工厂计划

第1页共13页YangQiuyan第1页2020/2/9数学建模——工厂生产计划模型学院：数学与统计学院专业：信息与计算科学教师：郑小洋姓名：杨秋燕学号：11001010128第2页共13页YangQiuyan第2页2020/2/9摘要本文以工厂所获得的总收益为研究对象，采用了线性规划的分析方法，通过求解不同产品的生产计划以及按计划生产所获得的利润，解决了工厂为达到最大总收益的产品生产计划问题。在问题一分析题意，可知总利润=总销售利润-总存储费用，据此我们建立了本题的目标函数。同时依据题目的要求，可以得出对目标函数的约束条件可分为各种产品每个月的产量约束，各种产品每个月的存储量约束，各种产品每个月的生产时间约束，然后根据这三种约束条件可得出各个约束式，因此，已知目标函数与约束条件，再通过利用Lingo软件进行编程求出最优解，最终得出六个月的最大利润为9371.15元。问题二在问题一的基础上考虑了市场价格的变化及引入新机床两个因素，为使模型简化，首先考虑市场价格的变化对计划和收益的影响。然后假定市场价格不变，利用Lingo软件，模拟出引入新机床对计划和收益的影响。它是问题一的拓展，通过更改约束方程，利用模型一的计算程序，从而得到拓展模型的最优解。关键字：总收益销售量生产量动态规划一、问题重述某厂拥有4台磨床、2台立式钻床、3台卧式钻床、一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作P1至P7。工厂收益规定为产品售价减去原材料费用之剩余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表：产品P1P2P3P4P5P6P7收益106841193磨0.50.70000.30.20.5垂直钻孔0.10.200.300.60水平钻孔0.200.80000.6镗孔0.050.0300.070.100.08刨000.0100.0500.05本月（一月）和随后的5个月中，下列机床停工维修：一月磨床一台二月卧式钻床2台三月镗床一台四月立式钻床一台五月磨床一台，立式钻床一台,上台下六月刨床一台，卧式钻床一台各种产品各月份的市场容量如下表：产品P1P2P3P4P5P6P7一月5001000300300800200100二月6005002000400300150三月30060000500400100四月2003004005002000100五月010050010010003000六月500500100300110050060第3页共13页YangQiuyan第3页2020/2/9每种产品存货最多可到100件。存费每件每月为0.5。现在无存货。要求到6月底每种产品有存货50件。工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。不需要考虑排队等待加工的问题。1、为使收益最大，工厂应如何安排各月份各种产品的产量？（考虑价格的某种变化及引入新机床对计划和收益的影响。注意，可假设每月仅有24个工作日。）2、在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是如问题(I)那样规定的月份，而是选择最合适的月份维修。除了磨床外，每台机床在这个月6中的一个月必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值如何？二、模型假设1.假设工厂的设备都不是全新的；2.假设工厂的设备每天连续工作16小时，不受换班影响；3.假设工厂设备的维修不收取费用。4.假设该工厂生产的产品除存货外，在不超过市场容量的情况下均能售出，5.假设市场价格的变化对产品原料和销售价格均有影响.三、模型分析及建立模型1、符号说明符号符号意义Z表示六个月的总利润ijP表示第i个月第j种产品的产量ijR表示第i个月第j种产品的库存量ijS表示第i个月第j种产品的销售量ijQ表示第i个月第j种产品的最大需求量kjNi表示第k种设备第i个月的可用数量ijX表示第i个月第j种产品的单位利润kjT表示第k种设备第j种产品的单位所需台时ijV第i个月第j种产品的市场容量kAk种设备的总数量ijS第i个月第j种产品的销售量(其中i代表月份i=1,2,3…6，j代表产品的种类j=1,2,3…7，k代表设备的种类k=1,2,3…5，注：其他符号在相关位置再作假设。)第4页共13页YangQiuyan第4页2020/2/92、模型的分析企业是一个有机的整体，企业管理是一个完整的系统，由许多子系统组成。在企业的管理中，非常关键的一部分是科学地安排生产，即生产计划。而生产计划就是一种关于企业生产运作系统总体方面的计划，是企业在计划期应达到的产品品种、质量、产量和产值等生产任务的计划和对产品生产进度的安排。对于本问题明显是一个线性规划问题，由于各类产品的销售利润不同，生产的时间不同，因此，以各个月利润最大为目标，通过对题目数据的分析，最终求出最大总利润。从题目中可以得知，要求出这6个月的总利润，则需要求出6个月的产品销售总利润，同时要求出6个月的总存储费用。从而能够得出以下公式：总利润=销售总利润-总存储费用首先从公式可以得出，要总利润最大，则销售总利润必须最大，同时总存储费用必须最小。再结合题目，可以得出对目标函数的约束条件可分为各种产品每个月的产量约束，各种产品每个月的存储量约束，各种产品每个月的生产时间约束，然后根据这三种约束条件可得出各个约束条件式子，通过利用lingo软件编程计算出最优解。3、模型的建立与求解3.1.1模型的建立依据问题分析，要求出6个月的总利润，则需要求出每个月的利润，而每个月的总利润应当等于每个月的销售利润减去每个月存储费用，然后将这6个月的利润加起来，从而得出目标函数MaxZ。根据题意可得，每个月各种产品的库存量应当等于上个月的库存量加上当月的产量减去当月的销售量，而由于1月初无库存，因此1月份的库存量当直接等于当月的产量减去当月的销售量，从而得出约束条件(1)，(2)。