通讯原理第3章 随机信号分析

第三章随机信号分析概述：作为信息传输过程中的信息信号通常是无法预知的，而且携带信息的信号再传输过程中不可避免地要受到各种噪声的干扰，而这种干扰又是随机出现的，因此应该用随机过程的理论来描述随机的信息信号和噪声。随机过程的含义有两点：其一，它是一个时间函数，随机过程的一个实现称为随机过程的一个样本；其二，它再每个时刻上的函数值不是确定的，而是一个随机变量，随机过程再不同时刻有不同的随机变量。为例以)cos(θtωA0§3.1随机过程及其通过系统的传输二、概率分布函数和概率密度函数随机过程能够看成是随时间t而变化的一族随机变量，故可将随机变量的概率分布推广用于随机过程。1.一维分布函数与概率密度函数)()(11tXttX的取值为一维随机变量在任一特定时刻随机过程的函数，记和时刻是取值概率1111txxtXP})({})({),(11111xtXPtxF的一维概率分布函数称为过程)(tX11111111xtxFtxpx),(),(定义的一阶偏导数存在，则若它对),()(11txptX一般记为的一维概率密度函数，为过程2.二维概率分布:)](),([，记为构成二维随机变量21tXtX)(),(,)(2121tXtXtttX的取值为在任两个时刻随机过程的二维分布函数。称为过程)(tX二维概率分布可以描述随机过程在任两个时刻之间关联，且通过积分可以求得两个一维概率密度，可见二维概率分布比其一维概率分布含有较多的统计特性信息，对随机过程的描述要细致些，但它还不能反映随机过程在两个以上时刻的取值之间关联。})(,)({),,,(221121212xtXxtXPttxxF3.n维概率分布随机过程在任意n个时刻的取值)(tXnttt,,,21),(1tX},)(,,)(,)({),,,;,,,(nnnnnxtXxtXxtXPtttxxxF22112121n维分布函数：n维概率分布可以描述任意n个时刻的取值之间关联，比其低维概率分布含有更多的统计特性信息，对随机过程的描述更细微些，故若随机过程的观测时刻点数取得越多，则随机过程的统计特性可以描述得越细致。从理论上来说，完全描述一个随机过程的统计特性，需要维数趋于无穷，但从工程实际来说，许多场合仅取二维即可。)()(),()()(nntXtXtXntXtX212维随机变量构成n维概率密度函数12121212121xxxtttxxxFtttxxxpnnnnnnn),,,;,,,(),,,;,,,(统计独立，则：若)(,),(),(tXtXtX21统计独立时n维概率密度函数等一维概率密度函数的乘积三、随机过程的数字特征(矩函数)描述随机变量的平均统计参量是数学期望，方差，协方差，相关函数等数字特征(随机变量最一般的数字特征称为矩)随机过程可看成是随时间而变化的一族随机变量，将随机变量的数字特征的概念推广于随机过程即可得到描述随机过程的平均统计函数，当然它不再是确定的值，而是确定的时间函数，统称为矩函数。),(),(),(),,,;,,,(nnnnntxptxptxptttxxxp221121211.数学期望(一阶原点矩)随机过程在某一特定时刻的取值为一维随机变量其数学期望是一个确定值。随机过程在任一时刻的取值仍为一维随机变量(注意此处已固定，故已非随机过程)。)(tX1t)(1tX)(tXt)(tXt)(tx数学期望)(),()]([tmdxtxxptXE它是时间t的函数，是过程X(t)在任一时刻t的数学期望或统计均值，称为随机过程X(t)的数学期望或统计均值(瞬时)。统计均值是对随机过程X(t)中的所有样本在任一时刻t的取值进行平均，因而统计平均也称为集合平均。2.方差(二阶中心矩)随机过程的数学期望是确定的时间函数，因而仍为随机过程，在任一时刻t的取值仍为随机变量，故方差定义为：)(tX)(tm)()()(tmtXtX)(tX})]()({[})]({[)]([22tmtXEtXEtXD)()(),(),()(),()(),(),()]([tσtmdxtxpxdxtxptmdxtxptxmdxtxpxdxtxptmx2222222方差是时间t的确定函数，表示随机过程中的所有样本在任一时刻t的取值(随机变量)对其分布中心的平均偏离程度.)(tσ2)(tX3.自相关函数数学期望和方差分别为一维随机变量的一阶原点矩和二阶中心矩，它们只能表示随机过程在各个孤立时刻的平均统计特性，不能反映随机过程在任意两时刻的取值之间关联。为描述随机过程在两个时刻的取值之间的关联程度，用相关函数来表述。定义随机过程的二阶混合原点矩(自相关函数)为：4.自协方差函数自协方差函数表示过程在任两个时刻的起伏值之间的平均关联的二阶混合中心矩为：定义)(),(21tXtX)](),([),(2121tXtXEttR2121212211dxdxttxxptmxtmx),,,()]()][([)]()()][()([),(221121tmtXtmtXEttC21212121dxdxttxxpxx),,,(:时，则有当ttt21)(})]()({[),()]([)]()([),(tσtmtXEttCtXEtXtXEttR222此时自协方差为方差，相关函数为一维随机变量的二阶原点矩5.均方差定义随机过程的二阶原点矩dxtxpxtXE),()]([22为均方差自协方差函数和自相关函数的关系：)()(),()]()()][()([),(2121221121tmtmttRtmtXtmtXEttC四、平稳随机过程平稳随机过程的主要特点是其统计特性不随时间的平移而变化。1.