复杂非线性系统中的混沌第三章

第三章二维非线性映射中的混沌与分形3.1一维Logistic映射中的混沌3.2LMGS吸引子混沌特征的定量观测3.3三维奇怪吸引子透视图的计算机模拟3.4二维Logistic映射中的混沌与分形3.5一般二维二次映射中的奇怪吸引子与分形基于式(2.3)，可给出Logistic映射的另一种形式3.1其分岔过程如图3.1（示意图，未按比例）[9]。下面我们讨论一下随参数的变化xn在n时的行为。在00.25时，=0为稳定点。若10.75，=1为稳定点。若120.85056……，出现周期2解。若230.88602……，出现周期4解。若继续增加，依次出现的稳定周期解是周期8解，周期16解，周期32解，……。上述分岔值序列1，2，3，……，有一个解的极限0.89248……。当达到该值时，系统的稳态解是一个“周期2k解”，可见系统当参数增加时，系统经过不断周期倍化（Perioddoubling）；当超过值后，系统就会进入混沌区。即当在范围内，系统的解序列被“吸引”到周期解（包括平衡态作为特例）上去。除了稳定的平衡态和稳定的周期解这两种通常的吸引子外，这个系统当在1这个范围时，解序列的稳态或极限将出现奇怪吸引子，相应的物理现象中有混沌过程。这表明：在Logistic映射通向混沌道路的一系列分岔过程中，在参数空间和相空间中都表现出自相似性和尺度变换下的不变性。这种演化过程在非线性系统中带有通有的（Generic）性质。因此，M.J.Feigenbaum曾用重整化群方法，经过细致的观察和研究，发现系统经过倍周期分岔进入混沌时，其数量关系会呈现某种规律性，这就是Feigenbaum常数和[10]。第一个普适常数是指在分岔值序列n序列收敛过程中，间隔比的极限他又指出在x轴上周期解的周期之间的距离按因子=2.5029078751…缩减；此数也是普适的，称为第二个普适常数。这两个常数是一切周期倍分岔所共有的，它们反映了周期倍分岔通向混沌道路的规律性。由上述分析，我们可给出倍周期分岔和混沌所具有重要的普适性：(1)不论是不同的连续流（微分方程的解）还是不同的离散映射，它们所具有的倍周期分岔结构都相同，而且最后都要通向混沌。倍周期分岔收敛和它们通向混沌的变化都服从相同的规律，并为相同的普适常数、和所表征。(2)混沌运动都具有不同层次的自相似结构，混沌带中各周期窗口的次级（二级、三级、…）分岔结构也服从与一级分岔结构相同的规律，并具有相同的普适常数。3.2LMGS吸引子混沌特征的定量观测3.2.1LMGS吸引子的构造方法3.2.2LMGS吸引子的模拟结果3.2.3结论3.2.1LMGS吸引子的构造方法式3.1给出的Logistic映射仅有一个自由度，利用它只能产生一条曲线。为了绘制一幅图形，至少需要两个或两个以上的自由度。如何利用Logistic映射生成美丽的图形，为此孙海坚等人给出了LMGS定义，其基本思想是：以为初值，利用Logistic映射经迭代所产生的一维序列，如，，，通过用不同的算术运算来组合，构造出多个变量，，的表达式，并以，，作为新的自由度，从而将一维Logistic映射扩展到二维、三维或k维空间。定义3.1[44]LMGS定义如下：上式中，是k维空间中的一个点集；为操作符，其为加、减、乘、除四种基本的运算形式之一。例如，令，为加法运算，则、，当以某一步长，如0.01，从0增加到1.0时，对于每一个值，取，使式3.2迭代1000次，画出颜色随的变化而变化的点，重复这个过程，直到增加到1.0，过程结束，这样就产生了一幅图，我们称这幅图为Logistic图形；若在绘图过程中，如果Logistic映射迭代所产生的最初500个点被抛弃掉，则我们称这幅图为Logistic吸引子。LMGS在二维空间中的子集可用2DLMGS来表示。