用1.1.2弧度制

1.1.2弧度制路漫漫其修远兮吾将上下而求索在小学和初中，是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？我们把圆周分成360等份，那么每一等份所对的圆心角的度数就是1°.这种用度做单位来度量角的单位制叫做角度制.复习引入角度制中，1°＝60′，1′＝60″，111'(),1''()'60601.角度制的定义复习回顾60°90°2.弧长公式:3.扇形的面积公式：2360RnS扇形180nrln°rl复习回顾lOSR12lr弧度制引入的必要性在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难；另外，角度制也不利于三角函数的研究，那么我们能否重新选择角的单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢，并且有利于对三角函数的研究呢？在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧长一一对应；当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧长不相等.探讨663223666如：当n=300时，可以利用弧长公式计算不同半径的弧长.180nrl1234rllr与半径大小无关弧长比值半径是个定值一、弧度制的概念实验表明：当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径的比是常数.称这个常数为该角的弧度数.lR!lR1弧度的角的大小如何定义呢?计算角的弧度数的公式为：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作:rad,读作:弧度.我们把用弧度来作为角的单位的制度称为弧度制．rAB的长=r1radBOA注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。l=3rOABr-3rad二、弧度数公式如图，l=3r,∠AOB为多少弧度？l=3rOAB3rad正数负数1.正角的弧度数负角的弧度数零角的弧度数零rl3.弧长公式：lr2.弧度数公式:三、弧度制与角度制比较：(1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；0弧度=0º.(2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的所对的圆心角的大小；1360（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，并且与实数一一对应；而角度制是六十进制；（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。(5)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360。A“度”与“弧度”是度量的两种不同的度量单位Ｃ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度Ｄ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关1.下列选项中，错误的是（）D136012Ｂ．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的练习思考1:一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？思考2：根据上述关系,10等于多少弧度？1rad等于多少度？角度化为弧度：360＝2rad,180＝rad,1＝rad180弧度化为角度:2rad＝360,rad＝180,1rad＝()≈57.30＝5718/．180360＝2rad三、弧度制与角度制的互化≈0.01745rad．注意：①用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少的形式，不必写成小数．②弧度与角度不能混用．1180rad1801()rad记住以下两个换算关系,用时直接换算即可：特别注意：1180rad1801()rad（1）关键抓住o180（2）弧度数与角度数是不可以混合写的ookk6023360或如：××（1）把67°30′化成弧度。（2）、把—π弧度化成度。53解：2167'3067radrad832167180'3067解：1081805353rad注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。38例题1（3）、把-35°化成弧度。（4）、把—π弧度化成度。34解：radrad36735180－35×－－解：2401803434×rad练习锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，直角：{θ|θ=90°}钝角：{θ|90°＜θ＜180°}平角：{θ|θ=180°}周角：{θ|θ=360°}1.请用弧度制表示下列角度的范围.πθ=2θ=πθ=2π0,2πθπθπ2，0°到90°的角：{θ|0°≤θ＜90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}0°到180°的角：{θ|0°≤θ180°}0°到360°的角：{θ|0°≤θ360°}θ0π，πθ02，πθ-2，θ02π，1278-p1362.将下列弧度转化为角度：=°；（3）=°.（1）=°′；（2）15－15730390练习（1）36°=（rad）；3.将下列角度转化为弧度：（3）37°30′=（rad）.（2）－105°=（rad）；57π-12524π1180rad1801()rad角度0o30o45o60o90o120o弧度0643232角度135o150o180o270o360o弧度6523243四、常用的特殊角的换算(需牢记)1180rad1801()rad四、常用的特殊角的换算(需牢记)1180rad1801()rad角度弧度0601201352704265230π645π3902π33π41501803π23600熟练下列特殊角的度数与弧度数的对应表注：1.