二次函数解析式的确定

二次函数解析式的确定本讲例题及随堂练习待定系数法求函数解析式二次函数的三种表达式一般式：y=cbxax2（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=khxa2)([抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-2x)[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线一般式：例1、已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);求它的解析式。练习、已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。求这个二次函数的解析式。顶点式：例2、已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。练习1：已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。练习2：已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。练习3：已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。练习4：一条抛物线yxmxn142经过点()032，与()432，。求这条抛物线的解析式。两点式：例3、已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.求它的解析式。练习：已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=－3，x2=1，且与y轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。结论:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2).例4、根据下列条件，求抛物线的解析式．（1）经过点（0，-1），（1，12），（-2，-5）；（2）经过点（-3，2），顶点是（-2，3）；（3）与x轴两交点坐标分别为（-2，0），（2，0）并且与y轴交于点（0，-2）．例5、已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．例6、一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？例7、如图所示，求二次函数的关系式。例8、已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．例9、一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？例10、如图，已知抛物线y=21x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12）．点B是抛物线上OA之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m，n之间的关系式．例11、行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：刹车时车速（km/h）010203040506070刹车距离（m）01．12．43．95．67．59．611．9（1）以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26．4m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．例12、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）随堂练习：1．已知函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（）A．0＜－ab2＜1B．0＜－ab2＜2C．1＜－ab2＜2D．－ab2=1图①图②2．抛物线y=ax2＋bx＋c（c≠0）如图②所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是；（2）当x=时，y=3；（3）根据图象回答：当x时，y＞0．3．已知抛物线y=－x2＋（6－2k）x＋2k－1与y轴的交点位于（0，5）上方，则k的取值范围是．4．若抛物线y=ax2＋b不经过第三、四象限，则抛物线y=ax2＋bx＋c（）A．开口向上，对称轴是y轴B．开口向下，对称轴是y轴C．开口向上，对称轴平行于y轴D．开口向下，对称轴平行于y轴2．二次函数y=－x2＋bx＋c图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（）A．b=2，c=4B．b=2，c=4C．b=－2，c=4D．b=－2，c=－4．5．二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c＜0；②b＞0；③4a＋2b＋c＞0；④（a＋c）2＜b2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．两个数的和为8，则这两个数的积最大可以为，若设其中一个数为x，积为y，则y与x的函数表达式为．7．一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为．8．若两个数的差为3，若其中较大的数为x，则它们的积y与x的函数表达式为，它有最值，即当x=时，y=．9．抛物线y=x2＋kx－2k通过一个定点，这个定点的坐标为．10．已知抛物线y=x2＋x＋b2经过点（a，－41）和（－a，y1），则y1的值是．11．如图，图①是棱长为a的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n层，第n层的小正方体的个数记为S，解答下列问题：（1）按照要求填表：n1234…s136…（2）写出当n=10时，S=．（3）根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．12．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？课后作业1.已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。2．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。3.已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式。4．函数y＝x2＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，求p和q。5．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，求b和c。6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______。7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。8.根据下列条件求二次函数解析式（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，－1），B（1，0），C（－1，2）；（2）已知抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)；（3）二次函数图象经过点A（－1，0），B（3，0），C（4，10）；（4）已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4；（5）已知二次函数的图象经过一次函数y＝－23x+3的图象与x轴、y轴的交点，且过(1，1)；（6）已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8；7、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，那么这个二次函数的解析式是_______________。8、已知二次函数图象与x轴交点（2,0）(-1,0)与y轴交点是（0，-1），那么这个二次函数的解析式是_______________。9、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标为-1和3，与y轴的交点C的纵坐标为3，那么这个二次函数的解析式是_______________。10、已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x=1，那么这个二次函数的解析式是_______________。11、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8），那么这个二次函数的解析式是_______________。12、如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）（0，4），求这个抛物线的解析式。13、在平面直角坐标系中，AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（－3,1）。（1）求点B的坐标。（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；（3）设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求ΔAB1B的面积。