从题目中可知，工厂的设备每月工作24天，每天工作16小时，但是由于各种设备对各种产品的单位生产时间不同，同时每个月都有设备需要进行维修，每个月的各种设备可用数量不同，因此各种设备每个月的工作总时间不得超过该设备每个月的最大可工作时间，公式如约束条件(3)所示。由于各个月各种的产品库存量要求不得超过100件，并且要求6月末各种产品各储存需要有50件，同时要求每个月各种产品的销售量不得超过每个月各种产品的最大需求量，因此得出约束条件(4)，(5)，(6)。综合以上的分析，结合题意，建立如下的线性规划模型：目标函数：61i71j61i71jijijRij5.0ax—XSZM约束条件：第5页共13页YangQiuyan第5页2020/2/9根据以上模型，利用lingo软件编写代码计算得出这6个月的最大利润为93711.5元。使用LINGO软件编程（程序见附件1）对该单目标线性规划模型进行求解，我们用EXCEL软件将得到的结果（各月份的产量、存货量和销售量）整理如下列表格所示：表一·各种产品各月份的产量表1P2P3P4P5P6P7P一月5008883833008002000二月7006001170500300250三月000004000四月2003004005002000100五月010060010011003001000六月550550035005500总量195023381450135020501450900表二·各种产品的各月份销售量表1P2P3P4P5P6P7P一月5008883003008002000二月6005002000400300150三月10010000100400100四月2003004005002000100五月010050010010003000六月500500503005050050总量190023881450120025501700400产品产量月份产品售量月份销第6页共13页YangQiuyan第6页2020/2/9表三·各种产品的各月份存货量表1P2P3P4P5P6P7P一月00830000二月100100001000100三月0000000四月000000100五月0010001000100六月50505050505050总量1501502335025050350存费（元）7575116.52512525175上述三个表格中的数据，即为收益最大情况下，工厂安排各种机床生产各种产品的计划。工厂按此计划生产六个月，六个月的最大利润为9371.15元,这就是用我们建立的单目标线性规划模型计算的最大收益。3.1.2模型的结果分析（1）由表三可以看出，六月份各种产品的存货量都是50，正符合题中的要求。（2）对比这三个表格，可以看出各种产品各月份的销售量正是该产品该月份的产量与该产品上个月份的存货量之和减去该产品该月份的存货量。（3）表二中多个产品的产量为0，正是由各个月份中的机床停工维修造成的，但是产量为0的时候，产品的销售量并不一定为0，这是由于该产品在上一个月份中有存货。表三中多个产品的销售量为0，则是由该产品在该月份的市场容量为0造成的。（4）对比分析各产品的收益与该产品的效益，两者基本上或是在趋势上是一致的，即效益高的产品收益一般也是比较大的。这说明模型建立之前我们的预测是合理的。两者的对比图如图一所示。由于产品的收益数值较大，该图中收益的曲线是在收益值缩小1000倍的时候作出的，这并不影响两者趋势的分析。3.1.3（1）模型的改进由于机床的停工维修时间不作预先规定，而是选择最合适的月份维修，对各种产品每产品货量月份存图一·效益与收益对比曲线第7页共13页YangQiuyan第7页2020/2/9月的加工数量的限制改变了。针对这个情况，对于问题二的模型，仍采用问题一的模型，只不过对约束条件进行了修改。目标方程61i71j61i71jijijRij5.0ax—XSZM（2）约束条件由以上分析，可得到如下约束条件）（2-6A384PT1ij61i71ji1）（6-6A384PTkij61i71ji125.kijijSV.）（）（ijj1-iijPRS100Rij50R6j）（）（ijj1-iijPRS0R0j四、模型优缺点分析1、模型的优点1.在模型求解的时候，利用了专门求解规划问题的lingo数学软件，求解速度很快，而且结果准确；2.在模型的改进中，采用了动态规划模型，考虑不同变量之间的关系，求解全局最优解。3.对工厂的最大总收益进行了研究分析，认为增加一台镗床和一台刨床更能提高最大总收益。2、模型的缺点1.在题目中，我们没有考虑产品每天的存储费用，只是简单地把存储费用看作是月底的存储量与存储价格的积，这样不太全面，有失偏差；2.模型较为单一，并且没有用很好的检验方法来检验最大收益值。五、模型推广本模型是一个典型的线性规划模型，用来求解最大或最小目标函数值问题。此类问题第8页共13页YangQiuyan第8页2020/2/9很多，也有很多的推广应用价值。优化问题可以说是人们应用科学、工程设计、商业贸易等领域中最常遇到的一类问题。这种用数学建模的方法来处理优化问题，即建立和求解所谓优化模型。虽然由于建模时要做适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最优，但是它基于客观规律和数据，模型的建立与求解并不需要耗费太多时间。如果在建模的基础上再赋予其现实意义，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。六、参考文献[1].袁新生邵大宏等《LINGO和excel在数学建模中的应用》科学出版社2007年1月出版[2]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），高等教育出版社，2003年8月.[3]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材（三），湖南教育出版社，1998年5月.七、附录一、模型求解的Lingo代码MODEL:SETS:KIND/1..7/:;MONTH/1..6/:;EQUIPMENT/1..5/:;MK(MONTH,KIND):REQUIREMENT,PROFIT,PRODUCTION,SALES,REMAIND;EK(EQUIPMENT,KIN