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1第1章引言自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述。一个典型的网络是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的，其中节点用来代表真实系统中不同的个体，而边则用来表示个体间的关系，往往是两个节点之间具有某种特定的关系则连一条边，反之则不连边，有边相连的两个节点在网络中被看作是相邻的。例如，神经系统可以看作大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络；计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络。类似的还有电力网络、社会关系网络、交通网络等等。数学家和物理学家在考虑网络的时候，往往只关心节点之间有没有边相连，至于节点到底在什么位置，边是长还是短，是弯曲还是平直，有没有相交等等都是他们不在意的。在这里，我们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫做网络的拓扑性质，相应的结构叫做网络的拓扑结构。那么，什么样的拓扑结构比较适合用来描述真实的系统呢？两百多年来，对这个问题的研究经历了三个阶段。在最初的一百多年里，科学家们认为真实系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示，例如二维平面上的欧几里德格网，它看起来像是格子体恤衫上的花纹；又或者最近邻环网，它总是会让你想到一群手牵着手围着篝火跳圆圈舞的姑娘。到了二十世纪五十年代末，数学家们想出了一种新的构造网络的方法，在这种方法下，两个节点之间连边与否不再是确定的事情，而是根据一个概率决定。数学家把这样生成的网络叫做随机网络，它在接下来的四十年里一直被很多科学家认为是描述真实系统最适宜的网络。直到最近几年，由于计算机数据处理和运算能力的飞速发展，科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络。这样的一些网络被科学家们叫做复杂网络（complexnetworks），对于它们的研究标志着第三阶段的到来。遗憾的是，就目前而言，科学家们还没有给出复杂网络精确严格的定义，从这几年的研究来看，之所以称其为复杂网络，大致上包含以下几层意思：首先，它是大量真实复杂系统的拓扑抽象；其次，它至少在感觉上比规则网络和随机网络复杂，因为我们可以很容易地生成规则和随机网络，但就目前而言，还没有一种简单方法能够生成完全符合真实统计特征的网络；最后，由于复杂网络是大量复杂系统得以存在的拓扑基础，因此对它的研究被认为有助于理解“复杂系统之所以复杂”这一至关重要的问题。2第2章复杂网络理论基础第2.1节复杂网络的发展、应用及研究意义复杂网络研究的兴起时间还不长，但人们对复杂网络的研究方兴未艾，同时，复杂网络理论已经从许多方面展现出广泛、潜在的应用价值。复杂网络的发展历程现实世界中的许多系统都可以用复杂网络来描述，如社会网络中的科研合作网、性关系网、公司董事网，信息网络中的万维网、科研引用网、语言网，技术网络中的因特网、电力网、航空网，生物网络中的代谢网与蛋白质网络。网络节点为系统元素，边为元素间的互相作用，例如，在生命系统的巨型遗传网络中，节点和边分别表示蛋白质和蛋白质间的化学作用，在社会网络中，节点表示个人、组织机构或国家，边表示他（它）们之间的社会联系。现实网络系统的复杂性主要体现在三个方面：首先，网络的结构非常复杂，对网络节点间的连接，至今仍没有很清晰的概念；其次，网络是不断演化的，网络节点不断地增加，节点之间的连接在不断地增长，而且连接之间存在着多样性；第三，网络的动力学具有复杂性，每个节点本身可以是非线性系统，具有分岔和混沌等非线性动力学行为而且在不停地变化。由于现实世界网络的规模大，节点间相互作用复杂，其拓扑结构基本上未知或未曾探索。