2DLMGS的定义如下：上述定义中操作符仅取加、减、乘、除四种基本的运算，我们认为还可取其它运算形式，如乘方、开方等，这样就扩展孙海坚了等人关于LMGS的定义，并可利用扩展的LMGS的定义构造出更多的美丽的图形。3.2.2LMGS吸引子的模拟结果图3.2显示的是由Logistic映射所生成的2DLMGS，其中图3.2a、3.2c、3.2e、3.2g、3.2i、3.2k、3.2m、3.2o为图形；图3.2b、3.2d、3.2f、3.2h、3.2j、3.2l、3.2n、3.2p为吸引子。图3.2a与3.2b中的点坐标为图3.2c与3.2d、图3.2e与3.2f、图3.2g与3.2h、图3.2i与3.2j分别是当操作符取为加、减、乘、除运算时所获得的图形和吸引子；图3.2k与3.2l中的点坐标为图3.2m与3.2n中的点坐标为图3.2o与3.2p中的点坐标为(a)(b)(c)从图3.2可见，当操作符取得具有相关性时，所得的吸引子和图形也很相似，如图3.2c与3.2d中的点坐标为图3.2k与3.2l中的点坐标为图3.2c与图3.2k相似，图3.2d与图3.2l相似。为了阐明初始点的影响，探讨图形与吸引子之间的联系，当操作符取除法运算时，随迭代次数的增加，作者研究了2DLMGS图形的变化。图3.3给出了当从0增加到1.0时，Logistic映射在第n次迭代后所生成的图形（n被写在每幅图形的左下角）。在这个过程中，总迭代次数N=1000，因此。根据算法可知，当增加时，前一次最后迭代的终点可被看作是下一次迭代的初始点。由图3.3可见，随迭代次数的增加，图形逐渐生长，最后图形的边缘与其对应的吸引子相似[图3.2j]。混沌系统在相空间中由奇怪吸引子的不规则轨线来描述的，为了定量刻划奇怪吸引子的运动性态，人们引入了Lyapunov指数和分维数。Lyapunov指数描述了混沌系统对初值的敏感程度；分维数给出了有关混沌系统自由度的信息。二者从不同角度描述了混沌系统，混沌系统具有至少一个正的Lyapunov指数和非整的分维数。根据Packard等于1980年提出的由一维可观察量重构相空间理论56，利用Logistic映射按2DLMGS的定义迭代15万次后所得吸引子横坐标的时间序列，作为观测系统行为的数据。作者计算了2DLMGS吸引子的Lyapunov指数和分维数。由Wolf等人建立的从时间序列计算最大Lyapunov指数1的方法51，选取数据总量N为50000，嵌入空间维数m通过从2开始逐渐增加反复试算来确定，时间延迟和长度元演化步长Step也像m一样经过取不同数值反复试算来确定，最大长度尺度Scalmx取0.02，最小长度尺度Scalmn取1E6。作者求出图3.2中2DLMGS吸引子的1如表3.1所示。由Grassberger和Procaccia所提出关联维数D2的计算方法50，选取10000个数据点，作者作出图3.2中2DLMGS吸引子的～关系曲线如图3.4所示，D2的计算结果见表3.2。表3.1和表3.2给出2DLMGS吸引子具有奇怪吸引子的运动特征。从图3.2可观察到2DLMGS吸引子从整体上说是稳定的，即吸引子外的一切运动最后都要收缩到吸引子上；2DLMGS吸引子并不填满某一有限区域，而往往具有一些空隙或空洞，除了这些大的空洞外，还有不同层次的小的空隙或空洞的存在，这就使吸引子具有无穷层次的自相似结构，即分形结构。3.2.3结论(1)本节对孙海坚等人给出的LMGS的定义进行了扩展，即将LMGS定义中操作符仅取加、减、乘、除四种基本的运算形式，扩展到还可取其它运算形式，如乘方、开方等，并利用扩展的2DLMGS的定义构造出许多的美丽的图形。(2)这些美丽的图形根据其生成方式不同，可分成两类——图形和吸引子。本节分析了图形与吸引子的结构特征，探讨了图形与吸引子之间的联系。并由一维可观察量计算系统混沌定量判据的方法，计算了2DLMGS吸引子的Lyapunov指数和关联维数。