狭义平稳(严平稳)),,,;,,,(),,,;,,,(τtτtτtxxxptttxxxpnnnnnn21212121若随机过程的任意n维概率分布不随计时起点的选择不同而变化，即当时间平移任一常数τ时，其n维概率密度(或分布函数)不变化，则称为严格平稳过程，即满足：)(tX)(tX即概率分布与观测的起点无关，可以任意选择观测的计时起点。严格地说所有随机过程都是非平稳的，但平稳过程的分析要容易得多，而通常遇见的随机过程大多数接近于平稳过程。严平稳过程其一，二维分布和矩函数的特点：一维分布:)(),(),(),(11111101xpxpτtxptxptτnn＝－令一维概率分布与时间无关二维分布:),,(),;,(τxxpttxxpntτ21122101令二维概率分布与时间起点无关，仅与时间间隔τ有关),;,(),;,(τtτtxxpttxxpnn21212121矩函数:有关自相关函数仅与，ττRdxdxτxxpxxttR)(),,(),(21212121[()]()EXtxpxdxm均值为常数例1：若为随机变量，讨论它们的平稳性.YtYtXYtX,)(,)(21解：常数YmYEtXE][)]([12211YσYEτtXtXE][)]()([无关与t非广义平稳显然)(tX2YtmtYEtXE][)]([2221212212212YxσttYtYtEtXtXEttR][)]()([),(广义平稳显然)(tX12.广义平稳(宽平稳)若随机过程X(t)的数学期望时与时间t无关的常量，相关函数仅与时间间隔τ有关，即：)(),()]([τRttRmtXE21，则该随机过程为广义平稳过程。广义平稳只说明一维和二维统计特性是平稳的，狭义平稳是说明n维统计特性是平稳的。例2:某随机过程X(t)=Acos(wt+φ)，其中A，w为常量，φ为0－2π范围均匀分布的随机变量，试求该过程的数学期望和相关函数。说明是否为广义平稳随机过程。πφdπφtωAtXE20002]/)cos([)]([)]()([),(τtXtXEτttR)]cos()cos([φτωtωφtωAE00022220002/)]cos([cosφτωtωτωEA202/cosτωA解:均值为常数,自相关函数仅和时间间隔有关,故过程广义平稳3.各态历经性随机过程有两个变量x和t，故能采用两种平均方法，即统计平均和时间平均。矩函数指的统计平均，即对集合中的所有样本在同一时刻的取值用统计的方法求其平均，也称集合平均，用或][E表示。统计平均的方法使得实际工程量很大，在实际工程中我们大多数采用样本平均或称为时间平均的方法。随机过程是一族时间函数的集合，这集合中的每个样本都是时间的确定函数，对集合中的某个特定样本在各个时刻的值，用一般的数学方法求平均，称为时间平均，记为的时间均值为：样本)(tXidttXTtXTTiTi221//)(lim)(的时间自相关函数为：样本)(tXidtτtXtXTτtXtXTTiiTii221//)()(lim)()(时间平均只需一个样本，对确定的时间函数，可用一般的数学方法作计算，时间平均与统计平均相比要简易实用得多，它是实际测量随机过程的主要方法。)]()([)()()]([)(:τtXtXEτtXtXtXEtXpp即据概率论可知，只要满足下式，就可认为平稳过程具有遍历性。τdτCτdτCTTTT)()(lim//或0122通常通信系统中随机信号和噪声都能满足这一条件。各态历经性：若由随机过程每个样本的时间平均从概率意义上等于集合的统计平均，则称过程具有各态历经性(也称遍历性)。物理意义：随机过程的任一样本在足够长的时间内，都经历了这过程的各种可能状态，任一样本是具有充分代表性的样本。例题见书P21，例2-24.平稳过程相关函数的性质：②)()(,)()(τCCτRRxxxx000相关函数在τ＝0时具有最大值，且非负，表明过程在间隔为零时的两个随机变量，其统计关联最大。③对于周期性随机过程，由，即相关函数同样也具有周期性，且周期T仍然保持不变：)()(TτRτR)()]()([)]()([)(TτRTτtXtXEτtXtXEτRxx①)()(τRτRxx)()(τCτCxx相关函数是偶函数（方差）＝－交流功率：直流功率：＝平均功率200σRRRPRxxxx)()()()(:5.相关系数对于平稳过程，间隔τ的两个起伏量之间的关联程度，可用协方差函数表示，但协方差函数还与两个起伏量的强度有关，如果两个起伏量很小，即使关联程度较强，这时协方差函数也不会很大，可见协方差函数并不能确切地表示关联程度的大小，应除去起伏量强度的影响，需要对协方差函数作归一化处理，定义无量纲的比值:20στCCτCτγ)()()()(自相关系数或归一化的自相关函数注意和确定信号定义的不同！()1()0，表示完全相关，表示不相关6.联合平稳随机过程),,,;,,,(),,,,;,,,(mmnnnntttyyyptttxxxp21212121:),()(它们的概率密度为和设两个随机过程tYtX维联合分布函数为：定义两过程的mn),,,;,,,;,,,;,,,(mnmnmnttttttyyyxxxF21212121mmnnytYytYytYxtXxtXxtXP)(,,)(,)(;)(,,)(,)(22112211定义两过程的n+m维联合概率密度为：),,,;,,,;,,,;,,,(mnmnmnttttttyyyxxxp21212121nnmnmnmnmnyyyxxxttttttyyyxxxF212121212121),,,;,,,;,,,;,,,(若有),,,;,,,;,,,;,,,(mnmnmnttttttyyyxx