两百多年来，人们对描述真实系统拓扑结构的研究经历了三个阶段。在最初的一百多年里，科学家们认为真实系统要素之间的关系可以用一些规则的结构表示，例如二维平面上的欧几里德格网；从20世纪50年代末到90年代末，无明确设计原则的大规模网络主要用简单而易于被多数人接受的随机网络来描述，随机图的思想主宰复杂网络研究达四十年之久；直到最近几年，科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特性的网络，其中最有影响的是小世界网络和无尺度网络。这两种网络的发现，掀起了复杂网络的研究热潮。复杂网络的应用及研究意义复杂网络（特别是小世界网络和无尺度网络）刚一提出，就呈现出广阔的应用前景，其应用领域涉及工程技术、社会、政治、医药、经济、管理等不同方面。在过去几年里，不同领域的研究者发现，包括万维网、细胞代谢系统、好莱坞的演员网络在内的许多现实网络，都是无尺度网络，它们由少数几个具有众多连结的节点所支配，这些重要节点通常称为集散节点。无尺度网络对意外故障具有惊人的承受力，但面对协同式攻击时则很脆弱。这些新发现极大地改变了人们对复杂外部世界的认识，让人们认识到了以前的理论尚未涉及的问题：各种复杂系统具有相同的严格结构，都受制于某些基本的法则，这些法则似乎可同等地适用于细胞、计算机、语言和社会。认识这些法则，可以将其应用到不同领域，帮助人们解决一系列重要问题。首先，复杂网络理论可以用于保护许多现实系统的正常运行。因特网、电力网、航空网、万维网、电子邮件网、食物链网等网络与我们的生活息息相关，人们对这些网络的依赖程度日益增强，凸现了一个广受关注的问题：这些网络到底有多可靠呢？2000年，爱虫病毒侵犯了英国议会的电子邮件系统，导致该系统瘫痪；同年，一场暴风雨袭击芝加哥，致使O’Hare机场关闭，由此而影响了全美航班；2003年美加电网的大崩溃事故让纽约人感到惶恐不安；当前，人类赖以生存的生态系统不断遭到破坏已经危及到人类的生存环境，等等。从这些现象可以自然地提出下面的问题：计算机病毒如何在万维网上传播而导致流行？病毒如何通过电子邮件传播？人们如何控制病毒传播？面对黑客的攻击，应该采取何3种对策？怎样设计出承受意外故障较强的网络（如电力网、航空网）？怎样保持当前不断恶化的生态系统的平衡？这些问题的解决都与复杂网络的研究有关，开展好复杂网络稳定性的研究，对于互联网、电力网、航空网等技术网络的设计保护及基础设施网络的保护具有重要的意义，也可以有效地防止黑客侵入互联网、阻止病毒在万维网上传播蔓延。复杂网络在社会领域也有广阔的应用。传染病（如艾滋病、非典、禽流感等）对人类的威胁很大：艾滋病让人们不寒而栗；2003年的非典对于宏观经济和人类的生命安全都产生了巨大的负面影响；目前，禽流感也已成为世界关注的一个焦点。那么在特定的社会网络中，传染病如何通过接触关系传播而导致流行呢？决策者如何控制这些疾病，将损失降到最低限度呢？这些问题或许可以从复杂网络那里寻找答案。最近几年，科学家们考虑了不同现实系统的主要特征，提出了许多有针对性的疾病免疫方法，为疾病的预测、预防和免疫提供了科学的方案。譬如，用复杂网络理论可以很好地预测非典爆发的多样性、了解疾病传播的动态性，为决策者控制流行病蔓延、改善公共卫生提供有效的手段。在当今社会，稳定是经济发展的基础，流言飞语往往会影响社会的安定。复杂网络理论可以用于模拟社会上谣言传播过程，对控制传言的扩散、降低其负面影响具有一定的借鉴意义。除了社会领域外，复杂网络在政治方面也开始显示出实际的应用价值。在当今世界上，恐怖主义已被列为21世纪的十大危害之一，发生在美国的9·11事件让全美至今仍有后怕。对于恐怖主义、犯罪组织这些需要破坏的网络，人们可以利用复杂网络理论，通过捉拿逮捕其主要人物，就可摧毁网络，使其功能失常，以维护人类社会政治的稳定。网络理论还可用于揭示政府议员的组织、层次关系，甚至可以成功模拟政治选举，分析一些因素对选举结果的影响。在医药领域，复杂网络同样有其重要的应用价值。许多传染病的疫苗价格昂贵，而且数量有限，不可能对每个人都接种疫苗。如何充分利用数量有限的疫苗呢？