(人教版)数学必修五：2.3《等差数列的前n项和(1)》

2.3等差数列的前n项和第二章第1课时等差数列的前n项和1.请你快速算出1＋3＋5＋7＋…＋99＝________.2．二次函数y＝2x2＋x的图象开口________，最小值为________．3．在等差数列{an}中，a11＋a13＝a9＋________.[答案]1.25002.向上－183.a151.数列的前n项和一般地，我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示．(1)记法：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.(2)an与Sn的关系：若数列的前n项和为Sn，则通项公式an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.设数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64[答案]A[解析]解法一：S8＝82＝64，S7＝72＝49，a8＝S8－S7＝64－49＝15.解法二：∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.∵a1＝1也适合an＝2n－1，∴an＝2n－1.∴a8＝2×8－1＝15.2．等差数列前n项和公式及其推导对于首项为a1，公差为d的等差数列{an}，我们用两种方法表示Sn.Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]．①＋②，得2Sn＝＝n(a1＋an)，∴Sn＝na1＋an2.将an＝a1＋(n－1)d代入上式，可得Sn＝n[a1＋a1＋n－1d]2＝na1＋12n(n－1)d．因此，等差数列的前n项和公式有两种表达形式，分别为：Sn＝na1＋an2或Sn＝na1＋12n(n－1)d．注意：(1)等差数列前n项和公式的推导方法“倒序相加法”，是解决数列求和问题的一种重要方法．主要适用于具有a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…特征的数列求和．(2)若已知数列的首项a1、末项an及项数n，则用公式Sn＝na1＋an2来求和．这里a1＋an2是a1与an的等差中项，应用时要注意结合等差数列的性质．(3)公式Sn＝na1＋an2中涉及四个量：Sn、n、a1、an；公式Sn＝na1＋nn－12d中也涉及四个量：Sn、n、a1，d、结合等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，对于等差数列中的五个量：Sn、n、a1、an、d，已知其中的三个可以求另外的两个量．(1)若a1＝25，a5＝33，则S5＝________；(2)若a1＝4，d＝－1，则S8＝________.[答案](1)145(2)4[解析](1)S5＝5a1＋a52＝5×25＋332＝145.(2)S8＝8a1＋8×7×d2＝8×4＋8×7×－12＝4.3．等差数列的前n项和Sn的性质等差数列的前n项和Sn有以下五个常用的性质：(1)若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍是等差数列，且公差为n2D．(2)若等差数列的项数为2n，用S偶表示前2n项中的a2＋a4＋…＋a2n，用S奇表示前2n项中的a1＋a3＋…＋a2n－1，则S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1.(3)若等差数列的项数为2n－1，用S偶表示前2n－1项中的a2＋a4＋…＋a2n－2，用S奇表示前2n－1项中的a1＋a3＋…＋a2n－1，则S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.(4)若数列{an}，{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn，Tn，则anbn＝S2n－1T2n－1.(5)若Sn是等差数列{an}的前n项和，则当p≠q(p，q∈N*)时，有Sp＋qp＋q＝Sp－Sqp－q.注意：利用性质(2)(3)时一定要分清项数为偶数还是奇数，否则极易出错．(1)等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为()A．130B．170C．210D．260(2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn、Tn，且SnTn＝2n＋3n＋3，则a5b5＝________.[答案](1)C(2)53[解析](1)∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴Sm＋S3m－S2m＝2(S2m－Sm)，∴30＋S3m－100＝2(100－30)，∴S3m＝210.(2)∵a5b5＝a1＋a92b1＋b92＝9a1＋a929b1＋b92＝S9T9＝2×9＋29＋3＝53.有关等差数列的前n项和的基本运算已知等差数列{an}中，(1)a1＝12，S4＝20，求S6；(2)a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求n及an；(3)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d．[解析](1)S4＝4a1＋44－12d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，∴d＝3.故S6＝6a1＋66－12d＝6a1＋15d＝3＋15d＝48.(2)∵Sn＝n·32＋nn－12(－12)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，∴a12＝32＋(12－1)×(－12)＝－4.