斜截面角a的转向转动2a得到E点，该点的坐标值即为斜截面上的应力分量值。xxD,1yyD,2C2aEOC2FA1B1B2A2D1D2Exyyx12a0CBOBOC22由于CBDCBD1122可得：CBCB12222/212yxyxyBBOBOC因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且22211221122xyxDBBBCD该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述圆确为应力圆。则：另外，E点横坐标为：aaa2cos2sin2xyxEEFaaaaaa2sin2sin2cos2cos22cos000CECEOCCEOCCFOCOFE可见，E点坐标值即为a斜截面上的应力分量值。aaa2sin2cos22xyxyxE即：同理可得E点的纵坐标为：由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为图解法。解：按一定比例画出应力圆。0MPa7.63x0yMPa7.35yx例：用图解法求图示a=30°斜截面上的应力值。因为图示应力状态有：x30°x=35.7MPax=63.7MPayn按一定比例，作出应力圆，并找到斜截面对应的点，量取其坐标可得：MPa1730MPa46307.357.63，xD7.350，yD则x、y截面在应力圆上两点为：EDy(0,35.7)Dx(63.7,-35.7)60°-30°-30°，)20MPa3、主平面和主应力对图a所示应力状态，作出应力圆（图b）。1a01220,max1A0,min2A主平面：剪应力=0的平面；主应力：主平面上的正应力。321321可证明：并规定：可见：xy(a)ODyDxCA2A12a0(b)；；2211OAOA03具体值可在应力圆上量取，即：主平面位置：图a中1主平面的方位角a0对应于应力圆（图b）上的圆心角2a0。主应力值和主应力平面的计算：由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：11CAOCOA22CAOCOAyxxCBBDa22tan111002atg，IV象限22122xyxyx22222xyxyx由此可得两个主应力值为：因为1主平面方位角的两倍对应于应力圆上2a0，而02tanaIV象限。02tana02tana02tana注意：2a0的值与其所在的象限有关，而其所在象限与计算式中分子、分母的正负有关，即：I象限；II象限；III象限；所以，1主平面方位角a0为：yxxa2arctan210例求图a所示应力状态的主应力及方向。MPa100xMPa40xMPa30yMPa40y40,100xD40,30yD解：1、应力圆图解法：因为：所以：按一定比例作出应力圆（图b）。yx30MPa100MPa=40MPax(a)DxDyA3A12a0(b)MPa403MPa110102'163020a'8150a由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：由此可得：主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：1a01yx(c)2、解析法：MPa11022221xyxyxMPa4022223xyxyx1383010040222tan0yxxa'163020a02'8150a所以：⇒例：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a和b所示，梁的尺寸见图c。试通过应力圆求截面C上a、b两点处的主应力。解：首先作出梁的剪力和弯矩图如图d和e所示：(a)B8m10mA250kNC(b)fza(c)b12015270159(d)FS图M图(e)M(kN·m)80x200kN50kNFSx由此可得C截面处的弯矩和截面左侧的剪力为：mkN80CMkN200SCF又因为横截面的惯性矩和计算a点切应力所需的静矩为：4633m10881227.0111.0123.012.0zI36*m102560075.015.0015.012.0zaS且：m135.0ay由此可得C截面上a点处正应力和切应力分别为：MPa7.122135.01088108063azCayIMMPa6.64109108810256102003663*SdISFzzaCa该点的应力状态如图f所示，选定适当的比例，即可绘出相应的应力圆，如图g所示。y(f)yyxxxxxx=122.7MPax=64.6MPay=-64.6MPa/MPa/MPaOA1A2CD1(122.7,64.6)D2(0,-64.6)3max2a0(g)由应力圆可得a点处的主应力为：MPa150111CAOCOA02且：4.467.1226.642arctan20a则1主平面的方位角a0为：2.230a显然，3主平面应垂直与1主平面，如下图所示。MPa27223CAOCOA31yyyxxxxx2.230a对C截面上的b点，因yb=0.15m可得：MPa4.13615.01088108063bzCbyIM0b该点的应力状态如图h所示，选定适当的比例，即可绘出相应的应力圆，如图i所示。x=136.5MPa(h)xyx(i)maxD2(0,0)/MPa/MPaD1(136.4,0)b点处的主应力为：MPa4.13610321主平面就是x平面，即梁的横截面C。§8-3空间应力状态的概念下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况，称为一般的空间应力状态。图中x平面有：xzxyx,,图中y平面有：yzyxy,,图中z平面有：zyzxz,,在切应力的下标中，第一个表示所在平面，第二个表示应力的方向。xyzOdxdydzxyxzxyxyyzxyzzxxyxxzzyzzxyxyyzzxyzxyzyx,,,,,可以证明，对上述应力状态一定可找到一个单元体，其三对相互垂直的面都是主平面，其上应力分别为：321,,空间应力状态共有9个分量，然而，根据切应力互等定理可知，独立的分量只有6个，即：空间应力状态：三个主应力都不等于零；平面应力状态：两个主应力不等于零；单向应力状态：只有一个主应力不等于零。该单元体称为主单元体。例：下图a所示钢轨的轨头受车轮的静荷作用时，其应力状态即为图b所示三向压应力状态。113322(b)(a)F考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力。对与3平行的斜截面：同理：和2平行的斜截面上应力与2无关，由1、3的应力圆确定；和1平行的斜截面上应力与1无关，由2、3的应力圆确定。下面分析空间应力状态下