对非典、天花等严重疾病，如果能采取措施直接或间接地针对集散节点（即那些与很多人具有连结关系的人）接种疫苗，可以达到很好的效果，复杂网络理论为这一做法提供了科学的依据。在分配艾滋病、天花等成本很高的疫苗时，对于那些无力照顾到全民的国家和地区而言，这种做法可能是最实用的。在制药业方面，细胞对集散节点的依赖，给药物研究者提供了新的方法：有可能找到这样的药物，能针对性地攻击细胞或者细菌的集散节点，以便杀死它们而又不会影响健康的组织。例如，癌症是让人类头疼的一种疾病，在复杂的基因网络中，如果知道故障节点相互作用引发癌症的病理，就可能研制出针对癌症集散节点的药物，对癌症的治疗也许有很好的效果。此外，弄清人体细胞内的网络结构，有助于研究者发现和控制药物的副作用。复杂网络也为人们认识语言文字、获取知识提供了新的有力工具，是人们研究知识管理的新途径。语言是人类区别动物的主要标志之一，可是我们今天使用的语言是如何演化的呢？为什么只有人类才具有复杂语言呢？人脑为什么接触到某一事物后，可以很快的联想到其它事物呢？现实复杂网络中的语言网作为语言演化研究的新方法与新尝试，其在认知科学中意义很大，如语言网的小世界特性可以部分地解释人脑具有很快的联想功能等。目前正处在信息（知识）时代，信息时代需要时代信息，可是，在信息网络（如万维网）中信息如何传播呢？人们如何尽快获取所需要的信息呢？复杂网络不但对于专家领域知识的发现及表示方法有一定的意义，而且在知识学习与获取方面，复杂网络也可一显身手。另外，根据万维网特殊的复杂结构，人们可以提出相应的搜索算法，为获取所需信息提供方便。复杂网络在经济、管理领域也有着重要的实际意义。利用复杂网络理论了解公司、产业与经济之间的连结方式，有助于监控和预防大规模的经济衰退。在管理领域，决策对经济的发展起着关键性的作用，同一个人可以在多个组织内兼任董事。建立公司董事网，使得分析决策的动态性成为可能。另外，研究流行病在复杂网络中的传播现象，为市场人员4传播新产品和新时尚提供了新方法、新理论。许多市场营销专家都在大力研究扩散理论，出于各种商业目的，他们需要引发流行而不是遏制流行，于是他们提出了所谓的病毒式行销，这一方法实用可行，但一直没有公认的理论基础，新近的复杂网络研究，为更严谨地探讨这些现象，提供了一个科学的框架和数学工具。利用网络理论，还可以分析公司等组织内部及组织之间的信息传播、信息交换、组织间的战略同盟、组织的综合评价及排名。在复杂的市场环境下，复杂网络还可用于对金融产品进行定价等。除了以上应用外，复杂网络的研究，对于其他许多领域也是有价值的。例如，将小世界的思想用于BP网络，可以减少BP网络的学习时间和学习误差，使得BP网可以更好地用于数据挖掘、语音识别、图像处理及模式识别等多个领域；另外，将复杂网络用于Hopfield网络，可以改变神经网络的联想记忆功能。特别地，复杂网络对于系统科学有着极其重要的理论意义和工程应用价值，中国系统工程学会将复杂网络对系统工程与系统科学的贡献作了深远的展望。众所周知，结构是客观事物的基本属性，也是各学科领域研究的一个重要问题。虽然每门学科在其研究对象的结构方面，都有非常丰富的具体成果，但从系统学的高度，横跨物质系统、生物系统和社会经济系统的具体研究成果，也就是系统学层面的成果还不多，其系统层面的内涵迄今还没有完备的阐述。复杂网络是综合以往的自组织理论、非线性理论与复杂性理论研究的成果而形成的崭新的理论。复杂网络的兴起，为系统科学的研究开拓了视野，提供了全新的视角。复杂网络作为复杂系统的一般抽象和描述方式，作为复杂系统的结构形态，它突出强调了系统结构的拓扑特征。可以说，任何复杂系统都可以当作复杂网络来研究。以复杂网络形式研究复杂系统，可以加深人们对系统结构的深入了解，随着复杂网络研究的深入以及用网络理论研究系统演化工作的深入开展，复杂系统演化的研究必将出现新的突破性结果；反过来，复杂网络的研究成果对探索复杂性具有一定的启发和借鉴意义；当然也可以从系统科学的角度来研究网络，这也是网络研究的新视角。可见，利用网络理论对系统进行研究，是系统科学一种新的研究手段。本文拟以复杂网络的演化模型研究作为切入点，深入开展复杂系统结