高中数学必修一必修四知识点总结(杠杠的)

数学知识点总结第-2-页共17页高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。【1.1.2】集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作BA.2、如果集合BA，但存在元素Bx，且Ax，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有n2个子集，21n个真子集.5、子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA（或)ABA中的任一元素都属于B(1)AA(2)A(3)若BA且BC，则AC(4)若BA且BA，则ABA(B)或BA真子集AB（或BA）BA，且B中至少有一元素不属于A（1）A（A为非空子集）(2)若AB且BC，则ACBA第-3-页共17页集合相等ABA中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BAA(B)6、已知集合A有(1)nn个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它有21n个非空子集，它有22n非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：BA.2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：BA.3、全集、补集{|,}UCAxxUxU且名称记号意义性质示意图交集AB{|,xxA且}xB（1）AAA（2）A（3）ABAABBBA并集AB{|,xxA或}xB（1）AAA（2）AA（3）ABAABBBA补集UAð{|,}xxUxA且1()UAAð2()UAAUð【1.2.1】函数的概念1、函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数xf和它对应，那么就称BAf:为集合A到集合B的一个函数，记作：Axxfy,.函数的三要素:定义域、值域和对应法则．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等【1.2.2】函数的表示法2、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.3、映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作()()()UUUABAB痧?()()()UUUABAB痧?第-4-页共17页:fAB．②给定一个集合A到集合B的映射，且,aAbB．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．．x．2．时，都有f(x．．．1．)f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x)1f(x)2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x．1．．x．2．时，都有f(x．．．1．)f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)yxoxx2f(x)f(x)211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]yfgx，令()ugx，若()yfu为增，()ugx为增，则[()]yfgx为增；若()yfu为减，()ugx为减，则[()]yfgx为增；若()yfu为增，()ugx为减，则[()]yfgx为减；若()yfu为减，()ugx为增，则[()]yfgx为减．（2）打“√”函数()(0)afxxax的图象与性质()fx分别在(,]a、[,)a上为增函数，分别在[,0)a、(0,]a上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数Myxo第-5-页共17页满足：（1）对于任意的xI，都有()fxM；（2）存在0xI，使得0()fxM．那么，我们称M是函数()fx的最大值，记作max()fxM．②一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有()fxm；（2）存在0xI，使得0()fxm．那么，我们称m是函数()fx的最小值，记作max()fxm．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数()fx为奇函数，且在0x处有定义，则(0)0f．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图①平移变换0,0,|()()hhhhyfxyfxh左移个单位右移|个单位0,0,|()()kkkkyfxyfxk上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()yfxyfx伸缩01,1,()()AAyfxyAfx缩伸③对称变换()()xyfxyfx轴()()yyfxyfx轴()()yfxyfx原点1()()yxyfxyfx直线()(||)yyyyfxyfx去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象第-6-页共17页()|()|xxyfxyfx保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算1、根式的概念（1）一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根。其中Nnn,1.（2）当n为奇数时，aann；（3）当n为偶数时，(0)||(0)nnaaaaaa（4）我们规定：mnmnaa1,,,0*mNnma；01naann；（5）运算性质：①(0,,)rsrsaaaarsR②()(0,,)rsrsaaarsR③()(0,0,)rrrabababrR注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当0x时，1y．奇偶性非奇非偶01xayxy(0,1)O1y01xayxy(0,1)O1y第-7-页共17页单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax1(0)1(0)1(0)xxxaxaxaxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xaNaa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaNaaN．（2）几个重要的对数恒等式log10a，log1aa，logaNaN．（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828e…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么①加法：logloglog()aaaMNMN②减法：logloglogaaaMMNN③数乘：loglog()naanMMnR④logaNaN⑤loglog(0,)bnaanMMbnRb⑥换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且⑦倒数关系：abbalog1log1,0,1,0bbaa.【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数图象1a01a第-8-页共17页定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()yfx的定义域为A，值域为C，从式子()yfx中解出x，得式子()xy．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy表示x是y的函数，函数()xy叫做函数()yfx的反函数，记作1()xfy，习惯上改写成1()yfx．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()yfx中反解出1()xfy；③将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()yfx与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称．②函数()yfx的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域．③若(,)Pab在原函数()yfx的图象上，则'(,)Pba在反函数1()yfx的图象上．④一般地，函数()yfx要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义