(3)由Sn＝na1＋an2＝n－512＋12＝－1022，解得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，求S7.[解析]方法一：S7＝7a1＋a72＝7a2＋a62＝73＋112＝49.方法二：a2＝a1＋d＝3，a6＝a1＋5d＝11.解得a1＝1，d＝2，则a7＝1＋6×2＝13，∴S7＝7a1＋a72＝71＋132＝49.等差数列前n项和性质的应用两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn＝2n3n＋1，求anbn.[分析]既可利用Sn，Tn列方程组，建立首项与公差的关系进行求解，也可利用S2n－1T2n－1＝anbn来求解．[解析]解法一：设an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1＋(n－1)e.取n＝1，则a1b1＝S1T1＝12，∴b1＝2a1.∴SnTn＝na1＋nn－12dnb1＋nn－12e＝a1＋n－12db1＋n－12e＝a1＋n2d－d22a1＋n2e－e2＝2n3n＋1，故en2＋(4a1－e)n＝32dn2＋(3a1－32d＋d2)n＋a1－d2.从而e＝32d，4a1－e＝3a1－d，a1－d2＝0.即d＝2a1，e＝3a1.∴anbn＝2n－13n－1.解法二：anbn＝a1＋a2n－12b1＋b2n－12＝na1＋a2n－12nb1＋b2n－12＝S2n－1T2n－1＝22n－132n－1＋1＝2n－13n－1.[方法总结]求解等差数列的有关问题时，注意利用等差数列的性质以简化运算过程．等差数列{an}与{bn}的前n项和之比为(5n＋13):(4n＋5)，求a10b10的值．[解析]设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为S′n.由于等差数列的性质，得a10b10＝a1＋a19b1＋b19＝192a1＋a19192b1＋b19＝S19S′19.由题意得S19S′19＝5×19＋134×19＋5＝43，所以a10b10＝43.等差数列前n项和公式的实际应用某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？[分析]由已知可得数列的通项公式，由题意即求a10、S20.[解析]因购房时付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{an}．则a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1000－50×3)×1%＝58.5，∴an＝50＋[1000－50(n－1)]×1%＝60－12(n－1)(1≤n≤20，n∈N)．∴{an}是以60为首项，－12为公差的等差数列，∴a10＝60－9×12＝55.5，a20＝60－19×12＝50.5.∴S20＝12×(a1＋a20)×20＝10×(60＋50.5)＝1105.∴实际共付1105＋150＝1255(万元)．“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭，点火1min内通过的路程为2km，以后每min通过的路程增加2km，在到达离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是()A．10minB．13minC．15minD．20min[答案]C[解析]由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a1＝2为首项，公差d＝2的等差数列，∴nmin内通过的路程为Sn＝2n＋nn－12×2＝n2＋n＝n(n＋1)．检验选项知，n＝15时，S15＝240km.an与Sn关系的应用已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，求an.[分析]注意观察条件等式左边可以发现，各项具有相同的构成规律，如果令bn＝nan，则左端就是数列{bn}的前n项和．[解析]令bn＝nan，则{bn}的前n项和Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n(n＋1)(n＋2)，∴b1＝S1＝6，n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)·n·(n＋1)＝3n(n＋1)．当n＝1时也适合，∴bn＝3n(n＋1)，∴an＝3(n＋1)．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－8，求通项公式an.[解析]当n＝1时，a1＝S1＝－7；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－8－(n－1)2＋8＝2n－1.又a1＝－7不满足上式，∴an＝－7n＝12n－1n≥2.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋2，判断{an}是否为等差数列．[错解]∵an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2.an＋1－an＝[2(n＋1)＋2]－(2n＋2)＝2(常数)，∴数列{an}是等差数列．[辨析]an＝Sn－Sn－1是在n≥2的条件下得到的，a1是否满足需另外计算验证．[正解]a1＝S1＝6，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2，∴an＝6n＝12n＋2n≥2，显然a2－a1＝4－6＝－2，a3－a2＝2，∴{an}不是等差数列.等差数列的前n项和数列的前n项和等差数列的前n项和公式、推导与应用等差数列前n项和的性质及应用等差数列前n项和的性质等差数列前n项和比值问题