三角函数公式大全

高中三角函数公式大全[图]1三角函数的定义1.1三角形中的定义图1在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数1.2直角坐标系中的定义图2在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数r余割函数2转化关系2.1倒数关系2.2平方关系2和角公式3倍角公式、半角公式3.1倍角公式3.2半角公式3.3万能公式4积化和差、和差化积4.1积化和差公式证明过程首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式）则sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα于是sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式）将正弦的和角、差角公式相加，得到sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ则sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一）同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有cos(α+β)=sin[π/2-(α+β)]=sin(π/2-α-β)=sin[(π/2-α)+(-β)]=sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α)=cosαcosβ-sinαsinβ于是cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ（余弦和角公式）那么cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ（余弦差角公式）将余弦的和角、差角公式相减，得到cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ则sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2（“积化和差公式”之二）将余弦的和角、差角公式相加，得到cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ则cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2（“积化和差公式”之三）这就是积化和差公式：sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/24.2和差化积公式部分证明过程：sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosαcos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(sinαcosβ+sinβcosα)/(cosαcosβ-sinαsinβ)=(cosαtanαcosβ+cosβtanβcosα)/(cosαcosβ-cosαtanαcosβtanβ)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=tan[α+(-β)]=[tanα+tan(-β)]/[1-tanαtan(-β)]=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(pi/2-a)=cos(a)cos(pi/2-a)=sin(a)sin(pi/2+a)=cos(a)cos(pi/2+a)=-sin(a)sin(pi-a)=sin(a)cos(pi-a)=-cos(a)sin(pi+a)=-sin(a)cos(pi+a)=-cos(a)tgA=tanA=sinA/cosA两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))三角函数和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)积化和差公式sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(a)cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)半角公式sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))万能公式sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))其它公式a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)[其中，tan(c)=b/a]a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)[其中，tan(c)=a/b]1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2其他非重点三角函数csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)双曲函数sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)常用公式表（一）1。乘法公式（1）（a+b）²=a2+2ab+b2(2)(a-b)²=a²-2ab+b²(3)(a+b)(a-b)=a²-b²(4)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)(5)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)2、指数公式：(1)a0=1（a≠0）（2）aP=Pa1（a≠0）（3）amn=mna（4）aman=anm（5）am÷an=nmaa=anm（6）（am）n=amn（7）（ab）n=anbn（8）（ba）n=nnba（9）（a）2=a（10）2a=|a|3、指数与对数关系：（1）若ab=N，则Nbalog（2）若10b=N，则b=lgN（3）若be=N，则b=㏑N4、对数公式：（1）babalog,㏑eb=b（2）NaaNlog，eNln=N（3）aNNalnlnlog（4）abbealn（5）NMMNlnlnln（6）NMNMlnlnln（7）MnMnlnln（8）㏑nM=Mnln15、三角恒等式：（1）（Sinα）²+（Cosα）²=1（2）1+（tanα）²=(secα)²（3）1+(cotα)²=(cscα)²（4）tancossin（5）cotsincos（6）tan1cot（7）cos1csc（8）cos1sec6、特殊角三角函数值：α06432232sina021222310--10cosa12322210--101tana03313∞0--∞0cota∞31330--∞0∞7.倍角公式：（1）cossin22sin（2）2tan1tan22tan（3）2222sin211cos2sincos2cos8.半角公式（降幂公式）：（1）（2sin）2=2cos1a（2）（2cos）2=2cos1a（3）2tan=aasincos1=aacos1sin9、三角函数与反三角函数关系：（1）若x=siny，则y=arcsinx（2）若x=cosy，则y=arccosx（3）若x=tany，则y=arctanx（4）若x=coty，则y=arccotx10、函数定义域求法：（1）分式中的分母不能为0，（a1α≠0）（2）负数不能开偶次方，（aα≥0）（3）对数中的真数必须大于0，（NalogN0）（4）反三角函数中arcsinx，arccosx的x满足：（--1≤x≤1）（5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。11、直线形式及直线位置关系：（1）直线形式：点斜式：00xxkyy斜截式：y=kx+b两点式：121121xxxxyyyy（2）直线关系：111:bxkyl222:bxkyl平行：若21//ll，则21kk垂直：若21ll，则121kk常用公式表（二）1、求导法则：（1）（u+v）/=u/+v/（2）（u-v）/=u/-v/（3）（cu）/=cu/（4）（uv）/=uv/+u/v（5）2vvuvuvu2、基本求导公式：（1）（c）/=0（2）（xa）/=ax1a（3）（ax）/=axlna（4）（ex）/=ex（5）（㏒ax）/=axln1（6）（lnx）/=x1（7）（sinx）/=cosx（8）（cosx）/=-sinx（9）（tanx）/=2)(cos1x=（secx）2（10）（cotx）/=-2)(sin1x=-（cscx）2(11)(secx)/=secx*tanx(12)(cscx)/=-cscx*cotx(13)(arcsinx)/=211x(14)(arccosx)/=-211x(15)(arctanx)/=211x(16)211cotxxarc3、微分（1）函数的微分：dy=y/dx（2）近似计算：|Δx|很小时，fxx0=f（x0）+f/（x0）*x4、基本积分公式（1）kdx=kx+c（2）Cxadxxaa111（3）cxdxxln1（4）Caadxaxxln（5）cedxexx（6）Cxxdxcossin（7）Cxxdxsincos（8）Cxdxxxdxtancos1sec22（9）cxdxxxdxcotsin1csc22（10）cxdxxarcsin112（11）cxdxxarctan1125、定积分公式：（1）babadttfdxxf)()(（2）aadxxf0)(（3）dxxfdxxfabba（4）bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(（5）若f（x）是[-a,a]的连续奇函数，则aadxxf0)(（6）若f（x）是[-a,a]的连续偶函数，则:6、积分定理：（1）xfdttfxaaaadxxfdxxf0)(2)(xaxafxbxbfdttfxbxa2（3）若F（x）是f（x）的一个原函数，则)()()()(aFbFxFdxxfbaba7.积