今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或者“rad”通常省略不写，而只写这个角所对应的弧度数.但如果以度（。）为单位表示角时，度（。）不能省略.2.用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式。如无特别要求，不用将π化成小数。口答练习.填写下表：角度0°30°45°60°90°120°弧度角度135°150°180°210°225°240°弧度角度270°300°315°330°360°弧度0π2π6432233456327654435374116用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系：实数集R角的集合正角零角负角正实数零负实数对应角的弧度数五、弧度制下，角的集合与实数集合之间的关系0360,kkZ与角终边相同的角的集合表示,kk==+2Z六、用弧度制表示象限角和象限界角(1)象限角的表示:角α终边所在象限集合第一象限第二象限第三象限第四象限π|2π2π,k2xkkZπx|2kα2k,k2Z3x|2kα2k,k2Z3x|2kα2k2,k2Z(2)象限界角的表示:角α终边所在的坐标轴集合x轴非负半轴x轴非正半轴x轴y轴非负半轴y轴非正半轴y轴坐标轴六、用弧度制表示象限角和象限界角|2π,kkZα|α2k,kZα|αk,kZπα|α2k,k2Zπα|α2k,k2Zπα|αk,k2Zkα|α,k2Z1.弧度数公式：=lr已知扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，则有：七、扇形的弧长和面积公式2.弧长公式：l=|α|·r3.面积公式：21||2Sr；12Slr面积公式证明：此公式比初中的公式要简单.2360nrSp=扇lradR弧长为l的扇形圆心角为∴r21π2π证：如图：圆心角为1rad的扇形面积为：lRlrr211S=π=2π2练习1.直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长：⑴⑵4π3o165解：r=10cm（）创4π40π1l=|α|r=10=(cm)33（）´oπ11π2165=165(rad)=rad18012所以´11π55πl=10=(cm)1262.如图,已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。解：设扇形的半径为r，弧长为l，则有.rl21S==2(cm)2∴扇形的面积为：rlrllr2+=6=2=2=1练习3.已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，解：l+2r=30则有骣÷ç´÷ç÷ç桫21115225S=rl=(30-2r)r=-r-+2224∴l=30-2r∴练习此时1530-22==2152´lα=r（弧度）。15r=22225cm4当时，扇形面积的最大值是∴4.已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求此扇形所含弓形面积。o2πα=120=,r=63解：由ΔΑΟΒS=S-S=12π-93弓形扇形∴∴l2π=r|α|=6=4π3∴l11S=r=4π6=12π22扇形又∵22ΔΑΟΒ12π13S=rsin=6=932322练习八、已知α、β各自的取值范围，求关于α、β组合式的范围规律方法：分别求出各个加数的范围，然后相加或者相减得出结果即可.例.∴练习1..2.九、已知α和β的组合式取值范围，求另一个关于α、β组合式的范围例规律方法：①这种解法称作待定系数法；②不少同学先把α和β范围分别解出来,再求组合式的范围,其结果是范围扩大了!练习1.练习2.十、已知α、β连不等式的取值范围，求关于α、β组合式的范围规律方法：因为α＜β是连不等式，所以题目中存在隐含条件α－β＜0，这一点容易忽视.例：.练习1..2..3..4.已知0＜α＜β＜π，则2α-β的取值范围为．（-π，π）十一、区间角与一般区间的交集问题例.解：利用数轴，如图，-6-5-4-3-2-101234-ππ2π规律方法：区间角与一般区间的交集问题，需利用数轴：先将一般区间标在数轴上，然后取k的不同的值，找出交集即可.|2(21),()AxkxkkΖ1.已知，|66Bxx=AB则|6,0xxx或练习2..3.4..5.1.弧度制的概念2.弧度制和角度制的比较与换算课堂小结弧度制角度制度量单位弧度(10进制)度(60进制,1=60＇,1′=60)单位规定把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。周角的叫做1度的角。弧长公式换算关系基本关系导出关系rad2360radrad01745.01801rad180815730.571801radrl180rnl1360达标练习1.比较sin1和sin1°的大小.解：1rad≈57.30＞1°，∵y=sinx在(0°,90°)上是增函数，∴sin1＞sin1°.2．若α＝－3，则α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C3．若α＝－5，则α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A3.0~2用的角表示终边与下列各角相同的角的集合315)2(;319)1(36319)1(解：：终边相同的角的集合为与319)}(,23|{Zkk31545与终边相同的角有：终边相同的角的集合为与315)}(,24|{Zkk445又达标练习(2)∵－315°=－360°+45°，4．与3π4终边相同的角，连同3π4在内构成的角的集合是()A．{α|α＝3π4＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝3π4＋2kπ，k∈Z}D．{α|α＝135°＋2kπ，k∈Z}达标练习C3．若θ∈{α|α＝kπ＋(－1)k·π4，k∈Z}，则θ所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限解析：∵θ∈{α|α＝kπ＋(－1)k·π4