(3)这些美丽的图形充分地体现了“简单性孕育着复杂性”这一哲理，即简单的非线性映射，如Logistic映射，结合一些算术运算就可产生许多复杂美丽的图形。当然我们还可根据LMGS的定义，构造出其在三维空间中的子集3DLMGS，这还需要进一步的工作。3.3三维奇怪吸引子透视图的计算机模拟3.3.1方法3.3.2结果3.3.3小结3.3.1方法选取三维非线性映射的初始点为(0,0,0)，然后迭代500万次，使落在观察区域（即透过计算机屏幕可以看到的三维相空间中的区域）内的式(3.4)所表示的动力系统的运动轨迹进行平移与旋转，可由下面坐标变换公式来表示。其中xt，yt和zt是还没有转换为显示坐标的三维坐标，参数mx、my和mz代表观察者的位置，q和j分别为旋转角和倾斜角。系统的运动轨迹从三维空间中面向二维屏幕(x轴所指方向)进行投影。为了展现出三维奇怪吸引子的内部结构，可采用画透视图的方法。具体方法如下：利用式(3.4)的每一次迭代所产生新的三维坐标x，y和z，先将y和z的值分别除以x，再乘以观察者到屏幕的距离ds，然后加上屏幕中心的坐标值，把这一对值转换为整常数xp和yp后，这2个值就是应该在二维屏幕上画出像素点的行和列；再根据三维奇怪吸引子在相空间中轨迹的复杂程度赋予其投影点——各个像素点以不同的颜色。三维奇怪吸引子在相空间中的轨迹是不相交的，但它在二维平面上的投影却可以相交。为此在画透视图时，图中的某一像素点的颜色是与方程(3.4)在相空间中的轨迹投影到该像素点的次数求和(g是轨迹投影到该像素点的重迭次数)有关，我们把颜色分为7个基本组：蓝、绿、青、红、品红、棕色以及灰色，每种颜色都以32步的增量使色彩度在0~63之间变化。可是上述简单的绘画结果导致了高颜色值为主的一幅图，几乎看不到任何精细结构特征。为此，令这里t是临界值。同时利用了直方图均衡化，并对图形中错误散布的像点，利用分散误差使之扩散到邻近像素点来进行调整[97]。这样就得到一幅具有精细结构的透视图。3.3.2结果上述非线性映射的动力学行为是由控制参数a、b、c、d和e决定的。为了在控制参数空间对系统的行为进行较全面的考察。我们研究了随控制参数的变化系统行为的演化。在三维相空间中，如果系统的解为不相关的随机信号则运动轨迹均匀地充满相空间，而有规律的可预测的信息则产生清晰的周期性轨迹，某几种相关的、随机的信号以及可预测的混沌信号则趋向于充满相空间的某些特定部位，而混沌过程的无规则的信息则可以很好地在相空间图中鉴别出来，因为它呈现有规律的奇怪吸引子。由此可见，图3.5为上述非线性映射的奇怪吸引子。图3.5的初始点选取为(x0,y0,z0)=(0,0,0)，当改变初始点时，我们发现图3.5几乎没什么明显变化，这表明奇怪吸引子具有整体上的稳定性。同时我们也观察到奇怪吸引子不是连续分布的实体，而是其中有大量空洞的结构，除了一些大的空洞外，还有不同层次的小的空洞，这就使得奇怪吸引子具有无穷层次的自相似几何结构。图3.5a与3.5b相比较，从不同的角度（旋转角q和倾斜角j）去观察，三维奇怪吸引子的透视图变化很大，这进一步反映出奇怪吸引子的结构十分复杂。上述研究表明奇怪吸引子的轨迹永远在绕圈，它本身从不相交并因而永不重复。这种非常精细的结构在所有尺度上都存在，甚至在无穷长时间极限下，吸引子也不会在三维空间内形成一个实体。观察图3.6a，3.6b和3.6c，当控制参数连续变化时，图形的整体结构发生突然转变。图3.6a和3.6c给出一些离散点，这表明它们是非混沌吸引子，此时系统的输出为可预测的；而图3.6b则为奇怪吸引子，此时系统是混沌的。以上说明确定性非线性系统随着控制参数的改变，既可以从有序走向混沌，又可以从混沌通向有序。同时作者也发现，当图3.6b的控制参数发生微小变化时，奇怪吸